大學(xué)教案—線性規(guī)劃

1、渭南師范學(xué)院數(shù)學(xué)系講稿 2012 2013 學(xué)年 第 二 學(xué)期教 研 室 計(jì)算數(shù)學(xué) 課程名稱(chēng) 線性規(guī)劃 授課對(duì)象 數(shù)專(zhuān)升本12級(jí) 授課教師 路玉麟 職 稱(chēng) 講 師 教材名稱(chēng) 線性規(guī)劃武漢大學(xué)出版社張干宗 2013年 3月10日 線性規(guī)劃 課程教案講稿授課題目（教學(xué)章節(jié)或主題）：前言 線性規(guī)劃概述授課類(lèi)型課堂講授授課時(shí)間第 1 周第 1節(jié)教材分析： 本章主要介紹了線性規(guī)劃的基本概念。教學(xué)目的與要求：要求學(xué)生掌握線性規(guī)劃的作用和意義。重點(diǎn)與難點(diǎn)：重點(diǎn)：線性規(guī)劃的基本概念難點(diǎn)：常見(jiàn)線性規(guī)劃問(wèn)題教學(xué)內(nèi)容與過(guò)程（設(shè)想、方法、手段） 啟發(fā)式教學(xué)、課堂精講、講練結(jié)合思考題、討論題、作業(yè)：參考資料（含參考書(shū)、

2、文獻(xiàn)等）：教學(xué)內(nèi)容與過(guò)程課后分析前 言線性規(guī)劃的英文全稱(chēng)為：Linear Programming，可簡(jiǎn)稱(chēng)為L(zhǎng)P一、線性規(guī)劃所屬學(xué)科線性規(guī)劃是“運(yùn)籌學(xué)”中應(yīng)用最廣泛、理論最成熟的一個(gè)分支二、線性規(guī)劃發(fā)展簡(jiǎn)史三十年代末，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家康托洛維奇開(kāi)始研究生產(chǎn)組織中的線性規(guī)劃問(wèn)題1947年美國(guó)數(shù)學(xué)家丹捷格提出了單純形(Simplex)方法及有關(guān)理論，為線性規(guī)劃奠定了理論基礎(chǔ)五十年代，線性規(guī)劃成為經(jīng)濟(jì)學(xué)家分析經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的重要工具隨著計(jì)算機(jī)的迅猛發(fā)展，線性規(guī)劃現(xiàn)被廣泛應(yīng)用于工業(yè)、農(nóng)業(yè)、商業(yè)等各個(gè)領(lǐng)域三、用線性規(guī)劃方法解決實(shí)際問(wèn)題的兩大特點(diǎn)1、全局性從全局出發(fā)，將全局目標(biāo)作為追求目標(biāo)；2、定量性通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型，

3、對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行定量分析，而不是只做定性分析數(shù)學(xué)模型指：將實(shí)際問(wèn)題用一系列數(shù)學(xué)表達(dá)式(函數(shù)、方程、不等式等)表示出來(lái)，稱(chēng)這一系列數(shù)學(xué)表達(dá)式為該實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型同時(shí)應(yīng)注意全局的相對(duì)性，即對(duì)于車(chē)間，企業(yè)是全局；但對(duì)于集團(tuán)公司，企業(yè)是局部，集團(tuán)公司才是全局 教學(xué)內(nèi)容與過(guò)程課后分析四、線性規(guī)劃方法解決的兩類(lèi)問(wèn)題1、任務(wù)一定，如何安排，可使人、財(cái)、物最?。?、人、財(cái)、物一定，如何安排，可使任務(wù)完成量最多五、線性規(guī)劃可解決以下幾方面的問(wèn)題、運(yùn)輸問(wèn)題：某產(chǎn)品有若干個(gè)產(chǎn)地、若干個(gè)銷(xiāo)地，如何運(yùn)輸，使總運(yùn)費(fèi)最省；2、生產(chǎn)組織問(wèn)題：3、配料問(wèn)題：如何搭配各種原料，既符合質(zhì)量(營(yíng)養(yǎng))要求，又使成本最低；4、投資問(wèn)題：

4、資金一定，投向誰(shuí)、投多少、期限多長(zhǎng)，使若干年后本利和最高；5、庫(kù)存問(wèn)題：在倉(cāng)庫(kù)容量有限情況下，如何確定庫(kù)存物資的品種、數(shù)量、期限，使庫(kù)存效益最佳；6、合理播種問(wèn)題：在土地資源有限的情況下，種什么、種多少，使效益最高；六、用線性規(guī)劃方法解決實(shí)際問(wèn)題的步驟1、提出問(wèn)題，收集資料；2、建立線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型；3、用線性規(guī)劃方法解模型；4、給出最優(yōu)決策方案七、講授內(nèi)容1、建模；2、用圖解法解線性規(guī)劃問(wèn)題；3、用計(jì)算機(jī)軟件解線性規(guī)劃模型；4、寫(xiě)最優(yōu)決策方案八、考試方式：教學(xué)內(nèi)容與過(guò)程課后分析線性規(guī)劃 課程教案講稿授課題目（教學(xué)章節(jié)或主題）：第一章 線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的建立授課類(lèi)型課堂講授授課時(shí)間第 周第 節(jié)

5、教材分析：本章通過(guò)例題說(shuō)明線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的形式、三要素及建立數(shù)學(xué)模型的方法教學(xué)目的與要求：通過(guò)本章學(xué)習(xí)，使學(xué)生理解線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的概念及一般表示形式；掌握線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的三要素；掌握建立線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的步驟和方法；能熟練的建立一些問(wèn)題的線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型；理解線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型解的含義重點(diǎn)與難點(diǎn)：重點(diǎn)：線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的建立難點(diǎn)：建立線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型教學(xué)內(nèi)容與過(guò)程（設(shè)想、方法、手段）啟發(fā)式教學(xué)、課堂精講、講練結(jié)合1、 供求平衡條件下的運(yùn)輸問(wèn)題模型的建立；2、 線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的三要素；3、 建立線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的步驟；4、 線性規(guī)劃問(wèn)題解的概念（可行解、可行解集、最優(yōu)解、最優(yōu)值）；5、 線

6、性規(guī)劃的概念；6、 線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的一般形式思考題、討論題、作業(yè)：參考資料（含參考書(shū)、文獻(xiàn)等）：教 學(xué) 內(nèi) 容 與 步 驟備注本章通過(guò)例題說(shuō)明線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的形式、三要素及建立數(shù)學(xué)模型的方法一、建立線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的例例1 供求平衡狀態(tài)下的運(yùn)輸問(wèn)題有兩個(gè)農(nóng)場(chǎng)和，產(chǎn)糧量分別為23萬(wàn)噸和27萬(wàn)噸，要將糧食運(yùn)往，三個(gè)城市，三個(gè)城市的糧食需求量分別為17、18和15萬(wàn)噸農(nóng)場(chǎng)到各城市的運(yùn)價(jià)如下表運(yùn)價(jià)表 單位：元/萬(wàn)噸運(yùn)價(jià)城市農(nóng)場(chǎng)50607060110160問(wèn)：應(yīng)如何調(diào)運(yùn)，可使總運(yùn)費(fèi)最??？試建立該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型分析此問(wèn)題有兩個(gè)供應(yīng)方和，三個(gè)需求方，假設(shè)這五者組成一個(gè)封閉系統(tǒng)，兩個(gè)供應(yīng)者的糧食只能提供給

