基本初等函數(shù)第一講

1、2.1指數(shù)函數(shù)2.1.1指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算(1)（I）復(fù)習(xí)回顧 引例：填空（1）；a0= （a； (2) aman=_ (m,nZ)；(am)n=_(m,nZ)； (ab)n=_(nZ)（3）； -；（4）； (1)(2)復(fù)習(xí)整數(shù)指數(shù)冪的概念和運(yùn)算性質(zhì)；(3)(4)復(fù)習(xí)平方根的概念（II）講授新課22=4 ，（-2）2=4 2，-2叫4的平方根23=8 2叫8的立方根； （-2）3=-8-2叫-8的立方根25=32 2叫32的5次方根 2n=a 2叫a的n次方根1.n次方根的定義：（板書）一般地，如果，那么x叫做a的n次方根（ th root）,其中，且。 問題1：n次方根的定義給出了，x如何

2、用a表示呢？是否正確？分析過程：例1根據(jù)n次方根的概念，分別求出27的3次方根，-32的5次方根，a6的3次方根。（要求完整地?cái)⑹銮蠼膺^程）結(jié)論1：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)（跟立方根一樣），有下列性質(zhì)：正數(shù)的n次方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是負(fù)數(shù),任何一個(gè)數(shù)的方根都是唯一的。此時(shí)，a的n次方根可表示為。從而有：，例2根據(jù)n次方根的概念，分別求出16的4次方根，-81的4次方根。結(jié)論2：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)（跟平方根一樣），有下列性質(zhì)：正數(shù)的n次方根有兩個(gè)且互為相反數(shù)，負(fù)數(shù)沒有n次方根。此時(shí)正數(shù)a的n次方根可表示為：其中表示a的正的n次方根，表示a的負(fù)的n次方根。例3根據(jù)n次方根的概念，分別求出0的3次方根，0的4次

3、方根。結(jié)論3：0的n次方根是0，記作當(dāng)a=0時(shí)也有意義。這樣，可在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，得到n次方根的性質(zhì)：3.n次方根的性質(zhì)：（板書） 其中 叫根式，n叫根指數(shù)，a叫被開方數(shù)。注意：根式是n次方根的一種表示形式，并且，由n次方根的定義，可得到根式的運(yùn)算性質(zhì)。4.根式運(yùn)算性質(zhì)：（板書），即一個(gè)數(shù)先開方，再乘方（同次），結(jié)果仍為被開方數(shù)。問題2：若對(duì)一個(gè)數(shù)先乘方，再開方（同次），結(jié)果又是什么？例4：求 ， ， ， 由所得結(jié)果，可有：（板書）性質(zhì)的推導(dǎo)（略）：（）例題講解例1求下列各式的值： （4）（ab）注意：根指數(shù)n為奇數(shù)的題目較易處理，要側(cè)重于根指數(shù)n為偶數(shù)的運(yùn)算。（III）課堂練習(xí)：求下列各式的值(

4、1) (2) (3) (4)2.1.1指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算(2)（I）復(fù)習(xí)回顧1.填空（1） （2）；（3） (4)（5）； （6）（II）講授新課分析：對(duì)于“填空”中的第四題，既可根據(jù)n次方根的概念來解：；也可根據(jù)n次方根的性質(zhì)來解：。問題1：觀察，結(jié)果的指數(shù)與被開方數(shù)的指數(shù)，根指數(shù)有什么關(guān)系？問題2：當(dāng)根式的被開方數(shù)的指數(shù)不能被根指數(shù)整除時(shí)，根式是否可以寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式？如：是否可行？分析：假設(shè)冪的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪也適用，那么，這說明也是的3次方根，而也是a2的3次方根（由于這里n=3，a2的3次方根唯一），于是。這說明可行。由此可有：1.正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義：)注意兩點(diǎn):一是

5、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是根式的另一種表示形式；二是要注意被開方數(shù)an的冪指數(shù)n與根式的根指數(shù)n的一致性。根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪可以進(jìn)行互化。問題3：在上述定義中，若沒有“a0”這個(gè)限制，行不行？分析：正例：等等；反例：；問題4：如何定義正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和0的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪？分析：正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義相仿；0的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與0的非0整數(shù)冪意義相仿。2.負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：3.0的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：（板書）0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪為0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無意義（為什么？）。說明：（1）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義只是一種規(guī)定，前面所舉的例子只表示這種規(guī)定的合理性；（2）規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義以后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有

