操千琴而曉聲.ppt

1、操千琴而曉聲 觀百劍而識器,高考數學卷的特點分析與教學啟示,義烏中學 朱恒元,上篇：會當凌絕頂 一覽眾山小 要點：2006年全國各地高考試卷的新特點和新動 向是：選擇題適當減少，主觀題分值增加；考點分布 更趨合理，理性思維要求提高；三角函數一馬當先， 文科理科大同小異；概率與統(tǒng)計大題占主流，傳統(tǒng)性 應用小題作補充；新定義清新可人，信息題別開生面； 探究性試題常態(tài)化，研究性學習成果化；壓軸取材三 足鼎立，能力考查平分秋色。,隨著陜西卷、四川卷和安徽卷的加盟，2006年高 考數學卷增加到了十八份（全國卷僅有和兩份， 比去年減少了一份）。全國各地高考數學卷，都按照 “考查基礎知識的同時，注重考查能力

2、”的原則，確立 以能力立意命題的指導思想，將知識、能力與素質融 為一體，并全面檢測考生的數學素養(yǎng)。它們真可謂是 “題題如珠璣，瑰麗璀璨多亮點；卷卷似奇葩，芬芳馥 郁競相開”。,新動向1：選擇題適當減少，主觀題分值增加 與2005年相比，僅有湖北卷和江蘇卷的題型結構 作了調整：湖北卷2006年選擇題10題50分、填空題5題 25分、解答題6題75分，而2005年選擇題12題60分、填 空題4題16分、解答題6題74分；江蘇卷2006年選擇題 10題50分、填空題6題30分、解答題5題70分，而2005 年選擇題12題60分、填空題6題24分、解答題5題66分。 湖北卷和江蘇卷不約而同減少了2道選

3、擇題，而把填空 題的分值由每題4分增加到每題5分（2005年僅有北京 卷填空題每題5分）。,新動向2：考點分布更趨合理，理性思維要求提高 2006年高考大綱中理科數學知識考點共132個， 這些知識要求其中的一半左右在選擇和填空題中得到 體現(見下表)。縱觀2006年全國各地試卷，部分知識 考點出現的頻率很高（見下面直方圖），而指數概念 的擴充、角的概念的推廣、橢圓的參數方程、平面圖 形直觀圖的畫法、多面體、正多面體、離散型隨機變 量的方差、總體分布的估計、正態(tài)分布、線性回歸、 函數的連續(xù)性和數系的擴充等知識考點卻沒有或極少 涉及。,選擇題知識考點分布（以理科為例，其中打*的為跨章綜合題，打#的

4、為新 穎能力題）：,填空題的知識考點分布（以理科為例，其中打*的為跨章綜合題，打#的為 新穎能力題）：,新動向3：三角函數一馬當先，文科理科大同小異 2006年三角函數大題在各卷中幾乎都是穩(wěn)坐“第 一把交椅”，這其中有：北京卷文理科、上海卷文理 科、天津卷文理科、重慶卷理科、湖南卷文理科、 湖北卷文理科、陜西卷理科、廣東卷、遼寧卷文理 科、四川卷理科、浙江卷理科、山東卷文理科、安 徽卷文理科、福建卷文理科、全國卷理科、全國 卷文理科等；為了控制試題難度、切合文科考試 要求，重慶卷、陜西卷、四川卷、浙江卷和全國卷 的文科把三角函數大題安排在第二大題中。,三角函數的圖象和性質既是學習高等數學和應用

5、 技術學科的基礎，又是解決實際問題的工具，它理所 當然成為重中之 重。2006年各卷 繼續(xù)降低了對三 角變換的考查要 求，適度加強了 對三角函數的圖 象和性質的考查， 例如三角函數大 題的問題背景中， 三角函數的圖象 和性質就占了半 壁江山（見右圖）。,新動向4：概率與統(tǒng)計大題占主流，傳統(tǒng)性應用小題 作補充 2006年全國各地高考應用性試題主要有兩大類： 概率統(tǒng)計題和函數（導數）題，它們百花齊放，爭奇 斗艷：如第一類中的北京卷“招考方案”、湖南卷“煤礦 安檢”、江西卷“抽獎促銷”、遼寧卷“項目投資”、四川 卷“課程考核”、安徽卷“搭配試驗”等，取材多么廣泛， 設計多么清新！又如，第二類中的上海