7、這三個(gè)需求方，同時(shí)三個(gè)需求方的糧食也只能從這兩個(gè)供應(yīng)者處獲得要建立該問(wèn)題數(shù)學(xué)模型，必須首先從問(wèn)題出發(fā)該題問(wèn)“應(yīng)如何調(diào)運(yùn)，使總運(yùn)費(fèi)最省”“應(yīng)如何調(diào)運(yùn)”指從農(nóng)場(chǎng)分別向三個(gè)城市運(yùn)多少萬(wàn)噸糧食(三個(gè)量)，從農(nóng)場(chǎng)分別向三個(gè)城市運(yùn)多少萬(wàn)噸糧食(三個(gè)量)，共計(jì)6個(gè)量 上述6個(gè)量是可以變化的，在計(jì)算前是未知的，是有待決策的，稱(chēng)其為決策變量在建立數(shù)學(xué)模型時(shí)應(yīng)首先將其設(shè)出為便于區(qū)分供應(yīng)方和需求方，將其設(shè)為雙下標(biāo)變量設(shè)：從農(nóng)場(chǎng)運(yùn)往城市的調(diào)運(yùn)量為萬(wàn)噸教 學(xué) 內(nèi) 容 與 步 驟備注注意，此時(shí)的既表示從農(nóng)場(chǎng)發(fā)往城市的發(fā)出量，同時(shí)也表示城市從農(nóng)場(chǎng)處的接收量如表示從農(nóng)場(chǎng)運(yùn)往城市的糧食量，同時(shí)表示城市從農(nóng)場(chǎng)處的接收量為方便討論

8、問(wèn)題，運(yùn)輸問(wèn)題通常先列出如下調(diào)運(yùn)表調(diào)運(yùn)表調(diào)運(yùn)量 城市農(nóng)場(chǎng)產(chǎn)糧量(可供應(yīng)量)2327需求量171815供求平衡在這五個(gè)部門(mén)組成的封閉系統(tǒng)中，所有供應(yīng)方的可供應(yīng)量之和(23+27=50)為整個(gè)系統(tǒng)的可供應(yīng)量，整個(gè)系統(tǒng)中所有城市糧食需求量之和(17+18+15=50)構(gòu)成系統(tǒng)的總需求量由于該系統(tǒng)的總供應(yīng)量和總需求量都是50，相等，故在調(diào)運(yùn)表最后一個(gè)單元格中填寫(xiě)“供求平衡”此問(wèn)題即為供求平衡狀態(tài)下的運(yùn)輸問(wèn)題上述所設(shè)的6個(gè)決策變量(調(diào)運(yùn)量)應(yīng)滿(mǎn)足一定要求，這些要求就應(yīng)從供求平衡開(kāi)始由于供求平衡，供應(yīng)方和需求方均恰好得到滿(mǎn)足，即：兩個(gè)供應(yīng)方的糧食恰好全部運(yùn)出，三個(gè)需求方所需要的糧食也恰好全部得到滿(mǎn)足，下面

9、通過(guò)列表將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達(dá)式供應(yīng)方：調(diào)出量恰好等于產(chǎn)糧量供應(yīng)方調(diào)出量恰好等于產(chǎn)糧量=23=27需求方：調(diào)入量恰好等于需求量教 學(xué) 內(nèi) 容 與 步 驟備注需求方調(diào)入量恰好等于需求量=17=18=15于是，所設(shè)決策變量同時(shí)滿(mǎn)足以上五個(gè)方程，且由于為調(diào)運(yùn)量，必須非負(fù)所以應(yīng)滿(mǎn)足：稱(chēng)上述條件為約束條件，滿(mǎn)足約束條件的解稱(chēng)為可行解分析可行解的情況由于方程組中無(wú)矛盾方程，且有效方程的個(gè)數(shù)(4個(gè))少于未知量的個(gè)數(shù)(6個(gè))，方程組有無(wú)窮多個(gè)解，進(jìn)一步滿(mǎn)足非負(fù)條件的解也有無(wú)窮多個(gè)，即可行解有無(wú)窮多個(gè)，每個(gè)可行解對(duì)應(yīng)著一個(gè)調(diào)運(yùn)方案(可執(zhí)行方案)如：方案1113923165627171815對(duì)應(yīng)解 方案2112

10、1023166527171815對(duì)應(yīng)解 教 學(xué) 內(nèi) 容 與 步 驟備注顯然，應(yīng)有無(wú)窮多種調(diào)運(yùn)方案每個(gè)調(diào)運(yùn)方案都對(duì)應(yīng)著一個(gè)總運(yùn)費(fèi)方案1對(duì)應(yīng)的總運(yùn)費(fèi)為：(元)；方案2對(duì)應(yīng)的總運(yùn)費(fèi)為：(元)即該題有無(wú)窮多個(gè)調(diào)運(yùn)方案，不同調(diào)運(yùn)方案對(duì)應(yīng)不同運(yùn)費(fèi)，該問(wèn)題要從無(wú)窮多個(gè)調(diào)運(yùn)方案中找出一個(gè)使總運(yùn)費(fèi)最省的方案，即使總運(yùn)費(fèi)函數(shù)取得最小值的一組變量的取值綜上，該問(wèn)題數(shù)學(xué)模型列寫(xiě)如下：解 設(shè)：由農(nóng)場(chǎng)運(yùn)往城市的調(diào)運(yùn)量為萬(wàn)噸則該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為：求一組變量的值，使其滿(mǎn)足：并使最小此問(wèn)題充分體現(xiàn)了全局觀念需求方不能僅考慮自己運(yùn)費(fèi)是否最低，而必須從整個(gè)封閉系統(tǒng)總運(yùn)費(fèi)最低的角度出發(fā)，做到局部利益服從整體利益該題屬第一類(lèi)問(wèn)題，即任

11、務(wù)一定，如何安排，使人、財(cái)、物最省通過(guò)例1對(duì)線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型有關(guān)問(wèn)題作如下歸納教 學(xué) 內(nèi) 容 與 步 驟備注二、線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的三要素所有線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型都要求一組變量的值，稱(chēng)該組變量為決策變量；該組決策變量都要滿(mǎn)足一組條件，稱(chēng)該組條件為約束條件一般，約束條件由兩部分組成：一部分為非負(fù)約束，剩下部分為數(shù)量約束；通常，滿(mǎn)足約束條件的解若存在有無(wú)窮多個(gè)，我們最終不是求這無(wú)窮多個(gè)解分別是什么，而要尋求一個(gè)目標(biāo)這個(gè)目標(biāo)由函數(shù)表示，稱(chēng)為目標(biāo)函數(shù)，線性規(guī)劃問(wèn)題最終要使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值決策變量、約束條件、目標(biāo)函數(shù)分別構(gòu)成了線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的三大要素即三、建立線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的步驟建立實(shí)際問(wèn)題線性

12、規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，實(shí)際是“翻譯”的過(guò)程，即將實(shí)際問(wèn)題翻譯成數(shù)學(xué)表達(dá)式的過(guò)程通常先用文字將實(shí)際問(wèn)題表示出來(lái)，再將文字轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達(dá)式具體步驟如下：1、設(shè)決策變量根據(jù)題目的“問(wèn)題”，設(shè)決策變量；2、列寫(xiě)約束條件根據(jù)題目要求(字面或隱含)列出約束條件，約束條件中通常包含非負(fù)限制3、寫(xiě)目標(biāo)函數(shù)，并注明求最大或最小通常目標(biāo)函數(shù)要求在題目的問(wèn)中提出四、線性規(guī)劃問(wèn)題解的概念1、可行解：滿(mǎn)足約束條件的解稱(chēng)為線性規(guī)劃問(wèn)題的可行解2、可行解集：全體可行解組成的集合3、最優(yōu)解：使目標(biāo)函數(shù)實(shí)現(xiàn)最優(yōu)的可行解4、最優(yōu)值：最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值由上述分析知，線性規(guī)劃問(wèn)題最終就是要求最優(yōu)解和最優(yōu)值，該過(guò)程稱(chēng)作解線性規(guī)劃問(wèn)題

