黑龍江省最新2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)4月月考試題 理（含解析）

1、 重點(diǎn)中學(xué) 試卷 可修改 歡迎下載黑龍江省雙鴨山市第一中學(xué)2021學(xué)年高二4月月考數(shù)學(xué)（理）試題第卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.由安夢怡是高三（2）班的學(xué)生，安夢怡是獨(dú)生子女，高三（2）班的學(xué)生都是獨(dú)生子女寫一個“三段論”形式的推理，則大前提、小前提和結(jié)論分別為( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由三段論的一般模式，可得結(jié)論。【詳解】因?yàn)楦呷?1）班的學(xué)生都是獨(dú)生子女，又因?yàn)榘矇翕歉呷?1）班學(xué)生，所以安夢怡是獨(dú)生子女。故選B。【點(diǎn)睛】三段論是演繹推理的一般模式：包括：大前提已知的一般原理；小前提所研

2、究的特殊情況；結(jié)論根據(jù)一般原理，對特殊情況作出的判斷。2.設(shè) 為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) ，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在( ).A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限【答案】A【解析】由題意可得 ，即復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn) 在第一象限.本題選擇A選項(xiàng).3.dx_.【答案】【解析】設(shè)y，則x2y24(y0)，由定積分的幾何意義知dx的值等于半徑為2的圓的面積的.dx4.4.已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象在處的切線方程為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，把代入求出在處的切線的斜率，然后根據(jù)點(diǎn)斜式求出切線方程，最后化成一般式。【詳解】 ， 當(dāng)，時，即點(diǎn)的坐標(biāo)為（

3、1，），根據(jù)點(diǎn)斜式可得 化成一般式為。故本題選C。【點(diǎn)睛】本點(diǎn)考查了函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義、直線的點(diǎn)斜式方程、一般式方程。5.一物體在力F(x)2x3(x的單位：m，F(xiàn)的單位：N)的作用下，沿著與力F相同的方向，從x1運(yùn)動到x4處，求力F(x)所做的功（ ）A. 24B. 25C. 26D. 27【答案】A【解析】【分析】直接應(yīng)用定積分在物理中的應(yīng)用公式求解?！驹斀狻坑勺兞ψ鞴?，得到故本題選A【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查了定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用。掌握公式是解決本題的關(guān)鍵。6.用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個不大于60”時，反設(shè)是. （ ）A. 三內(nèi)角至少有一個小于60B. 三內(nèi)角只有一個小

4、于60C. 三內(nèi)角有三個小于60D. 三內(nèi)角都大于60度【答案】D【解析】【分析】用反證法證明時，應(yīng)假設(shè)命題的否定成立，因此本題求出命題的否定即可。【詳解】命題“三角形的內(nèi)角中至少有一個不大于60”的否定就是“三角形三個內(nèi)角都大于60”。因此反設(shè)就是三角形三個內(nèi)角都大于60，因此本題選D?！军c(diǎn)睛】反證法證明命題時，首先要假設(shè)命題的結(jié)論不成立，也就是要知道命題的否定。7.已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖，則對于函數(shù)的描述正確的是（ ）A. 在上為減函數(shù)B. 在處取得最大值C. 在上為減函數(shù)D. 在處取得最小值【答案】C【解析】分析：根據(jù)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f（x）的圖象可知f（0）=0，f（2）=0

5、，f（4）=0，然后根據(jù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系以及極值的定義可進(jìn)行判定即可詳解：根據(jù)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f（x）的圖象可知：f（0）=0，f（2）=0，f（4）=0當(dāng)x0時，f（x）0，f（x）遞增；當(dāng)0x2時，f（x）0，f（x）遞減；當(dāng)2x4時，f（x）0，f（x）遞增；當(dāng)x4時，f（x）0，f（x）遞減可知C正確，A錯誤；由極值的定義可知，f（x）在x=0處函數(shù)f（x）取到極大值，x=2處函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)，但極大值不一定為最大值，極小值不一定是最小值；可知B、D錯誤故選：C點(diǎn)睛：由導(dǎo)函數(shù)圖象推斷原函數(shù)的性質(zhì)，由f（x）0得增區(qū)間，由f（x）0得減區(qū)間，由f（x）=0得到的不一定是極值點(diǎn)