6、卷“海事救援” 解三角形題、江蘇卷“設計帳篷”立體幾何題、福建卷 “汽車耗油”函數導數題等，都給人以實在、實際、實 惠的感覺，這些優(yōu)美試題乃是高考應用性試題的“中 流砥柱”！,概率與統(tǒng)計題已經占領了應用性試題的主陣地， 這當然無可厚非，但我們不能厚此薄彼：因為概率 統(tǒng)計題只是高考應用性試題的一個選項，并非唯一 選項；誰也找不出什么理由可把傳統(tǒng)的應用題拒之 門外。事實上，不少試卷也在這方面作了積極的探 索，采取“概率統(tǒng)計大題+傳統(tǒng)性小應用題”的方式， 靈活而巧妙，自然又和諧！如全國卷文理科、天 津卷文理科、江西卷理科、北京卷文理科、陜西卷 文理科、四川卷理科等都在選擇或填空題中設置了 一道傳統(tǒng)性

7、小應用題，這實際上是找到了高考應用 性試題考查的一個“平衡點”。,新動向5：新定義清新可人，信息題別開生面 如何考查出繼續(xù)學習的潛能？難道讓考生去做 高等數學題？現在，命題專家們已經找到了一條“星 光大道”考查學生即時學習的能力，考查學生收 集信息、提煉加工、簡單運用的學習能力。于是， “新定義”如魚得水，信息題應運而生。這種新題型背 景新穎、構思巧妙，能有效地甄別考生的思維品質 和學習潛力，它倍受師生的青睞。,新動向6：探究性試題常態(tài)化，研究性學習成果化 創(chuàng)新意識是高考數學的一項能力要求，其要點是， 對新穎的信息、情景和設問，能選擇有效的方法和手 段，綜合與靈活地運用所學的數學知識、思想和方

8、法， 進行獨立的思考、探索和研究，提出解決問題的思路， 創(chuàng)造性地解決問題。就這樣，探索性試題終于成為“常 態(tài)化”，研究性學習逐漸轉為“成果化”。,創(chuàng)新意識的考查可以從這幾個方面入手：評價 已有的解題過程，提出更合理和簡捷的解題方略； 找出已知與未知、條件與結果的聯系，重新組織或 制定規(guī)則，形成新的規(guī)律；通過類比歸納、從特殊 到一般、猜想證明，將熟悉的性質、規(guī)律等拓展到 新的領域。這類題型的特點是以“問題”為核心，以 “探究”為途徑，以“發(fā)現”為目的。,新動向7：壓軸取材三足鼎立，能力考查平分秋色 壓軸題一般是指試卷的最后一個大題，這是一道 偏重于考查能力的試題。這類題有一定的難度，綜合 性較強

9、，但不偏、不怪，思路廣、方法多，具有較強 的區(qū)分層次和選拔功能。2006年各地試卷壓軸題的取 材十分廣泛，歸結起來可分為三大類，即函數、不等 式型，遞推數列、數學歸納法型以及解析幾何型，而 且它們明顯呈“三足鼎立”的態(tài)勢。,函數、不等式考題是高考的傳統(tǒng)項目，經久不衰， ?？汲Ｐ?，尤其是利用導數證明函數的單調性、求函 數的極值和最值以及導數的應用問題，有向中檔偏難 （壓軸性）發(fā)展的趨勢。遞推數列、數學歸納法考題 是高考的重頭戲，它新穎別致、神奇美妙，而且解題 方法獨特，別有洞天。解析幾何型是高考的重點板塊， 特別是平面向量與解析幾何可以交匯融合，渾然一體。 另一方面，三大能力思維能力、運算能力和