13、的過(guò)程，或求線性規(guī)劃問(wèn)題的解的過(guò)程通常人們靠經(jīng)驗(yàn)、靠想象求最優(yōu)解，如上述例1，人們通常從當(dāng)今的最低運(yùn)費(fèi)開(kāi)始設(shè)計(jì)，直至滿(mǎn)足所有需求方的需求，具體操作如下：教 學(xué) 內(nèi) 容 與 步 驟備注由于到的運(yùn)費(fèi)最低，因而的需求17萬(wàn)噸全部從處獲得，得到滿(mǎn)足；在余下的運(yùn)費(fèi)中，到的運(yùn)費(fèi)最低，將剩余的6萬(wàn)噸給，所需的另12噸只能從運(yùn)費(fèi)相對(duì)較低的處獲得；由于此時(shí)的糧食已全部運(yùn)出，盡管運(yùn)費(fèi)較高，所需要的15萬(wàn)噸糧食也只能從處獲得于是調(diào)運(yùn)表如下方案1760230121527171815該調(diào)運(yùn)方案所對(duì)應(yīng)的總運(yùn)費(fèi)為4930元顯然不是最優(yōu)方案因而必須有專(zhuān)用的、科學(xué)的方法解線性規(guī)劃問(wèn)題解線性規(guī)劃問(wèn)題的方法有圖解法、單純形方法、對(duì)

14、偶單純形方法、兩階段法、大M法等，我們?cè)诘谖逭轮兄饕獙W(xué)習(xí)使用計(jì)算機(jī)軟件求解通過(guò)計(jì)算機(jī)軟件求解，可得例1的最優(yōu)調(diào)運(yùn)方案為：最優(yōu)方案0815231710027171815該調(diào)運(yùn)方案對(duì)應(yīng)的運(yùn)費(fèi)為3650元，是所有可執(zhí)行方案中運(yùn)費(fèi)最省的方案至于如何用程序解模型我們將在以后學(xué)習(xí)下面我們?nèi)匀唤榻B建立數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型的方法例2 資源利用問(wèn)題某企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)單位產(chǎn)品A和B分別需要消耗鋼材8噸和9噸，煤5噸和8噸，電力6度和4度，勞動(dòng)力4人日和12人日現(xiàn)該企業(yè)有鋼材400噸，煤320噸，電力280度，勞動(dòng)力350人日又知生產(chǎn)單位產(chǎn)品A和B各能獲利8千元和1萬(wàn)元問(wèn)應(yīng)如何安排生產(chǎn)，可使企業(yè)利潤(rùn)最

15、大？試建立該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型教 學(xué) 內(nèi) 容 與 步 驟備注 分析 可將已知條件列表如下：?jiǎn)魏?產(chǎn)品資源AB現(xiàn)有量鋼材 (噸)89400煤 (噸)58320電力 (度)64280人力 (人日)412350單位利潤(rùn) (千元)810顯然，B的單位利潤(rùn)高于A的單位利潤(rùn)，應(yīng)多生產(chǎn)，但B對(duì)資源的消耗大，在資源有限的情況下，生產(chǎn)數(shù)量必然少于同樣資源條件下A產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量另外，現(xiàn)有資源數(shù)量與B的單耗間也不成比例，因此應(yīng)對(duì)兩種產(chǎn)品產(chǎn)量進(jìn)行合理搭配，才能在現(xiàn)有資源條件下創(chuàng)造出最高利潤(rùn)此處的“如何安排生產(chǎn)”指在現(xiàn)有資源條件下，A、B兩種產(chǎn)品產(chǎn)量分別為多少?zèng)Q策變量：A、B兩種產(chǎn)品產(chǎn)量，分別為和約束條件：生產(chǎn)過(guò)程中對(duì)各種

16、資源的消耗量不超過(guò)現(xiàn)有量資源消耗量不超過(guò)現(xiàn)有量鋼材400煤320電力280勞動(dòng)力350顯然，滿(mǎn)足上述條件的解有無(wú)窮多個(gè)，每個(gè)解對(duì)應(yīng)一個(gè)生產(chǎn)方案，不同生產(chǎn)方案對(duì)應(yīng)不同的企業(yè)利潤(rùn)目標(biāo)函數(shù)：企業(yè)利潤(rùn)最大，即最大該問(wèn)題數(shù)學(xué)模型列寫(xiě)如下解 設(shè)：A、B兩種產(chǎn)品產(chǎn)量分別為和則該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為：教 學(xué) 內(nèi) 容 與 步 驟備注求一組變量和的值，使其滿(mǎn)足：并使最大此問(wèn)題屬第二類(lèi)問(wèn)題，即人、財(cái)、物一定，如何安排，使任務(wù)完成量最多此題需要說(shuō)明的幾個(gè)問(wèn)題：(1)關(guān)于決策變量：資源利用問(wèn)題中的決策變量只能設(shè)各種產(chǎn)品的產(chǎn)量，而不能設(shè)資源消耗量因?yàn)楫a(chǎn)量作為決策變量，約束條件中的資源消耗量及目標(biāo)函數(shù)中的企業(yè)利潤(rùn)都可以通過(guò)決策

17、變量(產(chǎn)量)表示，也便于利用計(jì)算出的結(jié)果安排生產(chǎn)但若設(shè)資源消耗量為決策變量，則很難分辨這些資源是由哪些產(chǎn)品消耗的，因而企業(yè)利潤(rùn)無(wú)法表示，也就無(wú)法寫(xiě)出目標(biāo)函數(shù)(2)關(guān)于約束條件：約束條件中的數(shù)量約束不能寫(xiě)成等式約束這是由于：等式約束表示各種資源恰好全部用完，與實(shí)際問(wèn)題不符，此時(shí)的利潤(rùn)未必最大因?yàn)槔麧?rùn)最大時(shí)，某些資源可能恰好用完，但某些資源可能有剩余；上述方程組可能無(wú)解；即使方程組有解，即使此時(shí)利潤(rùn)最大，在列約束條件時(shí)，也不必寫(xiě)成“=”，因?yàn)闆](méi)有普遍性而“”中包含“=”，應(yīng)靠解規(guī)劃問(wèn)題解出結(jié)果可能均為=，但不能事先寫(xiě)成=(3)此題通過(guò)計(jì)算機(jī)程序解得最優(yōu)解和最優(yōu)值為：即：產(chǎn)品A生產(chǎn)27.5個(gè)單位，產(chǎn)

