小波去噪文獻(xiàn)綜述

1、圖像去噪處理1.1 小波去噪在數(shù)學(xué)上，小波去噪問題的本質(zhì)是一個(gè)函數(shù)逼近問題，即如何在有小波母函數(shù)伸縮和平移所展成的函數(shù)空間中，根據(jù)提出的衡量準(zhǔn)則，尋找對原圖像的最佳逼近，以完成原圖像和噪聲的區(qū)分。這個(gè)問題可以表述為： 由此可見，小波去噪方法也就是尋找實(shí)際圖像空間到小波函數(shù)空間的最佳映射，以便得到原圖像的最佳恢復(fù)。從信號的角度看，小波去噪是一個(gè)信號濾波的問題，而且盡管在很大程度上小波去噪可以看成是低通濾波，但是由于在去噪后，還能成功地保留圖像特征，所以在這一點(diǎn)上優(yōu)于傳統(tǒng)的低通濾波器。由此可見，小波實(shí)際上是特征提取和低通濾波功能的綜合，其等效框圖如圖1-2所示。圖1-1小波去噪的等效框圖1.1.1

2、小波變換理論基礎(chǔ)1.連續(xù)小波變換設(shè)，其傅里葉變換為，當(dāng)滿足允許條件(完全重構(gòu)條件)： (1-1) 時(shí)，我們稱為一個(gè)基本小波或母小波(Mother Wavelet)。它說明了基本小波在其頻域內(nèi)具有較好的衰減性。其中，當(dāng)時(shí)，有=0，即同時(shí)有。因此，一個(gè)允許的基本小波的幅度頻譜類似于帶通濾波器的傳遞函數(shù)。事實(shí)上，任何均值為零(即 )且在頻率增加時(shí)以足夠快的速度消減為零(空間局域化特征)的帶通濾波器的沖激響應(yīng)(傳遞函數(shù))，都可以作為一個(gè)基本小波。將母函數(shù)經(jīng)過伸縮和平移后得到： (1-2) 稱其為一個(gè)小波序列。其中a為伸縮因子，b為平移因子。通常情況下，基本小波以原點(diǎn)為中心，因此是基本小波以為中心進(jìn)行伸

3、縮得到?；拘〔ū簧炜s為(時(shí)變寬，而時(shí)變窄)可構(gòu)成一組基函數(shù)。在大尺度a上，膨脹的基函數(shù)搜索大的特征，而對于較小的a則搜索細(xì)節(jié)特征。對于任意的函數(shù)的連續(xù)小波變換為： (1-3) 當(dāng)此小波為正交小波時(shí)，其重構(gòu)公式為： (1-4) 在小波變換過程中必須保持能量成比例，即 (1-5) 由于基小波生成的小波在小波變換中對被分析的信號起著觀測窗的作用，所以還應(yīng)該滿足一般函數(shù)的約束條件： (1-6) 故是一個(gè)連續(xù)函數(shù)，這意味著，為了滿足重構(gòu)條件式(3-2)，在原點(diǎn)必須等于零，即 (1-7) 此即說明具有波動性。為了使信號重構(gòu)的實(shí)現(xiàn)上是穩(wěn)定的，除了滿足重構(gòu)條件外，還要求的傅立葉變換滿足如下穩(wěn)定性條件： (1

4、-8) 式中，。連續(xù)小波變換具有以下重要性質(zhì)：（1）線性性：一個(gè)多分量信號的小波變換等于各個(gè)分量的小波變換之和。（2）平移不變性：若的小波變換為，則的小波變換為。（3）伸縮共變性：若的小波變化為，則的小波變換為，（4）自相似性：對應(yīng)于不同尺度參數(shù)a和不同平移參數(shù)b的連續(xù)小波變換之間是自相似性的。（5）冗余性：連續(xù)小波變換中存在信息表述的冗余度redundancy，小波變換的冗余性也是自相似性的直接反映，它主要表現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：由連續(xù)小波變換恢復(fù)原信號的重構(gòu)分式不是唯一的。也就是說，信號的小波變換與小波重構(gòu)不存在一一對應(yīng)關(guān)系，而傅立葉變換與傅立葉反變換是一一對應(yīng)的。小波變換的核函數(shù)即小波函數(shù)存