6、，需判斷在此點(diǎn)左右f（x）的符號是否發(fā)生改變.8.曲線yx2與曲線y8所圍成的封閉圖形的面積為 ()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出交點(diǎn)，可求出積分區(qū)間，再利用定積分求出面積即可?！驹斀狻壳€yx2與曲線y8聯(lián)立，得到方程組， 解得交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,0）和（4，16）曲線yx2與曲線y8所圍成的封閉圖形的面積為故本題選A?！军c(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查了利用定積分求面積，解決此類問題的關(guān)鍵是求交點(diǎn)定積分區(qū)間、利用圖象找出被積函數(shù)。9.在偵破某一起案件時，警方要從甲、乙、丙、丁四名可疑人員中揪出真正的嫌疑人，現(xiàn)有四條明確的信息：（1）此案是兩人共同作案；（2）若甲參與此案，則丙一定沒

7、參加；（3）若乙參與此案，則丁一定參與；（4）若丙沒參與此案，則丁也一定沒參與.據(jù)此可以判斷參與此案的兩名嫌疑人是A. 甲、乙B. 乙、丙C. 丙、丁D. 甲、丁【答案】C【解析】分析：對四個選項(xiàng)逐一分析、排除可得答案詳解：若甲、乙參與此案，則與信息（2），（3），（4）矛盾，故A不正確若乙、丙參與此案，則與信息（1），（3）矛盾，故B不正確若丙、丁參與此案，則信息全部符合，故C正確若甲、丁參與此案，則與信息（1），（4）矛盾，故D不正確故選C點(diǎn)睛：本題主要考查推理的應(yīng)用，此類問題的解法主要是根據(jù)反證法的思想，對給出的每一選項(xiàng)要逐一分析，看是否與題意符合，然后通過排除得到答案10.設(shè)f(x)，

8、g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x0時，f(x)g(x)f(x)g(x)0，且f(3)0，則不等式的解集是()A. (3,0)(3，)B. (3,0)(0,3)C. (，3)(3，)D. (，3)(0,3)【答案】D【解析】 因?yàn)楫?dāng)時， 設(shè)函數(shù)，且為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱， 所以當(dāng)時，為單調(diào)單調(diào)遞增函數(shù)，故當(dāng)時，為單調(diào)單調(diào)遞增函數(shù)， 又，所以，即，圖象如圖所示， 又由，可得獲，即的解集為，故選D11.如圖，第1個圖形由正三角形擴(kuò)展而成，共12個頂點(diǎn).第n個圖形是由正n+2邊形擴(kuò)展而來 ，則第n+1個圖形的頂點(diǎn)個數(shù)是 ()（1） （2）（3） （4）A. (2n+1)(2n+2)B

9、. 3(2n+2)C. (n+2)(n+3)D. (n+3)(n+4)【答案】D【解析】【分析】由已知圖形中，分別列出頂點(diǎn)數(shù)個數(shù)與邊數(shù)，分析它們之間的規(guī)律，用歸納法得出?！驹斀狻坑梢阎獔D形可以得到以下結(jié)果：n=1時，由正三角形擴(kuò)展而來，頂點(diǎn)數(shù)為12= n=2時，由正方形擴(kuò)展而來， 頂點(diǎn)數(shù)為20= n=3時，由正五邊形擴(kuò)展而來， 頂點(diǎn)數(shù)為30= n=4時，由正六邊形擴(kuò)展而來， 頂點(diǎn)數(shù)為42= 由此可以歸納出第n個圖形的頂點(diǎn)個數(shù)是(n+2)(n+3)，因此第n+1個圖形的頂點(diǎn)個數(shù)是(n+3)(n+4)，故本題選D?！军c(diǎn)睛】解決本題的關(guān)鍵是先求出一些簡單圖形的頂點(diǎn)數(shù)，通過數(shù)字的運(yùn)算特征歸納出規(guī)律。1

10、2.已知函數(shù)，在區(qū)間上任取三個數(shù)均存在為邊長的三角形，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】試題分析：，當(dāng)時，遞減，當(dāng)時，遞增，所以時，又，所以，由題意，解得故選D考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值，轉(zhuǎn)化與化歸思想【名師點(diǎn)睛】設(shè)函數(shù)的最大值為，最小值為，命題“對函數(shù)定義域內(nèi)任意的三個實(shí)數(shù)，均存在以為邊長的三角形”等價(jià)于“ ”第卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分13.已知復(fù)數(shù)，則_；【答案】【解析】【分析】先對復(fù)數(shù)進(jìn)行運(yùn)算化簡，最后求出模?！驹斀狻? 【點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)是高考的必考點(diǎn)，復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、模的求法是常見的題型，解決的關(guān)鍵就是掌握復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的法則及復(fù)數(shù)求模的公式。14.若