6、理數(shù)指數(shù)；（3）可以驗(yàn)證整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)于有理數(shù)冪也同樣適用，即（板書）；問題5：若a0，是無理數(shù)，則a該如何理解？（引導(dǎo)學(xué)生先閱讀課本P62P62）即：的不足近似值，從由小于的方向逼近，的過剩近似值從大于的方向逼近.所以，當(dāng)不足近似值從小于的方向逼近時(shí)，的近似值從小于的方向逼近.當(dāng)?shù)倪^剩似值從大于的方向逼近時(shí)，的近似值從大于的方向逼近，(如課本圖所示) 由此，同樣可規(guī)定 ap表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù)； 上述有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)于無理數(shù)指數(shù)冪都適用，有關(guān)概念和證明從略； 指數(shù)概念可以擴(kuò)充到實(shí)數(shù)指數(shù)（為下一小節(jié)學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)作鋪墊）。（III）例題講解：例2求值：分析：此題主要運(yùn)用有理指數(shù)冪

7、的運(yùn)算性質(zhì)。例3用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式：分析：此題應(yīng)結(jié)合分?jǐn)?shù)指數(shù)冪意義與有理指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)。2.1.1指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算(3)（I）復(fù)習(xí)回顧1.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念，以及有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪概念 有理指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì) ； 2.用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示下列各式（a0,x0） （II）講授新課例1計(jì)算下列各式（式中字母都是正數(shù)） 分析：（1）題可以仿照單項(xiàng)式乘除法進(jìn)行，首先是系數(shù)相乘除，然后是同底數(shù)冪相乘除，并且要注意符號(hào)。（2）題先按積的乘方計(jì)算，后按冪的乘方計(jì)算，等熟練后可簡化計(jì)算步驟。對(duì)于計(jì)算的結(jié)果不強(qiáng)求統(tǒng)一用什么形式來表示，沒有特別要求，就用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示。如果有特殊要求，可根據(jù)

8、要求給出結(jié)果，但： 結(jié)果不能同時(shí)含有根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)；不能同時(shí)含有分母和負(fù)指數(shù)； 根式需化成最簡根式。 例2計(jì)算下列各式： 分析：（1）題把根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪形式，再計(jì)算。（2）題先把根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的最簡形式，然后計(jì)算。例3求值：（III）課堂練習(xí)計(jì)算下列各式：2.1指數(shù)函數(shù)測(cè)試題一、選擇題1函數(shù)f（x）=(a2-1)x在R上是減函數(shù)，則a的取值范圍是（ ）A、 B、 C、a D、12.下列函數(shù)式中，滿足f(x+1)=f(x)的是( )A、 (x+1) B、x+ C 、2x D、2-x3.下列f(x)=(1+ax)2是（ ）A、奇函數(shù) B、偶函數(shù) C、非奇非偶函數(shù) D、既奇且偶函數(shù)4函數(shù)y=

9、是（ ）A、奇函數(shù) B、偶函數(shù) C、既奇又偶函數(shù) D、非奇非偶函數(shù)5函數(shù)y=的值域是（ ）A、（-） B、（-0）（0，+） C、（-1，+） D、（-，-1）（0，+）6下列函數(shù)中，值域?yàn)镽+的是（ ）A、y=5 B、y=()1-x C、y= D、y=7已知0a1,b0)與函數(shù)y=()x,y=()x,y=2x,y=10x的圖像依次交于A、B、C、D四點(diǎn)，則這四點(diǎn)從上到下的排列次序是 11函數(shù)y=3的單調(diào)遞減區(qū)間是 12若f(52x-1)=x-2,則f(125)= 三、解答題13、已知關(guān)于x的方程2a7a+3=0有一個(gè)根是2, 求a的值和方程其余的根14、設(shè)a是實(shí)數(shù)，試證明對(duì)于任意a,為增函數(shù)