18、品B生產(chǎn)20個(gè)單位時(shí)，企業(yè)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為420千元教 學(xué) 內(nèi) 容 與 步 驟備注（4）資源利用問(wèn)題分析：將最優(yōu)解代入約束條件的左端，即可得到最優(yōu)生產(chǎn)方案條件下各種資源的實(shí)際消耗量(如下表)，將實(shí)際消耗量與資源現(xiàn)有量作比較，可分析出各種資源的屬性資源消耗量現(xiàn)有量余量鋼材4000煤32022.5電力28035勞動(dòng)力3500由于鋼材和勞動(dòng)力恰好用完，稱(chēng)其為稀缺資源，而煤和電力有剩余，稱(chēng)其為剩余資源，同時(shí)可計(jì)算出剩余資源的剩余量(5)假設(shè)采用預(yù)先買(mǎi)電的方式，該企業(yè)應(yīng)買(mǎi)245度電(6)假設(shè)要求勞動(dòng)力全部上崗，則約束條件變?yōu)?(7)假設(shè)勞動(dòng)力市場(chǎng)有充足的勞動(dòng)者供應(yīng)，則約束條件中應(yīng)將勞動(dòng)力約束刪去，變

19、為：例3 營(yíng)養(yǎng)問(wèn)題有一位消費(fèi)者欲購(gòu)買(mǎi)營(yíng)養(yǎng)物，根據(jù)醫(yī)生要求，他所購(gòu)買(mǎi)的營(yíng)養(yǎng)物中，維生素A的含量不低于9克，維生素C的含量不低于19克現(xiàn)有六種營(yíng)養(yǎng)物可供選擇，單位該營(yíng)養(yǎng)物所含維A和維C的數(shù)量，及六種營(yíng)養(yǎng)物的購(gòu)買(mǎi)價(jià)格如下表：?jiǎn)挝缓?營(yíng)養(yǎng)物維生素維A (克)102212維C (克)013132購(gòu)買(mǎi)價(jià)格 (元)202560353739問(wèn)：他應(yīng)如何購(gòu)買(mǎi)，既符合醫(yī)生要求，又花錢(qián)最??？試建立該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型教 學(xué) 內(nèi) 容 與 步 驟備注分析 顯然，滿(mǎn)足醫(yī)生要求的購(gòu)買(mǎi)方案有很多，但不同購(gòu)買(mǎi)方案所花的錢(qián)數(shù)不同，該題要求找出花錢(qián)最少的方案 決策變量：此處的“應(yīng)如何購(gòu)買(mǎi)”指六種營(yíng)養(yǎng)物應(yīng)分別購(gòu)買(mǎi)多少設(shè)六種營(yíng)養(yǎng)物的購(gòu)買(mǎi)

20、量分別為，約束條件：購(gòu)買(mǎi)營(yíng)養(yǎng)物的實(shí)際含量不低于醫(yī)生要求 維生素實(shí)際含量不低于醫(yī)生要求維9維19顯然，滿(mǎn)足上述數(shù)量約束條件和非負(fù)限制的解有無(wú)窮多個(gè)，每個(gè)解對(duì)應(yīng)一個(gè)購(gòu)買(mǎi)方案，花的錢(qián)數(shù)各不相同目標(biāo)函數(shù)：花錢(qián)最少，即最小該問(wèn)題數(shù)學(xué)模型列寫(xiě)如下解 設(shè)：營(yíng)養(yǎng)物的購(gòu)買(mǎi)量為則該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為：求一組變量值，使其滿(mǎn)足：并使最小思考一下，該題屬于第幾類(lèi)問(wèn)題以上三個(gè)問(wèn)題雖屬于三個(gè)不同領(lǐng)域，但都是優(yōu)化問(wèn)題，都是要求滿(mǎn)足一定約束條件的最值問(wèn)題，因而都屬于規(guī)劃問(wèn)題，它們具有以下共同特點(diǎn)：1、都要求一組決策變量的值決策變量的每一組取值對(duì)應(yīng)著一個(gè)可執(zhí)行方案通常一個(gè)規(guī)劃問(wèn)題有無(wú)窮多個(gè)可執(zhí)行方案2、都要滿(mǎn)足一組約束條件，約束條

21、件由數(shù)量約束和非負(fù)限制組成，其中數(shù)量約束可能是等式約束、可能是不等式約束，在不等式約束中，可能是“”約束，也可能是“”約束3、都有一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)題目不同，有的目標(biāo)函數(shù)求最大，有的求最小若約束條件為“”約束，目標(biāo)函數(shù)一般求最大，對(duì)應(yīng)著人、財(cái)、物一定，如何安排，使任務(wù)完成量最多問(wèn)題；若約束條件為“”約束，目標(biāo)函數(shù)通常求最小，對(duì)應(yīng)著任務(wù)一定，如何安排，使成本最低問(wèn)題4、約束條件和目標(biāo)函數(shù)都是決策變量的線性表達(dá)式教 學(xué) 內(nèi) 容 與 步 驟備注五、線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的一般形式當(dāng)規(guī)劃問(wèn)題中的約束條件和目標(biāo)函數(shù)都是決策變量的線性表達(dá)式時(shí)，稱(chēng)規(guī)劃問(wèn)題為線性規(guī)劃問(wèn)題線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的一般形式為：求一組變量的值

22、，使其滿(mǎn)足：并使最大(或最小)或?qū)懗衫? 供求不平衡時(shí)的運(yùn)輸問(wèn)題例1中若農(nóng)場(chǎng)的糧食產(chǎn)量提高到了25萬(wàn)噸，其他條件不變，問(wèn)如何調(diào)運(yùn)，使總運(yùn)費(fèi)最省？試建立該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型解由農(nóng)場(chǎng)運(yùn)往城市的調(diào)運(yùn)量為萬(wàn)噸調(diào)運(yùn)表調(diào)運(yùn)量 城市農(nóng)場(chǎng)產(chǎn)糧量(可供應(yīng)量)2527需求量171815供求由于供求，供應(yīng)方不能得到滿(mǎn)足，而需求方則恰好得到滿(mǎn)足，即：教 學(xué) 內(nèi) 容 與 步 驟備注供應(yīng)方：調(diào)出量不超過(guò)產(chǎn)糧量供應(yīng)方調(diào)出量不超過(guò)產(chǎn)糧量2527需求方：調(diào)入量恰好等于需求量需求方調(diào)入量恰好等于需求量=17=18=15該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為：求一組變量的值，使其滿(mǎn)足：并使最小例5 供求不平衡時(shí)的運(yùn)輸問(wèn)題例4在即將執(zhí)行最優(yōu)運(yùn)輸方案時(shí)，接到

23、城市的信息，的糧食需求量增至20萬(wàn)噸問(wèn)如何調(diào)運(yùn)，使總運(yùn)費(fèi)最??？試建立該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型解設(shè)：由農(nóng)場(chǎng)運(yùn)往城市的調(diào)運(yùn)量為萬(wàn)噸 調(diào)運(yùn)表調(diào)運(yùn)量 城市農(nóng)場(chǎng)產(chǎn)糧量(可供應(yīng)量)2527需求量171820供求教 學(xué) 內(nèi) 容 與 步 驟備注由于供求，供應(yīng)方能得到滿(mǎn)足，而需求方則不能得到滿(mǎn)足，即：供應(yīng)方：調(diào)出量恰好等于產(chǎn)糧量供應(yīng)方調(diào)出量恰好等于產(chǎn)糧量=25=27需求方：調(diào)入量不超過(guò)需求量需求方調(diào)入量不超過(guò)需求量171820該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為：求一組變量的值，使其滿(mǎn)足：并使最小例6 生產(chǎn)計(jì)劃問(wèn)題（工時(shí)利用問(wèn)題）某精密儀器廠生產(chǎn)甲、乙、丙三種儀器，平均每生產(chǎn)一臺(tái)甲需7小時(shí)加工、6小時(shí)裝配、售價(jià)為3000元；每生產(chǎn)一臺(tái)乙