11、函數(shù)f(x)lnxx2+ax在定義域內(nèi)為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】函數(shù)f(x)lnxx2+ax在定義域內(nèi)為增函數(shù)，等價(jià)于導(dǎo)函數(shù)在定義域內(nèi)恒大于等于0.分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求最值即可.【詳解】定義域?yàn)閤0. 函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù),也說是在x0怛成立，即在x0內(nèi)恒成立， 因此可以得到在x0內(nèi)恒成立，a也就必須滿足：。因?yàn)閤0 所以當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪⑺杂?因此實(shí)數(shù)a的取值范圍是?！军c(diǎn)睛】已知函數(shù)的單調(diào)性求參量的取值范圍，解決的方法一般是導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上恒大于等于零（或者小于等于零），進(jìn)行常變量分離，通過構(gòu)造新函數(shù)，求出最值，最后求出參變量的取值范圍，當(dāng)然本題是用到基本不等式來求

12、解，這樣的題目有時很靈活，可以采用不同的方法來求解。15.在等差數(shù)列中，若，則有等式 成立，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列中，若，則有等式_ .【答案】b1b2b3bn b1b2b3b13-n(n13，nN*)【解析】解：因?yàn)樵诘炔顢?shù)列an中，若a80，則有a1a2a3ana1a2a3a15-n(n15，nN*)成立，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列bn中，若b71，則有等式b1b2b3bn b1b2b3b13-n(n13，nN*)16.對于任意的實(shí)數(shù)，總存在三個不同的實(shí)數(shù)，使得成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為_【答案】【解析】【分析】對式子變形，得到關(guān)于兩個函數(shù)相等的式子，利用導(dǎo)數(shù)，求出它們最值，根據(jù)集合之間的關(guān)

13、系，進(jìn)行求解。【詳解】 令 在上單調(diào)遞增， 令 在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減。要想有解，則即故所以實(shí)數(shù)的取值范圍為?！军c(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值的問題，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、函數(shù)恒成立問題，考查了集合之間的關(guān)系問題,重點(diǎn)考查了轉(zhuǎn)化思想.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17.（1）求函數(shù)的極小值；（2）求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)為0，根據(jù)單調(diào)性可得極小值；（2）求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)小于0即可解得減區(qū)間.詳解：（1），令，得，且時，；時，；時，故在時取得極小值.（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，即：，解得：所以函?shù)的單調(diào)遞

14、減區(qū)間為.點(diǎn)睛：求函數(shù)極值的步驟：(1) 確定函數(shù)的定義域；(2) 求導(dǎo)數(shù)；(3) 解方程求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；(4) 列表檢查在的根左右兩側(cè)值的符號，如果左正右負(fù)（左增右減），那么在處取極大值，如果左負(fù)右正（左減右增），那么在處取極小值. （5）如果只有一個極值點(diǎn)，則在該處即是極值也是最值.18.某社會研究機(jī)構(gòu)，為了研究大學(xué)生的閱讀習(xí)慣，隨機(jī)調(diào)查某大學(xué)40名不同性別的大學(xué)生在購買食物時是否讀營養(yǎng)說明，其中男女各一半，男生中有表示會讀，女生中有表示不會讀.（1）根據(jù)調(diào)查結(jié)果，得到如下22列聯(lián)表：男女總計(jì)讀營養(yǎng)說明 不讀營養(yǎng)說明總計(jì)（2）根據(jù)以上列聯(lián)表，進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否在犯錯誤的概率不超

15、過0.01的前提下認(rèn)為性別與是否讀營養(yǎng)說明之間有關(guān)系？P(K2k)0.100.0250.0100.005k2.7065.0246.6357.879【答案】（1）見解析； （2）在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為性別與是否讀營養(yǎng)說明之間有關(guān)系.【解析】【分析】（1）通過計(jì)算，直接填表。（2）根據(jù)公式直接求出，直接作出判斷?！驹斀狻浚?）男女總計(jì)讀營養(yǎng)說明16824不讀營養(yǎng)說明41216總計(jì)202040 (2)由表中數(shù)據(jù)，得，能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為性別與是否讀營養(yǎng)說明之間有關(guān)系.19.在如圖所示的多面體中，平面，是的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求二面角的平面角的余弦值.【答