10、15、已知函數(shù)f(x)=(aa)(a0且a1)在(, +)上是增函數(shù), 求實(shí)數(shù)a的取值范圍參考答案一、選擇題1、D；2、D；3、B；4、A；5、D；6、B；7、A二、填空題8.(-,0)(0,1) (1,+ )9（）9，3910D、C、B、A。11（0，+）120三、解答題13、解: 2a7a+3=0, a=或a=3.a=時(shí), 方程為: 8()14()+3=0x=2或x=1log3a=2時(shí), 方程為: 22+3=0x=2或x=1log214、證明：設(shè)R,且則由于指數(shù)函數(shù) y=在R上是增函數(shù),且,所以即0得+10, +10所以0即因?yàn)榇私Y(jié)論與a取值無關(guān)，所以對(duì)于a取任意實(shí)數(shù)，為增函數(shù)15、解:

11、由于f(x)遞增， 若設(shè)xx,則f(x)f(x)=(aa)(aa)=(a a)(1+aa)0, 故(a9)( (a a)3; (2) , 解得0a1.綜合(1)、(2)得a(0, 1)(3, +)。2.1.2 指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（1）講解新課（一）指數(shù)函數(shù)的概念一般地，函數(shù)y=ax（a0，a1）叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是R.知識(shí)拓展：（1）定義域?yàn)槭裁词菍?shí)數(shù)集？ （2）在函數(shù)解析式y(tǒng)=ax中為什么要規(guī)定a0，a1？練習(xí)：判斷下列函數(shù)是否是指數(shù)函數(shù)：y=23x；y=3x1；y=x3；y=3x；y=（3）x；y=x；y=3x2；y=xx；y=（2a1）x（a，且a1）.只有為指數(shù)函

12、數(shù).（二）指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)問：指數(shù)函數(shù)y=ax，其中底數(shù)a是常數(shù)，指數(shù)x是自變量，冪y是函數(shù).底數(shù)a有無窮多個(gè)取值，不可能逐一研究，選函數(shù)y=2x為例完成以下表格，并且用計(jì)算機(jī)畫出函數(shù)的圖象124結(jié)合函數(shù)y=2x的性質(zhì)（定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性），分析函數(shù)的圖象特征合作探究：是否所有的指數(shù)函數(shù)的圖象均與y=2x的圖象類似？畫出函數(shù)y=8x，y=3.5x，y=1.7x，y=0.8x的圖象，你有什么發(fā)現(xiàn)呢?結(jié)論：y=0.8x的圖象與其余三個(gè)圖象差別很大，其余三個(gè)圖象與y=2x的圖象有點(diǎn)類似，說明還有一類指數(shù)函數(shù)的圖象與y=2x有重大差異. 那么從中選擇一個(gè)具體函數(shù)進(jìn)行研究，以函數(shù)y=（）x

13、的圖象.為例合作探究：函數(shù)y=2x的圖象和函數(shù)y=（）x的圖象的異同點(diǎn). 給出結(jié)論教材第62頁圖表合作探究：函數(shù)y=2x的圖象和函數(shù)y=（）x的圖象有什么關(guān)系？結(jié)論：函數(shù)y=2x的圖象和函數(shù)y=（）x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.證明：因?yàn)楹瘮?shù)y=（）x=2x，點(diǎn)（x，y）與（x，y）關(guān)于y軸對(duì)稱，所以y=2x的圖象上的任意一點(diǎn)P（x，y）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P1（x，y）都在y=（）x的圖象上，反之亦然.根據(jù)這種對(duì)稱性就可以利用函數(shù)y=2x的圖象得到函數(shù)y=（）x的圖象.合作探究：如何快速地畫出指數(shù)函數(shù)簡圖？（1）要注意圖象的分布區(qū)域：指數(shù)函數(shù)的圖象知分布在第一、二象限；（2）注意函數(shù)圖象的特征點(diǎn)：無論底

14、數(shù)取符合要求的任何值，函數(shù)圖象均過定點(diǎn)（0，1）；（3）注意函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)：函數(shù)圖向下逐漸接近x軸，但不能和x軸相交.（三）例題講解【例1】求下列函數(shù)的定義域：（1）y=8；（2）（1）函數(shù)的定義域是x|xR，x；（2）函數(shù)的定義域是R【例2】已知指數(shù)函數(shù)（0且1）的圖象過點(diǎn)（3，），求探究：比較函數(shù)y=2x和y=10x的圖象以及y=（）x和y=（）x的圖象.思考底數(shù)a的變化對(duì)圖象的影響. 結(jié)論：在第一象限內(nèi)，底數(shù)a越小，函數(shù)的圖象越接近x軸.補(bǔ)充作業(yè)1.函數(shù)y=（2a23a+2）ax是指數(shù)函數(shù)，則a的取值范圍 （ ）A.a0，a1 B.a=1C.a=D.a=1或a=2函數(shù)yax21（a0