24、需8小時(shí)加工、4小時(shí)裝配、售價(jià)為2500元；每生產(chǎn)一臺(tái)丙需5小時(shí)加工、3小時(shí)裝配、售價(jià)為1800元每季度可供利用的加工工時(shí)為2000小時(shí)，裝配工時(shí)為1000小時(shí)，三種儀器所需元器件基本相同又據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè)知：市場(chǎng)對(duì)甲的需求量每季度不超過(guò)200臺(tái)，乙不低于180臺(tái)，丙無(wú)要求問(wèn)應(yīng)如何安排生產(chǎn)，可使企業(yè)產(chǎn)值最高？試建立該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型教 學(xué) 內(nèi) 容 與 步 驟備注將已知條件列表如下：?jiǎn)挝还r(shí) 產(chǎn)品工序甲乙丙每季度可用工時(shí)加工7852000裝配6431000售價(jià)300025001800市場(chǎng)需求分析 決策變量：三種儀器每季度產(chǎn)量，分別為，和臺(tái)；約束條件：兩方面(1)加工時(shí)對(duì)設(shè)備的消耗工時(shí)數(shù)不超過(guò)每季度可利用

25、工時(shí)數(shù)；(2)甲、乙兩種儀器每季度實(shí)際產(chǎn)量應(yīng)滿(mǎn)足市場(chǎng)對(duì)該儀器的需求量(1)加工時(shí)對(duì)設(shè)備的消耗工時(shí)數(shù)不超過(guò)每季度可利用工時(shí)數(shù)：工序?qū)嶋H消耗量不超過(guò)可用量加工2000裝配1800(2)甲、乙兩種儀器每季度實(shí)際產(chǎn)量應(yīng)滿(mǎn)足市場(chǎng)對(duì)該儀器的需求量：甲不超過(guò)200臺(tái)儀器季度產(chǎn)量不超過(guò)需求量甲200乙不低于180臺(tái)儀器季度產(chǎn)量不低于需求量乙180可行解也有無(wú)窮多個(gè)目標(biāo)函數(shù)：企業(yè)產(chǎn)值最高，產(chǎn)值產(chǎn)量銷(xiāo)售價(jià)格解 設(shè)：甲、乙、丙三種儀器每季度產(chǎn)量分別為，和臺(tái)，則該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為：教 學(xué) 內(nèi) 容 與 步 驟備注求一組變量，的值，使其滿(mǎn)足：并使最大例7 進(jìn)售貨計(jì)劃問(wèn)題某專(zhuān)賣(mài)店要制定明年一季度商品進(jìn)貨及售貨計(jì)劃已知該店的

26、倉(cāng)庫(kù)最多可容納該種商品500件，且今年底尚有200件庫(kù)存該店每月初進(jìn)一次貨總店規(guī)定明年一季度各月份進(jìn)貨及售貨單價(jià)如下表：月份123買(mǎi)入價(jià)869售出價(jià)9810問(wèn)該店各月應(yīng)分別購(gòu)入和售出多少件該種商品，可使一季度效益最高？試建立該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型分析 決策變量：共6個(gè)，分別為各月份買(mǎi)入量和售出量，為便于區(qū)分，將買(mǎi)入量分別設(shè)為，；將售出量分別設(shè)為，約束條件(1)專(zhuān)賣(mài)店各月初進(jìn)貨后擁有商品數(shù)量不超過(guò)倉(cāng)庫(kù)容量：月份月初量不超過(guò)倉(cāng)庫(kù)容量1月5002月5003月500教 學(xué) 內(nèi) 容 與 步 驟備注(2)專(zhuān)賣(mài)店各月份銷(xiāo)售商品數(shù)量不超過(guò)該月該店擁有該商品數(shù)量：月份銷(xiāo)售量不超過(guò)月初量1月2月3月進(jìn)、銷(xiāo)貨方案有無(wú)窮多

27、個(gè)目標(biāo)函數(shù)：一季度效益最高，一季度效益解 設(shè)：1、2、3月買(mǎi)入量分別為，；售出量分別為，則該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為：求一組變量，的值，使其滿(mǎn)足：并使最大例8 投資問(wèn)題某投資公司準(zhǔn)備將1千萬(wàn)元的資金對(duì)A、B兩家企業(yè)投資對(duì)企業(yè)A每投資1元，當(dāng)年底投資公司可獲利0.7元，對(duì)企業(yè)B每投資1元，第二年底投資公司可獲利2元對(duì)企業(yè)A、B的投資期限必須分別為一年和兩年的整數(shù)倍問(wèn)應(yīng)如何投資，可使投資公司在第三年底本利和最大？試建立該問(wèn)題數(shù)學(xué)模型分析決策變量：該題的問(wèn)題“如何投資”指每年分別向兩家企業(yè)投資多少因而設(shè)分別表示第年向企業(yè)A和B的投資額，為列寫(xiě)模型方便，將有關(guān)數(shù)據(jù)列表如下：年份年初資金對(duì)A投資對(duì)B投資年底資金

28、1123教 學(xué) 內(nèi) 容 與 步 驟備注約束條件：由于只要有投入，不管投向哪家企業(yè)一定有正回報(bào)，要想獲得最大本利和，每年必須將手中的資金全部投出去，只不過(guò)，投向不同企業(yè)、投不同金額回報(bào)大小不同而已，因而約束條件應(yīng)為：每年投資額等于投資公司當(dāng)年初手中的資金額 目標(biāo)函數(shù)：第三年底本利和最大解 如上表，設(shè)分別表示第年向企業(yè)A和B的投資額則該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為：求一組變量的值，使其滿(mǎn)足：并使最大例9 配套生產(chǎn)問(wèn)題某服裝廠加工上衣和褲子，已知加工一件上衣可獲利5元，加工一條褲子可獲利2元，而每個(gè)工人加工一件上衣需2小時(shí)，加工一條褲子需1小時(shí)，由于布料的限制，每個(gè)工人每天最多只能安排加工3件上衣和4條褲子若每

29、個(gè)工人每天工作8小時(shí)，問(wèn)如何安排，才能使每人每天的利潤(rùn)最大？試建立該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型分析 決策變量：該題中的“如何安排”指每個(gè)工人每天生產(chǎn)多少件上衣、多少條褲子，因而設(shè)：每天每人加工上衣件，褲子條；約束條件由每個(gè)工人每天工作8小時(shí)，有；由每天每人生產(chǎn)上衣數(shù)不超過(guò)3件，有：由每天每人生產(chǎn)褲子數(shù)不超過(guò)4條，有：產(chǎn)量非負(fù)：，且為整數(shù)；目標(biāo)函數(shù)：每人每天創(chuàng)造的利潤(rùn)最大解設(shè)：每天每人加工上衣件，褲子條則該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為：求一組變量、的值，使其滿(mǎn)足： 并使最大教 學(xué) 內(nèi) 容 與 步 驟備注例10 配料問(wèn)題某養(yǎng)雞場(chǎng)有100只雞，用動(dòng)物飼料和谷物飼料混合喂養(yǎng)，平均每天每只雞吃混合飼料1斤其中動(dòng)物飼料所占比例不