10、分析 解決問題的能力都在壓軸題的考查中得到了充分的、 立體的、集中的體現。,中篇： 更無花態(tài)度 全是雪精神 要點：三年來，浙江省高考數學卷的命題思路 都很清晰，試題頗具題型題量的合理性、考查內容 的科學性、試題難度的穩(wěn)定性、主干知識的突出性、 思想方法的靈活性、選擇填空題的純潔性、語言敘 述的簡潔性、調控難度的分散性、題目立意的新穎 性和文理要求定位的準確性等風格特點。,浙江省高考數學命題組認真貫徹“有利于高校選 拔人才，有利于中學素質教育”的指導思想，始終堅 持“連續(xù)、穩(wěn)定、創(chuàng)新”的命題原則。試題在能力考查 和體現課改新理念等方面都作了有益的探索，不僅具 有良好的選拔和評價功能，而且對指導高

11、中數學教學、 遏制題海戰(zhàn)術起到了積極的導向作用。歷年的浙江省 高考數學試卷命題思路清晰，具體體現生動，風格特 點鮮明，它仿佛沒有太多的嬌嫩妖冶的花的形態(tài)，卻 飽含傲雪耐寒的梅的神韻。,從2005年開始，浙江省根據高中數學教學實際制訂了考試說明，它對考試大綱進行了微調（見下表）。,考試說明是高考復習的指南針和方向盤，其 每個意圖幾乎都在每年試題中得到了充分的體現和 深刻的反映。也正因為它是根據本省高中數學教學 實際來制訂的，所以它的產品高考數學試卷就 具有了浙江的地方特色。,1、題型題量的合理性,從上表可知，2006年高考卷的題型、題量跟2005 年完全一致，選擇題10道、填空題4道、解答題6道

12、共 20道題，比2004年減少了2道選擇題，從而客觀題減少 了10分，主觀題增加了10分。這樣，既更注重對考生 數學思維與表達能力的考查，又符合減輕學生學習負 擔的改革趨勢。,2、考查內容的科學性,以理科卷為例的上表統(tǒng)計中發(fā)現，考查內容的分 布是：2006年卷新增內容占30分；傳統(tǒng)內容中代數占 69分，立體幾何占23分，解析幾何占28分；2005年卷 新增內容占31分；傳統(tǒng)內容中代數占73分，立體幾何 占23分，解析幾何占23分； 2004年卷新增內容占38分， 傳統(tǒng)內容中代數占64分，立體幾何占21分，解析幾何 占27分?？疾橹R比較科學系統(tǒng)，結構比例基本合理 平穩(wěn)，知識點的覆蓋率三年來沒有

13、大的起伏變化。,3、試題難度的穩(wěn)定性 據披露，高考數學浙江卷(理科)試題難度分布為：,有關資料顯示，這三年試卷的命題期望（容易題 中等題難題）均為0.40.50.1，而實際情況是 ： 2006年文科0.330.550.12，理科0.540.310.15， 整卷難度文科 0.65，理科 0.68；2005年文科0.360.55 0.09，理科0.520.390.09，整卷難度文科 0.63， 理科 0.63；2004年文科0.30.530.17，理科0.49 0.340.17，整卷難度文科 0.57，理科 0.67。由此可見， 除了2004年文科試卷偏難、2006年理科試卷稍易外， 浙江卷的試題

14、難度相當穩(wěn)定和合理。,4、主干知識的突出性,代數中的函數、數列、不等式，立體幾何中的 線線、線面、面面的平行和垂直關系，解析幾何中 圓錐曲線方程以及性質，構成高中數學的主干知識。 三年高考卷都堅持從基礎知識、基本方法、重點內 容出發(fā)設制試題，對這些高中數學的主體內容和主 干知識進行了重點考查，體現了考試說明中的 “對數學基礎知識的考查，既要全面又要突出重點 ”和“使基礎知識的考查達到必要的深度”的精神。這 里有個奇特現象，那就是三年的試卷中概率統(tǒng) 計大題選用的模型都是摸球，而且每份理科卷的最 后一題都是以點列為載體設制有關數列的問題。其 意圖有二：讓猜題、押題者失望；毫不動搖地考查 數學的本質