15、，a1）的圖象必經(jīng)過點(diǎn)（）A（0，1）B（1，1）C（2，0）D（2，2）3.證明函數(shù)y=ax和y=ax（a0，且a1）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.參考答案：1.C 2.D 3.設(shè)P1（x1，y1）是函數(shù)y=ax（a0，且a1）的圖象上任意一點(diǎn)，則y1=a，而P1（x1，y1）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)是Q（x1，y1），y1=a=a，即Q在函數(shù)y=ax的圖象上.由于P1是任意取的，y=ax上任一點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)都在y=ax的圖象上.同理可證：y=ax圖象上任意一點(diǎn)也一定在函數(shù)y=ax的圖象上，函數(shù)y=ax和y=ax的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.2.1.2 指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（2）二、講解新課（一）利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較

16、大小【例1】 比較下列各題中兩個(gè)值的大小：（1）1.72.5，1.73；（2）0.80.1，0.80.2；（3）1.70.3，0.93.1.方法引導(dǎo)：（1）利用計(jì)算器（2）利用函數(shù)的單調(diào)性【例2】 將下列各數(shù)從小到大排列起來：（），（），3，（），（），（）0，（2）3，（）.（討論：利用什么性質(zhì)？ 師生共練，注意格式 小結(jié)：分類、單調(diào)性；利用中間數(shù)）【例3】 解不等式：（1）9x3x2；（2）34x26x0.（二）指數(shù)型函數(shù)在實(shí)際是的應(yīng)用【例3】 截止到1999年底，我國人口約13億.如果今后能將人口年平均增長率控制在1%，那么經(jīng)過20年后，我國人口數(shù)最多為多少?（精確到億）解：先求出函數(shù)關(guān)

17、系式：設(shè)今后人口年平均增長率為1%，經(jīng)過x年后，我國人口數(shù)為y億.經(jīng)過1年，人口數(shù)y=13（1+1%）（億）；經(jīng)過2年，人口數(shù)y=13（1+1%）2（億）；經(jīng)過x年，人口數(shù)y=13（1+1%）x=131.01x（億）.當(dāng)x=20時(shí)，y=131.012016（億）.所以，經(jīng)過20年后，我國的人口數(shù)最多為16億.小結(jié)指數(shù)函數(shù)增長模型：原有量N，平均最長率p，則經(jīng)過時(shí)間x后的總量y=？ 一般形式y(tǒng)=N（1+p）x我們把形如y=kax（kR，a0，且a1）的函數(shù)稱為指數(shù)型函數(shù)，這是非常有用的函數(shù)模型.練習(xí)： 2005年某鎮(zhèn)工業(yè)總產(chǎn)值為100億，計(jì)劃今后每年平均增長率為8%, 經(jīng)過x年后的總產(chǎn)值為原來的

18、多少倍？ 變式：多少年后產(chǎn)值能達(dá)到120億？三、課堂小結(jié)本節(jié)課中主要滲透了數(shù)學(xué)的思想方法：分類討論的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、函數(shù)與方程的思想，數(shù)學(xué)的思想方法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主軸線.練習(xí)：1.設(shè)y1=40.9,y2=80.48,y3=(1/2)-1,5，則 （D）A.y3y1y2 B.y2y1y3C.y1y2y3 D.y1y3y22.一片樹林中現(xiàn)有木材30000 m3，如果每年增長5%，經(jīng)過x年樹林中有木材y m3，寫出x、y間的函數(shù)關(guān)系式，并利用圖象求約經(jīng)過多少年，木材可以增加到40000 m3.（結(jié)果保留一個(gè)有效數(shù)字）函數(shù)關(guān)系式為y=30000（1+5%）x（x0）.當(dāng)y=40000時(shí)，得=（1+5%）x =1.05x，畫出y=1.05x（x0）的圖象，從圖象上找到與