30、低于20%根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查動(dòng)物飼料每斤售價(jià)為0.1元，谷物飼料每斤0.08元，且飼料公司每周只保證供應(yīng)谷物飼料500斤問(wèn)應(yīng)如何混合才能使飼料成本最低？試建立該問(wèn)題數(shù)學(xué)模型分析決策變量：“應(yīng)如何混合” 指每斤混合飼料中包含動(dòng)物飼料和谷物飼料分別為多少，也可按每天或每周需消耗兩種飼料數(shù)量為決策變量；約束條件：應(yīng)從總數(shù)量和營(yíng)養(yǎng)要求兩個(gè)角度考慮；目標(biāo)函數(shù)：飼料成本最低法一：解設(shè)：每斤飼料中含動(dòng)物飼料斤，谷物飼料斤則該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為：求一組變量，的值，使其滿(mǎn)足：并使最小法二：解設(shè)：每周用動(dòng)物飼料斤，谷物飼料斤則該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為：求一組變量，的值，使其滿(mǎn)足：并使最小例11 植樹(shù)問(wèn)題某班有男同學(xué)30人，女同

31、學(xué)20人，植樹(shù)節(jié)準(zhǔn)備去植樹(shù)，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)：男同學(xué)平均每人每天可挖坑20個(gè)，或栽樹(shù)30棵，或給25棵樹(shù)澆水；女同學(xué)平均每人每天可挖坑10個(gè)，或栽樹(shù)20棵，或給15棵樹(shù)澆水問(wèn)應(yīng)如何安排，才能使植樹(shù)（包括挖坑、栽樹(shù)、澆水）量最多？試建立該問(wèn)題數(shù)學(xué)模型分析決策變量：“如何安排”指男生、女生分別有多少人挖坑、栽樹(shù)、澆水，共6個(gè)決策變量；約束條件目標(biāo)函數(shù)：植樹(shù)量最大教 學(xué) 內(nèi) 容 與 步 驟備注解設(shè)：男生挖坑、栽樹(shù)、澆水人數(shù)分別為、人女生挖坑、栽樹(shù)、澆水人數(shù)分別為、人.則該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為：求一組變量的值，使其滿(mǎn)足：并使植樹(shù)量最大例12 配套生產(chǎn)問(wèn)題某木器公司有A、B、C三個(gè)加工廠，接受了為合資飯店趕制一

32、批高檔沙發(fā)的任務(wù)，每個(gè)客房放置一只大沙發(fā)和兩只小沙發(fā)各工廠每天工作8小時(shí)，各廠生產(chǎn)能力為：A廠每天若只做大沙發(fā)可做60只，若只做小沙發(fā)可做75只；B廠每天若只做大沙發(fā)可做15只，若只做小沙發(fā)可做30只；C廠每天若只做大沙發(fā)可做45只，若只做小沙發(fā)可做50只合同規(guī)定每天按套交一次貨問(wèn)應(yīng)如何安排生產(chǎn)，可使公司每天的總產(chǎn)量最大？試建立該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型分析決策變量：可設(shè)三個(gè)工廠每天生產(chǎn)大、小沙發(fā)數(shù)量或時(shí)間；約束條件目標(biāo)函數(shù)：每天生產(chǎn)沙發(fā)套數(shù)最多此題涉及數(shù)量與時(shí)間的轉(zhuǎn)換，如廠生產(chǎn)能力為：每天工作8小時(shí)可做大沙發(fā)60只，則廠每小時(shí)可作大沙發(fā)個(gè)；作一個(gè)大沙發(fā)所用時(shí)間為小時(shí)法一：設(shè)生產(chǎn)時(shí)間解設(shè)A廠每天生產(chǎn)大、

33、小沙發(fā)時(shí)間分別為和小時(shí)B廠每天生產(chǎn)大、小沙發(fā)時(shí)間為和小時(shí)C廠每天生產(chǎn)大、小沙發(fā)時(shí)間為和小時(shí)則該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為：求一組變量的值，使其滿(mǎn)足：教 學(xué) 內(nèi) 容 與 步 驟備注并使最大法2設(shè)生產(chǎn)沙發(fā)數(shù)量解設(shè)A廠每天生產(chǎn)大、小沙發(fā)產(chǎn)量為和只B廠每天生產(chǎn)大、小沙發(fā)產(chǎn)量為和只C廠每天生產(chǎn)大、小沙發(fā)產(chǎn)量為和只則該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為：求一組變量的值，使其滿(mǎn)足：并使最大例13 排班問(wèn)題某飯店日夜服務(wù)，一天24小時(shí)所需服務(wù)員人數(shù)如下表：序號(hào)時(shí)間所需服務(wù)員最少人數(shù)12-6326-108310-1410414-187518-2212622-24如果每個(gè)服務(wù)員每天連續(xù)工作8小時(shí)，且必須在上述時(shí)間段開(kāi)始時(shí)間開(kāi)始上班試確定滿(mǎn)足

34、以上條件的最少人數(shù)試建立該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型分析 此題的關(guān)鍵是區(qū)分以下四種人數(shù)：(1)每個(gè)時(shí)間段上所需最少人數(shù)；(2)每個(gè)時(shí)間段上實(shí)際在班上的人數(shù)；(3)每個(gè)時(shí)間段開(kāi)始上班的人數(shù)；(4)飯店所需服務(wù)員總?cè)藬?shù)教 學(xué) 內(nèi) 容 與 步 驟備注該題顯然不能設(shè)(1)和(4)為決策變量，設(shè)(2)為決策變量顯然也不合適，因?yàn)槊總€(gè)時(shí)間段在班上的人數(shù)由上個(gè)時(shí)間段開(kāi)始上班人數(shù)和本時(shí)間段開(kāi)始上班人數(shù)之和組成，無(wú)法進(jìn)一步分解出有多少人屬于哪一種，也無(wú)法表示飯店所需總?cè)藬?shù)反之，若按各時(shí)間段開(kāi)始上班人數(shù)設(shè)決策變量，每個(gè)時(shí)間段在班上的人數(shù)及飯店所需服務(wù)員總數(shù)則可以很容易的表示出來(lái)，因而，本題關(guān)鍵設(shè)每個(gè)時(shí)間段開(kāi)始上班人數(shù)為決策變

35、量解 設(shè)第個(gè)時(shí)間段開(kāi)始時(shí)間開(kāi)始上班的人數(shù)為則該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為：求一組變量的值，使其滿(mǎn)足：并使最小例14 合理下料問(wèn)題某廠要做100套鋼架，每套由2根2.9米、2根2.1米和4根1.5米的圓鋼組成已知原料長(zhǎng)7.4米問(wèn)應(yīng)如何下料，使所用原料最?。吭嚱⒃搯?wèn)題的數(shù)學(xué)模型分析：所有有關(guān)合理下料問(wèn)題，均應(yīng)將所有可能的下料方法列寫(xiě)出來(lái)，統(tǒng)計(jì)時(shí)必須從最長(zhǎng)者的最多根數(shù)開(kāi)始有規(guī)律遞減，以保證下料方法不重復(fù)和遺漏該題所有下了方法如下：下料方法123456782.9米(根)211100002.1米(根)021032101.5米(根)10130234余料(米)0.10.30.901.10.20.81.4解 設(shè)第種下