15、和思維的深刻性。,5、思想方法的靈活性,三份試題都堅持以數學知識為載體，突出考查 數學思想方法的掌握和應用。數學題目不偏不怪， 考查理性數學思維和常規(guī)思路方法；強調通性通法， 考查解題機智。許多試題有多種不同的解題思路可 供選擇，為考生充分發(fā)揮水平提供了機會。,6、選擇填空題的純潔性,三份試卷與現行教科書復習題的題型十分接近， 風格極為相似，各種題型考查的功能非常分明。尤 其是，選擇、填空題幾乎都在該知識所在的章節(jié)內 設置，極少出現跨章的所謂綜合題，十分重視與解 答題的區(qū)別，始終保持“少女”的純潔性，避免讓考 生“小題大做”；與此同時，還嚴格控制選擇、填空 題的難度，充分發(fā)揮其獨特的檢測功能。

16、,7、語言敘述的簡潔性,試題表達科學規(guī)范，語言簡潔，長度適中，解答 題每題文字平均不到80個字，每題控制在三行或四行， 使人倍感淡雅、清爽、親切。堅持不出難讀題目，不 讓學生在讀題上花大量時間，不因試題的表述不清或 冗長給學生答題造成思維上的障礙，這是以人為本思 想的具體體現，它是浙江數學卷的一道亮麗的風景線！,8、調控難度的分散性,三份試卷層次分明，梯度合理，堅持多角度、多 層次進行考查，試卷中各類題型的起點難度較低，階 梯遞進，由淺入深，分別形成三個小坡度，使考生在 解題過程中總有拾階而上的感覺。選擇題、填空題的 前幾道運用基礎知識即可一望而解，而后幾題則需要 在深刻理解知識的前提下靈機一

17、動。2004、2005、 2006年六個解答題（理科卷）分別設置14、13和12個 小題，均具有“多問把關”和“多題壓軸”的特點。試題都 很關注知識網絡的交匯點，在強調綜合性的同時，也 十分注重層次性，合理調控綜合程度。,9、題目立意的新穎性,隨著數學思維能力的考查不斷深化，對數學語言 的閱讀、理解、轉化、表達的能力要求也逐年有所 提高，如考查知識轉換、圖象識別能力，考查材料 閱讀、理解遷移能力，考查幾何畫圖、空間想象能 力，考查自主探索、邏輯推理能力，綜合考查等價 變換、抽象概括、歸納推理、猜想證明能力，等。 三年來，浙江卷在如何考查學生的學習潛能方面作 了積極的探索。,10、文理要求定位的

18、準確性,據統(tǒng)計，2004、2005、2006年文、理科試卷完全 相同的題目分別為11、6、4個，而文、理科試卷中相 同背景但難度不一的 “姐妹題” 分別有 5、8、9個。這 樣針對實際、區(qū)別對待，對文、理考生不同的數學要 求得到了充分體現，既有利于高校選拔文理科人才， 又有利于促進中學文科數學教學。文科重視數學知識 的工具性和形象性，理科突出數學概念的深刻性和抽 象性，這就是浙江數學卷越來越清晰的文理科考查要 求的定位。,下篇：采菊東籬下 悠然見南山 要點：高考數學卷給我們復習教學帶來的啟示是： 教準切實讓學生理解數學本質和掌握核心方法； 練實強化對學生解題的操作性和規(guī)范性訓練； 學活努力使學

19、生達到融會貫通的學習境界。,可以預料，今后兩年的浙江卷仍會堅持“連續(xù)、穩(wěn) 定、創(chuàng)新”的命題指導思想，試題仍將具有以上10個顯 著的特點，仍會保持“平和、淡雅、清新、自然”的風格。 我們完全相信，在大家的共同努力下，今后的浙江卷必 將越來越走向完美，越來越滿足人們的期待。我們對浙 江省數學卷的熱情期待是：,1、強化平面向量的工具性，適度把握平面向量和平 面解析幾何知識的交匯點 平面向量是新增的重點內容，是一種重要的數學 工具，它融代數特征和幾何特征于一體，能與三角函 數、函數、解析幾何等知識自然交匯。浙江卷考查平 面向量的概念和運算當然是必要的，但向量作為代數 與幾何的紐帶，理應發(fā)揮其坐標運算與