5、在許多可能的選擇(例如，它們可能是非正交小波，正交小波，雙正交小波，甚至允許是彼此線性相關(guān)的)。小波的選擇并不是任意的，也不是唯一的。它的選擇應(yīng)滿足定義域是緊支撐的(Compact Support)，即在一個(gè)很小的區(qū)間之外，函數(shù)值為零，函數(shù)應(yīng)有速降特性，以便獲得空間局域化。另外，它還要滿足平均值為零。也就是說，小波應(yīng)具有振蕩性，而且是一個(gè)迅速衰減的函數(shù)。連續(xù)小波變換式(3-4)是用內(nèi)積來表示的，而數(shù)學(xué)上的內(nèi)積表示與的相似程度，所以由式(3-4)，當(dāng)尺度a增加時(shí)，表示以伸展了的波形去觀察整個(gè)；反之，當(dāng)尺度a減小時(shí)，則以壓縮的波形去衡量局部。可以說，尺度因子類似于地圖中的比例因子，大的比例(尺度)

6、參數(shù)看全局而小的比例(尺度)參數(shù)看局部細(xì)節(jié)。因此，有人對小波變換特性作如下形象比喻：人們希望既看到森林，又看清樹木。所以，先通過望遠(yuǎn)鏡看清全貌，進(jìn)而通過顯微鏡觀察我們最感興趣的細(xì)節(jié)。小波變換就能達(dá)到這個(gè)目的，它既是望遠(yuǎn)鏡，又是顯微鏡，是一架變焦鏡頭。2. 離散小波變換在實(shí)際運(yùn)用中，尤其是在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)時(shí)，連續(xù)小波必須加以離散化。因此有必要討論連續(xù)小波）和連續(xù)小波變換的離散化。需要強(qiáng)調(diào)指出的是，這一離散化都是針對連續(xù)的尺度參數(shù)和連續(xù)平移參數(shù)b的，而不是針對時(shí)間t的。這一點(diǎn)與我們以前的習(xí)慣不同。在公式(3-3)中，a ,b R; a0是容許的。為方便起見，在離散化中，總限制a只取正值。通常，把連續(xù)

7、小波變換中尺度參數(shù)a和平移參數(shù)b的離散化公式分別取作，這里，擴(kuò)展步長是固定值，為方便起見，總是假定。所以對應(yīng)的離散小波函數(shù)即可寫作： (1-9) 而離散化小波變換系數(shù)則可表示為： (1-10) 其重構(gòu)公式為： (1-11) C是一個(gè)與信號無關(guān)的常數(shù)。如何選擇和，才能保證重構(gòu)信號的精度呢?顯然，網(wǎng)絡(luò)點(diǎn)應(yīng)盡可能密(即和盡可能的小)，因?yàn)槿绻W(wǎng)絡(luò)點(diǎn)越稀疏，使用的小波函數(shù)和離散小波系數(shù)就越少，信號重構(gòu)的精確度也就會越低。由于圖像是二維信號，因此首先需要把小波變換由一維推廣到二維。令表示一個(gè)二維信號，分別是其橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，表示二維的基本小波，對應(yīng)的尺度函數(shù)為 。若尺度函數(shù)可分離，即：。令是與對應(yīng)的一維