36、料方式用原料根則該問(wèn)題數(shù)學(xué)模型為：求一組變量的值，使其滿(mǎn)足：并使最小教 學(xué) 內(nèi) 容 與 步 驟備注例15 合理下料問(wèn)題例14中考慮到設(shè)備調(diào)試問(wèn)題，需要選擇五種余料較少的方法進(jìn)行套裁，應(yīng)如何下料，使所用原料最?。吭嚱⒃搯?wèn)題的數(shù)學(xué)模型選第1,2,4,6,7種截法，作為第1,2,3,4,5種截法解 設(shè)第種下料方式用原料根則該問(wèn)題數(shù)學(xué)模型為：求一組變量的值，使其滿(mǎn)足：并使最小例16 資源利用問(wèn)題及其對(duì)偶問(wèn)題某工廠利用三種原料生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，三種原料的現(xiàn)有存量分別為150、240、300單位，生產(chǎn)單位產(chǎn)品所消耗各種原料的數(shù)量及銷(xiāo)售單位產(chǎn)品所能得到的收益如下表： 單耗 產(chǎn)品原料現(xiàn)有存量1115023240

37、32300單位收益2.41.8問(wèn)：(1) 工廠應(yīng)如何安排生產(chǎn)使總收益最大？試建立該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型(2) 若有一企業(yè)欲從該廠購(gòu)買(mǎi)現(xiàn)有原料，這批原料的銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)為多少，可使該廠愿意停止自己生產(chǎn)，而將原料全部出售？試建立該問(wèn)題數(shù)學(xué)模型解 (1)設(shè)：的產(chǎn)量為單位，的產(chǎn)量為單位則該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為：教 學(xué) 內(nèi) 容 與 步 驟備注求一組變量的值，使其滿(mǎn)足并使最大(2) 分析 設(shè)原料的單價(jià)分別為，出售原料用于生產(chǎn)所得收益不低于自己生產(chǎn)所得收益：即出售原料用于生產(chǎn)所得收益不低于自己生產(chǎn)的收益：為保證成交，應(yīng)使買(mǎi)方所付購(gòu)買(mǎi)費(fèi)最低，即使最小解設(shè)：原料的銷(xiāo)售單價(jià)分別為則該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為：求一組變量的值，使其滿(mǎn)足：

38、并使最小稱(chēng)(2)為(1)的對(duì)偶問(wèn)題通過(guò)求解，兩個(gè)問(wèn)題的最優(yōu)值相等，說(shuō)明只有當(dāng)工廠銷(xiāo)售這批原料獲得總收益與利用原料自己生產(chǎn)產(chǎn)品所獲總收益相等時(shí)，銷(xiāo)售這批原料才合算例17 工時(shí)利用問(wèn)題及對(duì)偶問(wèn)題某鐵器廠生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品，生產(chǎn)一件甲種產(chǎn)品需要1小時(shí)車(chē)工加工、2小時(shí)銑工加工、2小時(shí)裝配，獲得利潤(rùn)100元；生產(chǎn)一件乙種產(chǎn)品需要2小時(shí)車(chē)工加工、1小時(shí)銑工加工、2小時(shí)裝配，獲得利潤(rùn)90元；生產(chǎn)一件丙種產(chǎn)品需要2小時(shí)車(chē)工加工、1小時(shí)銑工加工、1小時(shí)裝配，獲得利潤(rùn)60元工廠每月可供利用的車(chē)工加工工時(shí)為4200小時(shí)、銑工工時(shí)為6000小時(shí)，裝配工時(shí)為3600小時(shí)(1) 工廠每月應(yīng)如何安排生產(chǎn)，使總利潤(rùn)最大？

39、(2) 如果企業(yè)將所有生產(chǎn)能力轉(zhuǎn)化為來(lái)料加工，在不降低經(jīng)濟(jì)效益的情況下，各工種每小時(shí)的加工費(fèi)為多少教 學(xué) 內(nèi) 容 與 步 驟備注將已知條件列表如下工時(shí)定額產(chǎn)品工種甲乙丙可利用工時(shí)車(chē)1224200銑2116000裝配2213600單位利潤(rùn) (元)1009060解 (1)設(shè)：甲、乙、丙三種產(chǎn)品月產(chǎn)量分別為則該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為：求一組變量的值，使其滿(mǎn)足：并使最大(2)設(shè)：車(chē)工、銑工、裝配工種每小時(shí)加工費(fèi)分別為元顯然，為外商來(lái)料加工所得到的收入應(yīng)不低于自己生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品的利潤(rùn)由于生產(chǎn)生產(chǎn)一件甲種產(chǎn)品需要1小時(shí)車(chē)工加工、2小時(shí)銑工加工、2小時(shí)裝配，獲得利潤(rùn)100元，將這些工時(shí)用于來(lái)料加工所得到的

40、收入應(yīng)不低于100元，即同理，生產(chǎn)乙和丙的工時(shí)用于來(lái)料加工所得到的收入分別不低于乙和丙的單位利潤(rùn)目標(biāo)函數(shù)應(yīng)從每月三個(gè)工種工時(shí)全部用于來(lái)料加工所得到的收入角度考慮，此時(shí)不能讓收入最大，因?yàn)樵撌杖胍布磳?duì)方的付出，要想通過(guò)來(lái)料加工獲得收入，必須保證雙方都合適，約束條件保證了工廠的利益，只有目標(biāo)函數(shù)中使對(duì)方付出最小時(shí)，對(duì)方才能接受，因而目標(biāo)函數(shù)應(yīng)求最小于是，該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為：則該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為：求一組變量的值，使其滿(mǎn)足：并使最小線性規(guī)劃 課程教案講稿授課題目（教學(xué)章節(jié)或主題）： 第三章 含有兩個(gè)決策變量的線性規(guī)劃問(wèn)題的圖解法授課類(lèi)型課堂講授授課時(shí)間第 周第 節(jié)教材分析：1、 線性規(guī)劃問(wèn)題圖解法的含

41、義；2、 含有兩個(gè)決策變量的線性規(guī)劃問(wèn)題的圖解法；3、 線性規(guī)劃問(wèn)題解的類(lèi)型（無(wú)可行解、有可行解但無(wú)最優(yōu)解、有唯一最優(yōu)解、有無(wú)窮多個(gè)最優(yōu)解）；4、 線性規(guī)劃問(wèn)題解的有關(guān)說(shuō)明；5、 圖解法的應(yīng)用教學(xué)目的與要求：通過(guò)本章學(xué)習(xí)，使學(xué)生了解含有兩個(gè)決策變量的線性規(guī)劃問(wèn)題圖解法；理解線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型解的含義；掌握線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型解的四種情況（無(wú)可行解、有可行解但無(wú)最優(yōu)解、有唯一最優(yōu)解、有無(wú)窮多個(gè)最優(yōu)解）重點(diǎn)與難點(diǎn)：重點(diǎn)： 含有兩個(gè)決策變量的線性規(guī)劃問(wèn)題的圖解法難點(diǎn)： 含有兩個(gè)決策變量的線性規(guī)劃問(wèn)題的圖解法教學(xué)內(nèi)容與過(guò)程（設(shè)想、方法、手段） 啟發(fā)式教學(xué)、課堂精講、講練結(jié)合思考題、討論題、作業(yè)：參考資料（含

42、參考書(shū)、文獻(xiàn)等）：教 學(xué) 內(nèi) 容 與 步 驟備注引例 某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，需消耗A、B、C三種資源，已知生產(chǎn)一件產(chǎn)品甲需消耗2單位資源A、1單位資源B、不消耗資源C；生產(chǎn)一件產(chǎn)品乙需消耗2單位資源A、2單位資源B、4單位資源C已知，該企業(yè)現(xiàn)有A資源12單位、B資源8單位、C資源12單位又知每件產(chǎn)品甲和乙的利潤(rùn)分別為2和3(百元)問(wèn)應(yīng)如何安排生產(chǎn)，可使企業(yè)利潤(rùn)最大試建立該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，用圖解法解此模型，給出最優(yōu)生產(chǎn)方案 為建立數(shù)學(xué)模型方便，將上述已知條件列成如下表格形式：?jiǎn)魏?產(chǎn)品資源甲乙現(xiàn)有資源A2212B128C0412單位利潤(rùn)(百元/件)23先建立該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型 設(shè)：甲、乙兩種產(chǎn)