20、動點軌跡、曲 線方程等綜合方面的工具性功能。浙江卷2006年在這 方面也有點新動作，文理科第（15）題就是平面向量 與三角函數的結合題，但還是太偏重公式的直接計算， 稍嫌單調。我們期待來年在這方面有較大的動作出現， 至少在理科卷中。,2、數學應用能力的考查可增加“實際性”和“應用味” 三年來，浙江省每份卷都編擬有概率統(tǒng)計的一個 “摸球”題，主要考查概率、相互獨立事件隨機變量的 分布列和數學期望等數學知識的應用。其實，這也正 是命題組的良苦用心所在：讓猜題、押題者失去信心； 學習要抓數學本質！不過，這難免又有些顧此失彼， 問題背景畢竟過于單一、呆板。我們熱情期待：浙江 卷的高考應用性試題更能耳目

21、一新。,3、最后一題的設計更富有靈氣，更能體現新理念和 鼓勵創(chuàng)新 2006年浙江卷的最后一題有一定的創(chuàng)意，它主要 考查函數的導數、數列、不等式等基礎知識，以及不 等式的證明，同時考查邏輯推理能力。但由于技巧性 過強，競賽味太重，因而區(qū)分度并不高。三年來，浙 江卷在最后一題的設計上作了許多嘗試，并積累了成 功的經驗。我們有理由期待：今后浙江卷的最后一題 更能廣泛取材、匠心獨運，更能體現課改理念和鼓勵 創(chuàng)新。,透視三年來的浙江卷，它給我們今后復習教學帶 來的啟示是： 準抓準考試大綱的變化，把握考試說 明的要義，領會考試樣卷的內涵 我們對前兩者都比較重視，會化一定時間去仔細 研讀，并從中獲取許多信息

22、，但對考試樣卷的條分縷 析卻做得很不夠，這就有可能會浪費學生寶貴的時間， 影響教學效果的提高。浙江省考試說明中的考試 樣卷同樣是命題專家通過切磋琢磨出來的研究成果， 信息的含金量之高并不亞于高考真題。,2006年理科樣卷第16題是： 袋子中有若干個均勻的白球和紅球，從中摸到一 個紅球的概率為p(0p1)?，F甲、乙兩人從中有放回 地摸球，每次摸一個。 若按照甲、乙、乙、甲的順序共摸4次，誰先摸到紅 球誰獲勝，則誰獲勝的概率大？ 甲先連續(xù)摸球2次，若能摸到紅球甲獲勝，否則乙獲 勝。為使乙獲勝的概率大于甲獲勝的概率，求p的取值 范圍。 它們傳達出的信息是什么？可能是巧合，高考真 題似乎就是它們的“孿

23、生兄弟”。,再如，2005年理科樣卷第16題是： 如圖，ABCD為菱形，且|AC|=4，|BD|=2，橢圓與 菱形四邊都有一個公共點，長軸在AC上，且離心率為 .,設AB、AD與橢圓的公共點分別為P、Q，PQ交x軸于F點.,求橢圓方程; 過A點作任一直線交橢 圓于M、N兩點，求證： PQ平分MFN. 無獨有偶，2006年理 科卷第19題其問題背景與 它十分相像，欲求的兩問 何其相似，我們真有那種 “似曾相識燕歸來”的感覺！,O,實嚴格解題規(guī)范的訓練，注重方法技能的形成 如果有人問中國數學教學的特色是什么，那我們 就應毫不猶豫和理直氣壯地回答“雙基”教學。有 位數學專家說得好，“沒有基礎的創(chuàng)新是

24、空想，沒有創(chuàng) 新的雙基是傻練?！笔聦嵣希瑢Α半p基”的考查一直是高 考命題的“重頭戲”，近年來大家還都在苦苦追尋“雙基” 與創(chuàng)新之間的“平衡點”，那就是設制出運算量不大但思 維量較大的數學問題，其特征是靠“題海戰(zhàn)術”和大 量重復操練根本無法得到好處。,活培養(yǎng)解題機智，挖掘學習潛能 或許有人會以為，浙江卷的新鮮度和創(chuàng)新性不夠， 平時沒有必要去著意培養(yǎng)學生的解題機智，挖掘他們的 學習潛能。這是一個模糊的認識。其實，浙江卷早已透 過兩份樣卷，明白無誤地向人們傳達出這樣的信息：浙 江省高考數學卷將繼續(xù)以“雙基”為立足點，以思維能力 為核心，以數學素養(yǎng)為目標，考查中學數學的知識和方 法，考查考生進入高校繼