8、小波函數(shù)，則二維的二進(jìn)小波可表示為以下三個(gè)可分離的正交小波基函數(shù)： （1-12） （1-13） （1-14） 這說明在可分離的情況下，二維多分辨率可分兩步進(jìn)行。先沿方向分別用和做分析，把分解成平滑和細(xì)節(jié)兩部分，然后對這兩部分再沿方向用和做同樣分析，所得到的四路輸出中經(jīng)，處理所得的一路是第一級平滑逼近，其它三路輸出，都是細(xì)節(jié)函數(shù)。如果把和的對應(yīng)頻譜，設(shè)想成理想的半帶低通濾波器和高通濾波器，則反映的是 , 兩個(gè)方向的低頻分量， 反映的是水平方向的低頻分量和垂直方向的高頻分量，反映的是水平方向的高頻分量和垂直方向的低頻分量，反映的是兩個(gè)方向的高頻分量。對圖像進(jìn)行小波變換就是用低通濾波器和高通濾波器對

9、圖像的行列進(jìn)行濾波（卷積），然后進(jìn)行二取一的下抽樣。這樣進(jìn)行一次小波變換的結(jié)果便將圖像分解為一個(gè)低頻子帶（水平方向和垂直方向均經(jīng)過低通濾波）和三個(gè)高頻子帶，即用表示水平高通、垂直低通子帶，用表示水平低通、垂直高通子帶，用表示水平高通、垂直高通子帶。分辨率為原來的1/2，頻率范圍各不相同。第二次小波變換時(shí)只對子帶進(jìn)行，進(jìn)一步將子帶分解為，和，分辨率為原來的1/4,頻率范圍進(jìn)一步減半，以此類推。所以，進(jìn)行一次小波變換得到4個(gè)子帶，進(jìn)行M次分解就得到3 M+1個(gè)子帶，如圖1-3。 圖1-2圖像的三級小波分解圖4.小波閾值去噪方法小波閾值去噪的基本思路是：（1）先對含噪信號做小波變換，得到一組小波系數(shù)

10、；（2）通過對進(jìn)行閾值處理，得到估計(jì)系數(shù)，使得與兩者的差值盡可能??；（3）利用進(jìn)行小波重構(gòu)，得到估計(jì)信號即為去噪后的信號。Donoho提出了一種非常簡潔的方法對小波系數(shù)進(jìn)行估計(jì)。對連續(xù)做幾次小波分解后，有空間分布不均勻信號各尺度上小波系數(shù)在某些特定位置有較大的值，這些點(diǎn)對應(yīng)于原始信號的奇變位置和重要信息，而其他大部分位置的較?。粚τ诎自肼?，它對應(yīng)的小波系數(shù)在每個(gè)尺度上的分不都是均勻的，并隨尺度的增加，系數(shù)的幅值減小。因此，通常的去噪辦法是尋找一個(gè)合適的數(shù)作為閾值（門限），把低于的小波函數(shù)（主要由信號引起），設(shè)為零，而對于高于的小波函數(shù)（主要由信號引起），則予以保留或進(jìn)行收縮，從而得到估計(jì)小波系

11、數(shù)，它可理解為基本由信號引起的，然后對進(jìn)行重構(gòu)，就可以重構(gòu)原始信號。估計(jì)小波系數(shù)的方法如下，?。?（1-15） 定義： （1-16） 稱之為硬閾值估計(jì)方法。一般軟閾值估計(jì)定義為 （1-17） 小波閾值降噪方法處理閾值的選取，另一個(gè)關(guān)鍵因素是閾值的具體估計(jì)。如果閾值太小，降噪后的圖像仍然存在噪聲：相反如果閾值太大，重要圖像特征有被濾掉，引起偏差。從直觀上講,對于給定的小波系數(shù)，噪聲越大，閾值就越大。1.2.2小波去噪對比試驗(yàn)1.測試信號圖形圖1-3原始信號和含噪信號2.不同閾值選取方式下濾波效果的比較圖1-4 MATLAB中的4種閾值選取方式對比可以看出，固定閾值形式（sqtwolog）和啟發(fā)式閾值（heuesure）的去噪更徹底，而由于rigrsur