43、品的產(chǎn)量分別為和則該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為：求一組變量和的值，使其滿(mǎn)足：并使利潤(rùn)最大 一、線性規(guī)劃問(wèn)題圖解法含義該線性規(guī)劃問(wèn)題僅含有兩個(gè)決策變量和，可將兩個(gè)決策變量取值組成的有序數(shù)組與平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)形成一一對(duì)應(yīng)而含有兩個(gè)決策變量的線性規(guī)劃問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)為二元線性函數(shù)，約束條件為二元一次方程或二元一次不等式，這些均可在平面直角坐標(biāo)系中通過(guò)直線或半平面等表示于是，含有兩個(gè)決策變量的線性規(guī)劃問(wèn)題可在平面直角坐標(biāo)系上通過(guò)作圖方式求解 這種通過(guò)作圖方式解線性規(guī)劃問(wèn)題的方法稱(chēng)為線性規(guī)劃問(wèn)題的圖解法 教 學(xué) 內(nèi) 容 與 步 驟備注學(xué)習(xí)圖解法的意義：(1) 求含有兩個(gè)決策變量的線性規(guī)劃問(wèn)題的解；(2) 理解線

44、性規(guī)劃問(wèn)題解的性質(zhì)和含義 由于線性規(guī)劃問(wèn)題的約束條件為等式約束，或不等式約束及，而我們已知等式約束在平面直角坐標(biāo)系中表示一條直線，而不等式約束即二元一次不等式在坐標(biāo)平面內(nèi)的求解方法及結(jié)果還不清楚，因而，我們先學(xué)習(xí)二元一次不等式的圖解法 二、二元一次不等式的圖解法以為例，分析用圖解法解二元一次不等式的方法 (1) 如圖4-1，建立平面直角坐標(biāo)系O(2) 先作此為一條直線，找兩個(gè)不同點(diǎn)和即可確定這條直線，稱(chēng)此直線為 圖4-1該直線將整個(gè)坐標(biāo)平面分成兩個(gè)半平面：左下方和右上方(3) 分析兩個(gè)半平面的特征先分析左下半平面特征：在直線左下方任取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，與直線交于一點(diǎn)由于做的是軸的垂線，點(diǎn)與

45、點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，即由于點(diǎn)在點(diǎn)的上方，有由于點(diǎn)在直線上，滿(mǎn)足直線方程教 學(xué) 內(nèi) 容 與 步 驟備注將上述三個(gè)關(guān)系聯(lián)立，有于是，有即直線左下方點(diǎn)滿(mǎn)足不等式：由于點(diǎn)是直線左下方任意點(diǎn)，故直線左下方所有點(diǎn)都滿(mǎn)足：同理：直線右上方所有點(diǎn)都滿(mǎn)足：(4) 綜上：直線將整個(gè)坐標(biāo)平面分成兩個(gè)半平面，其中一個(gè)半平面滿(mǎn)足不等式：另一個(gè)半平面滿(mǎn)足：可見(jiàn)，二元一次不等式的解為以直線為邊界的半平面一般，二元一次不等式的解為以為分界線的半平面(5) 一般做題時(shí)，并不按上述方法找任意點(diǎn)分析判斷解所在的半平面而是在直線外找一已知點(diǎn)代入不等式，觀察不等式是否成立，以判斷解所在的半平面(注意：這里所說(shuō)的已知點(diǎn)，指該點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)已

46、知，且該點(diǎn)與直線的關(guān)系也已知)用圖解法解二元一次不等式的步驟可歸納如下：(1) 建立平面直角坐標(biāo)系；(2) 作直線(邊界線)；(3) 通過(guò)代點(diǎn)法確定解所在的半平面具體方法是：在直線外任取一個(gè)已知點(diǎn)，將其橫縱坐標(biāo)代入不等式，若不等式成立，則該點(diǎn)所在的半平面為不等式的解若不等式不成立，則另一個(gè)半平面為不等式的解(4) 用陰影表示不等式的解教 學(xué) 內(nèi) 容 與 步 驟備注例1用圖解法解不等式解如圖4-2 (1) 建立平面直角坐標(biāo)系；(2) 作直線；(3) 將直線左下方點(diǎn)代入不等式，有：即不等式成立；(4) 不等式的解為直線及直線左下方的半平面O圖4-2例2用圖解法解不等式解如圖4-3(1)建立平面直角

47、坐標(biāo)系；(2)作直線；(3)將直線左下方點(diǎn)代入不等式，有，即不等式不成立；OO(4)不等式的解為直線及右上方的半平面圖4-3圖4-4教 學(xué) 內(nèi) 容 與 步 驟備注例3用圖解法解不等式組解如圖4-4(1)建立平面直角坐標(biāo)系；(2)作直線(縱軸)，找所在半平面，為縱軸右半平面；作直線(橫軸)，找所在半平面，為橫軸上半平面；(3) 不等式組的解為兩者的公共部分第一象限由于含有兩個(gè)決策變量的線性規(guī)劃問(wèn)題的約束條件中均含有，故含有兩個(gè)決策變量的線性規(guī)劃問(wèn)題的可行解和最優(yōu)解都在第一象限內(nèi)，今后用圖解法解線性規(guī)劃問(wèn)題時(shí)，著重畫(huà)出第一象限即可三、線性規(guī)劃問(wèn)題的圖解法例4 用圖解法解線性規(guī)劃問(wèn)題：解 (1) 建

48、立平面直角坐標(biāo)系，求可行解集； 先作直線，代點(diǎn)判斷在直線的左下方； 作直線，代點(diǎn)判斷在直線的左下方； 作直線，代點(diǎn)判斷在直線的下方； 表示第一象限； 取上述五個(gè)條件的公共部分，得該問(wèn)題的可行解集為如圖4-5所示的OABCDO(2) 作目標(biāo)函數(shù)初始等值線由于目標(biāo)函數(shù)為，故目標(biāo)函數(shù)初始等值線為，此為一條過(guò)點(diǎn)和的直線，用虛線表示由于該直線上所有點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值都是0，故稱(chēng)此條直線為目標(biāo)函數(shù)等值線(注意是數(shù)值的值，確切的說(shuō)，應(yīng)稱(chēng)為目標(biāo)函數(shù)等值直線)同理我們也可以做出目標(biāo)函數(shù)的其他等值線，如、及等我們發(fā)現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)等值線彼此平行，故已知一條初始等值線，其它等值線可通過(guò)平移方式得到且向一個(gè)方向平移目標(biāo)函數(shù)值增大，而向另一個(gè)方向教 學(xué) 內(nèi) 容 與 步 驟備注平移目標(biāo)函數(shù)值減小所以只要能判斷出目標(biāo)函數(shù)的增大方向，結(jié)合題目，即可知道目標(biāo)函數(shù)平移方向O圖4-5(3)代點(diǎn)判斷目標(biāo)函數(shù)增大方向找一已知點(diǎn)代入目標(biāo)函數(shù)，若目標(biāo)函數(shù)值大于，說(shuō)明此方向?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)值增大