25、續(xù)學習的潛能。采用橫向類比、 縱向加深等手段和開放條件、變換設問等方式，將傳統(tǒng) 的、典型的數學問題進行延拓、整合，編擬成立意深刻、 新穎別致、不落俗套的試題，將是考查學生思維靈活性 和創(chuàng)造性的必由之路?？梢钥隙?，今后浙江省高考數學 卷不僅頗有“山的沉穩(wěn)”，而且更具“水的靈動”。,開門見山，直接給出問題1 直線l與拋物線 相交于A、B兩點，求證：“如果直線l過點T(3,0)，那么 ”是真命題。 讓學生獨立思考、自行完成，請一位同學板書解題 過程（照抄于下）：,以上教學活動基本上都是在教師的點撥下學生在自主、 合作、交流、討論中完成的，這時教師正式點題：上述運用 韋達定理的解題方法是解析幾何中解決

26、直線和圓錐曲線問題 的核心方法，其解題步驟是“設”（點的坐標，直線、曲線方 程）、“聯”（聯立方程組）、“消”（消去 得到一元二次 方程）、“用”（ 運用韋達定理、中點坐標公式、弦長公式 等）、“判”（ 運用判別式檢驗、求參數的值或縮小參數的 取值范圍）。其它特殊解法與它相比乃是花拳繡腿而已。,O,對解題思路作及時反思，總結出上述證明的關鍵點是 “ ”，接著，乘勝追擊，進一步引導學生作推 廣性發(fā)現。 發(fā)現3 過A點作任一直線交橢圓于M、N兩點，都有PQ 平分MFN。 此時，水到渠成，絕大多數學生都能夠運用核心方法 和上述思路順利獲證（證明略）。與此同時，從臉部表情 和肢體語言可以看出，學生已經

27、充滿了數學學習的幸福感 和成就感。,及時提出兩個問題讓學生思考： 問題1 對上述方程組消去y，也可以求解嗎？（那當然 可以?。?問題2 本小題若改為選擇、填空題，又該如何既快又 好地求解？（可以用把雙曲線的漸近線作運動 變化，動中求靜，迅速獲解。真可謂是“畫圖一 遍，答案出現”！）,最后，談談本節(jié)課的教學體會以及數學復習的幾點 建議： (一)教準切實讓學生理解數學本質和掌握核心方法 做了成千上萬道數學題，學生（也包括我們數學教師） 是否感悟到了存在于其中的數學本質，是否領會了數學概 念、法則、結論的發(fā)展過程？比如，解析幾何的本質就是 用代數的方法研究圖形的幾何性質，通過章節(jié)復習學生應 該也必須

28、領悟到其中的真締。數學思想方法是數學知識在 更高層次上的抽象和概括，是數學知識轉化為能力的橋梁。 課堂教學理應堅持以數學知識為載體，突出對數學思想方 法的理解、掌握和運用。高三復習教學不應刻意追求特殊 技巧，要在“通性、通法”上大做文章、做好文章。我們可 以全面總結解題的基本思想和方法，重點是有價值的常規(guī) 方法的應用，特別要重視教科書中每章知識所給出的解決 問題的核心方法。,本節(jié)內容是解析幾何的精髓，運用韋達定理的方法是 貫穿始終的核心方法，凡是“點差法”能夠解決的問題都可 以用核心方法加以解決。真刀真槍的功夫練就了，那花拳 繡腿的玩意就學得快、學得好。本節(jié)課的設計緊緊圍繞核 心方法展開，完全沒有“七方八法一節(jié)課”那些無為的羅列 和所謂的總結，知識重點突出，學生印象深刻。 (二)練實強化對學生解題的操作性和規(guī)范性訓練 本節(jié)課第一題的教學，試圖進一步強化解題的操作性 和規(guī)范性訓練。在共同分享板演學生的學習成果的同時， 師生互動，一起彌補三個解題漏洞和缺陷。與此同時，教 師及時點出這種方法通常有著“設、聯、消、用、判”五個 基本步驟，這樣就有了很強的針對性和操作性。高考數學 第一輪復習目的是讓學生切實掌握“三基”基礎知識、 基本方法、基本技能，其成功的標志是“大面積提高”。因 此，重視數學解題教學的