16、案】（1）見解析；（2）【解析】試題分析：由題意可證得兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系求解（1）通過證明，可得（2）由題意可得平面的一個法向量為，又可求得平面的法向量為，故可求得，結(jié)合圖形可得平面與平面所成的二面角為銳角，由此可得所求余弦值試題解析：（1）平面平面平面，又，兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，；（2）由已知，得是平面的一個法向量，設(shè)平面的法向量為，由，得，令，得.，由圖形知，平面與平面所成的二面角為銳角， 平面與平面所成二面角的余弦值為20.節(jié)能燈的質(zhì)量通過其正常使用時間來衡量，使用時間越長，表明質(zhì)量越好，且使用時間大于或等于6千小時的產(chǎn)品為

17、優(yōu)質(zhì)品現(xiàn)用A，B兩種不同型號的節(jié)能燈做試驗(yàn)，各隨機(jī)抽取部分產(chǎn)品作為樣本，得到試驗(yàn)結(jié)果的頻率分布直方圖如圖所示 以上述試驗(yàn)結(jié)果中使用時間落入各組的頻率作為相應(yīng)的概率（1）現(xiàn)從大量的A，B兩種型號節(jié)能燈中各隨機(jī)抽取兩件產(chǎn)品，求恰有兩件是優(yōu)質(zhì)品的概率；（2）已知A型節(jié)能燈的生產(chǎn)廠家對使用時間小于6千小時的節(jié)能燈實(shí)行“三包”通過多年統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，A型節(jié)能燈每件產(chǎn)品的利潤y(單位：元)與其使用時間t(單位：千小時)的關(guān)系如下表：使用時間t(單位：千小時)t44t6t6每件產(chǎn)品的利潤y(單位：元)101020若從大量的A型節(jié)能燈中隨機(jī)抽取兩件，其利潤之和記為X(單位：元)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望【答案】（1）

18、（2）21.2【解析】【分析】（1）分別求出從A型號節(jié)能燈中隨機(jī)抽取一件是優(yōu)質(zhì)品的概率和從B型號節(jié)能燈中隨機(jī)抽取一件是優(yōu)質(zhì)品的概率，在求出從大量的A，B兩種型號節(jié)能燈中各隨機(jī)抽取兩件產(chǎn)品，求恰有兩件是優(yōu)質(zhì)品的概率。(2)先根據(jù)題意求出X的可能取值，再求出每個可能取值的概率、列出分布列，最后求出數(shù)學(xué)期望?！驹斀狻浚?）從A型號節(jié)能燈中隨機(jī)抽取一件是優(yōu)質(zhì)品的概率為；從B型號節(jié)能燈中隨機(jī)抽取一件是優(yōu)質(zhì)品的概率為;從大量的A，B兩種型號節(jié)能燈中各隨機(jī)抽取兩件產(chǎn)品，恰有兩件是優(yōu)質(zhì)品的概率為：(2)由題意可知X的可能取值為20，20，40，0，10，30X20204001030P【點(diǎn)睛】本題考查了概率的求

19、法，考查了離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是高考的必考題。21.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，離心率為，且經(jīng)過點(diǎn).（1）求橢圓C的方程；（2）動直線與橢圓C相交于點(diǎn)M，N，橢圓C的左右頂點(diǎn)為,直線與相交于點(diǎn)，證明點(diǎn)在定直線上，并求出定直線的方程.【答案】(1) (2)證明見解析，定直線方程為?！窘馕觥俊痉治觥浚?）利用離心率公式，可知a，c的關(guān)系，利用，可知a,b的關(guān)系，橢圓經(jīng)過點(diǎn)，代入橢圓方程，又得到一個方程，二個方程聯(lián)立，即可求出橢圓方程。（2）由橢圓的性質(zhì)可以判斷點(diǎn)G在直線上，先考慮特殊情況，求出點(diǎn)G在上，再考慮一般情況，直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，最后可以驗(yàn)證點(diǎn)G在上。【詳解】(1)離心率為，即，而所以 ，橢圓經(jīng)過點(diǎn).所以，由聯(lián)立方程組，解得，所以橢圓的方程為(2)由橢圓的對稱性可知點(diǎn)G一定在上，假設(shè)直線過橢圓的上頂點(diǎn)，則M， ，顯然直線 過定點(diǎn)（4，0）所以，橢圓方程與直線方程聯(lián)立，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)為 兩方程聯(lián)立，解得交點(diǎn)，所以G在定直線上。當(dāng)M不是橢圓頂點(diǎn)時，設(shè)橢圓方程與直線聯(lián)立消去y，整理得所以有 當(dāng)時，把 代入整理得： 所以有顯然成立，所以G在定直線上?！军c(diǎn)睛】本題考查求橢圓方程及直線與橢圓的位置關(guān)系。求橢