2020-2021學(xué)年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點講解1-1 集合（含答案）

1、2020-2021學(xué)年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點講解1-1 集合（含答案）專題1.1 集合【考綱解讀與核心素養(yǎng)】1.了解集合的含義，體會元素與集合的屬于關(guān)系；能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題；2.理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；在具體情境中了解全集與空集的含義；3.理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集；理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集；能使用韋恩(Venn)圖表達集合間的基本關(guān)系及集合的基本運算.4.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、直觀想象能力.【知識清單】1.元素與集合（1）集合元素的特

2、性：確定性、互異性、無序性（2）集合與元素的關(guān)系：若a屬于集合A，記作；若b不屬于集合A，記作（3）集合的表示方法：列舉法、描述法、圖示法（4）常見數(shù)集及其符號表示數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號NN*或NZQR2.集合間的基本關(guān)系(1)子集：若對任意xA，都有xB，則AB或BA.(2)真子集：若AB，且集合B中至少有一個元素不屬于集合A，則AB或BA.(3)相等：若AB，且BA，則AB. (4)空集的性質(zhì)：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.集合的基本運算集合的并集集合的交集集合的補集符號表示ABAB若全集為U，則集合A的補集為CUA圖形表示集合表示x|xA，或xBx|

3、xA，且xBx|xU，且xA4.集合的運算性質(zhì)(1)AAA，A，ABBA.(2)AAA，AA，ABBA.(3)A(CUA)，A(CUA)U，CU(CUA)A.特別提醒:1.若有限集A中有n個元素，則A的子集有2n個，真子集有2n1個.2.子集的傳遞性：AB，BCAC.3.ABABAABBCUACUB.4. CU(AB)(CUA)(CUB)，CU(AB)(CUA)(CUB).【典例剖析】高頻考點一 集合的基本概念例1.(2018課標(biāo)II理2)已知集合，則中元素的個數(shù)為（ ）A9B8C5D4【答案】A方法二：根據(jù)集合A的元素特征及圓的方程在坐標(biāo)系中作出圖形，如圖，易知在圓x2y23中有9個整點，即

4、為集合A的元素個數(shù)，故選A.【規(guī)律方法】與集合中的元素有關(guān)的問題的三種求解策略(1)研究一個用描述法表示的集合時，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制條件.(2)根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)時要注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性.(3)集合中的元素與方程有關(guān)時注意一次方程和一元二次方程的區(qū)別.【變式探究】(2018豫南九校聯(lián)考一)已知集合，則集合中元素的個數(shù)為（ ）A1 B2 C3 D4【答案】D【解析】集合B中元素有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，共4個故選D【領(lǐng)悟技法】與集合元素有關(guān)問題的思路：（1）確定集合的元素是什么，即確定這個集合是數(shù)集還是點集（2）看這些元素滿

5、足什么限制條件（3）根據(jù)限制條件列式求參數(shù)的值或確定集合元素的個數(shù)，但要注意檢驗集合是否滿足元素的互異性高頻考點二：集合間的基本關(guān)系例2.（2012湖北省高考真題（文）已知集合，則滿足條件的集合的個數(shù)為（ ）A1B2C3D4【答案】D【解析】求解一元二次方程，得，易知.因為，所以根據(jù)子集的定義，集合必須含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原題即求集合的子集個數(shù)，即有個，故選D.【方法技巧】(1)判斷兩集合之間的關(guān)系的方法：當(dāng)兩集合不含參數(shù)時，可直接利用數(shù)軸、圖示法進行判斷；當(dāng)集合中含有參數(shù)時，需要對滿足條件的參數(shù)進行分類討論或采用列舉法(2)要確定非空集合A的子集的個數(shù)，需先確定集合A中的元

6、素的個數(shù)，再求解不要忽略任何非空集合是它自身的子集(3)根據(jù)集合間的關(guān)系求參數(shù)值(或取值范圍)的關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點間的關(guān)系，進而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系，常用數(shù)軸、圖示法來解決這類問題【易錯警示】空集是任何集合的子集，在涉及集合關(guān)系時，必須優(yōu)先考慮空集的情況，否則會造成漏解【變式探究】1.設(shè)集合，對任意實數(shù)x恒成立，且，則下列關(guān)系中成立的是()A B C D【答案】A【解析】，或2.（2020銀川高級中學(xué)高三月考（理）已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】B【解析】集合，故選B.高頻考點三：集合的基本運算例3.（2019北京高考真題（文）已知集合A=x|1x1，則A

7、B=（ ）A（1，1）B（1，2）C（1，+）D（1，+）【答案】C【解析】 ， ，故選C.例4（2019全國高考真題（理）已知集合，則=（ ）ABCD【答案】C【解析】由題意得，則故選C例5.（2020山西省高三其他（理）已知集合，則( )A B CD 【答案】A【解析】因為或，所以，故選：A【規(guī)律方法】如何解集合運算問題 (1)看元素構(gòu)成:集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運算問題的關(guān)鍵.(2)對集合化簡:有些集合是可以化簡的，先化簡再研究其關(guān)系并進行運算，可使問題簡單明了、易于解決.(3)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合:常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標(biāo)系和Venn圖.(4)創(chuàng)新性問題:

8、以集合為依托，對集合的定義、運算、性質(zhì)進行創(chuàng)新考查，但最終化為原來的集合知識和相應(yīng)數(shù)學(xué)知識來解決.【變式探究】1（2020福建省高三其他（文）設(shè)全集集合則（ ）ABCD【答案】D【解析】故選：D.2.（2020河南省高三月考（文）已知集合AxZ|1x5，Bx|0x2，則AB（ ）Ax|1x2Bx|0x5C0，1，2D1，2【答案】D【解析】集合AxZ|1x50，1，2，3，4，Bx|0x2，AB1，2故選：D3（2020浙江省高三二模）已知集合集合則（ ）A0B3C0，2，3D【答案】B【解析】因為集合，集合，所以，故選：B高頻考點四：利用集合的運算求參數(shù)例6.（2017江蘇省高考真題）已知集

9、合，若，則實數(shù)的值為_【答案】1【解析】由題意，顯然，所以，此時，滿足題意，故答案為1例7.已知集合， ，且，若，則實數(shù)的取值范圍是()A B C D【答案】D【解析】由于，所以，又因為B，所以有解得，故選D點睛:（1）認(rèn)清元素的屬性解決集合問題時，認(rèn)清集合中元素的屬性(是點集、數(shù)集或其他情形)和化簡集合是正確求解的兩個先決條件（2）注意元素的互異性在解決含參數(shù)的集合問題時，要注意檢驗集合中元素的互異性，否則很可能會因為不滿足“互異性”而導(dǎo)致錯誤（3）防范空集在解決有關(guān)等集合問題時，往往容易忽略空集的情況，一定要先考慮時是否成立，以防漏解【方法規(guī)律】利用集合的運算求參數(shù)的值或取值范圍的方法與不

10、等式有關(guān)的集合，一般利用數(shù)軸解決，要注意端點值能否取到；若集合能一一列舉，則一般先用觀察法得到不同集合中元素之間的關(guān)系，再列方程(組)求解【易錯警示】在求出參數(shù)后，注意結(jié)果的驗證(滿足互異性)【變式探究】（2020上海高三三模）已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】集合，若，則、有公共元素，所以故答案為：高頻考點五：集合的新定義問題例8.（2015湖北高考真題（理）已知集合A=(x,y)|x2+y21,?x,yZo，定義集合AB=(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)A,?(x2,y2)B，則AB中元素的個數(shù)為（ ）A77 B49 C45 D30【答案】C【解析】因為集合A=(

11、x,y)|x2+y21,?x,yZo，所以集合中有9個元素（即9個點），即圖中圓中的整點，集合中有25個元素（即25個點）：即圖中正方形中的整點，集合AB=(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)A,?(x2,y2)B的元素可看作正方形中的整點（除去四個頂點），即個【方法技巧】解決集合新定義問題的方法(1)正確理解新定義：耐心閱讀，分析含義，準(zhǔn)確提取信息是解決這類問題的前提，剝?nèi)バ露x、新法則、新運算的外表，利用所學(xué)的集合性質(zhì)等知識將陌生的集合轉(zhuǎn)化為我們熟悉的集合，是解決這類問題的突破口.(2)合理利用集合性質(zhì)：運用集合的性質(zhì)(如元素的性質(zhì)、集合的運算性質(zhì)等)是破解新定義型集合問題的關(guān)鍵在解

12、題時要善于從題設(shè)條件給出的數(shù)式中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，并合理利用.(3)對于選擇題，可結(jié)合選項，通過驗證、排除、對比、特值法等進行求解或排除錯誤選項，當(dāng)不滿足新定義的要求時，只需通過舉反例來說明，以達到快速判斷結(jié)果的目的.【變式探究】1（2019新余市第六中學(xué)高一期中）設(shè)集合是非空集合，定義且，已知，則=_.【答案】或【解析】如圖所示：，因為，所以.故答案為：.2.（遼寧阜新實驗中學(xué)2019-2020年模擬）已知集合M(x，y)|yf(x)，若對于任意實數(shù)對(x1，y1)M，都存在(x2，y2)M，使得x1x2y1y20成立，則稱集合M是“垂直對點集”給出下列四個集合：M；M(x，y

13、)|ylog2x；M(x，y)|yex2；M(x，y)|ysinx1其中是“垂直對點集”的序號是()A BC D【答案】C【解析】記A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由x1x2y1y20得OAOB.對于，對任意AM，不存在BM，使得OAOB.對于，當(dāng)A為點(1，0)時，不存在BM滿足題意對于，對任意AM，過原點O可作直線OBOA，它們都與函數(shù)yex2及ysinx1的圖象相交，即滿足題意，故選C.3.若集合A具有以下性質(zhì)：()0A,1A；()若xA，yA，則xyA，且x0時，A.則稱集合A是“好集”下列命題正確的個數(shù)是()(1)集合B1,0,1是“好集”；(2)有理數(shù)集Q是“好集”；(3)設(shè)集合A是“好集”，若xA，yA，則xyA.A0B1C2D3【答案】C【解析】(1)集合B不是“好集”，假設(shè)集合B是“好集”，因為1B,1B，所以112B，這與2B矛盾(2)有理數(shù)集Q是“好集”，因為0Q,1Q，對任意的xQ，yQ，有xyQ，且x0時，Q