線性代數(shù)(同濟(jì)六版)知識點總結(jié);

1、1. 二階行列式-對角線法則 : a11 a12a21 a22= a11a22 -a12a212. 三階行列式 對角線法則 按行（列）展開法則3. 全排列：n個不同的元素排成一列。 所有排列的種數(shù)用pn 表示， pn = n！ 逆序數(shù)：對于排列p1 p2 pn，如果排在元素pi前面，且比pi大的元素個數(shù)有ti個，則pi這個元素的逆序數(shù)為ti。 整個排列的逆序數(shù)就是所有元素的逆序數(shù)之和。 奇排列：逆序數(shù)為奇數(shù)的排列。偶排列：逆序數(shù)為偶數(shù)的排列。n個元素的所有排列中，奇偶各占一半，即n!2 對換：一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性.4. 其中：j1j2j3 是1,2,3的一個排列， t(

2、j1j2j3)是排列 j1j2j3 的逆序數(shù)5. 下三角行列式:副三角跟副對角相識 對角行列式： 副對角行列式：6. 行列式的性質(zhì)：行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等. （轉(zhuǎn)置：行變列，列變行）。d = dt互換行列式的兩行（列），行列式變號。 推論 ：兩行（列）相同的行列式值為零。 互換兩行：ri rj 行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一個數(shù)k，等于用數(shù) k 乘此行列式。第i行乘k：ri x k 推論 ：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符號外面行列式中如果有兩行（列）元素成比例 ，則此行列式等于0若行列式的某一列（行）的元素都是兩個元素和，則此行列式等于兩個行列式之和。如：把行列式

3、的某行（列）的各元素同一倍數(shù)后加到另一行（列）的對應(yīng)元素上去，行列式的值不變。如第j列的k倍加到第i列上：ci+kcj7. 重要性質(zhì)：利用行列式的性質(zhì) ri+krj 或 ci+kcj ，可以把行列式化為上（下）三角行列式，從而計算n階 行列式的值。（p11頁例7）8. 行列式按行（列）展開法則（*重要*） 重要概念： 余子式：在 n 階行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列劃去, 剩下的( n 1 )2 個元素按原來的排法構(gòu) 成的 n 1 階行列式 叫做aij 的余子式，記為mij 代數(shù)余子式：記 aij = ( 1 ) i+j mij 為元素 aij 的代數(shù)余子式 。 重要性

4、質(zhì)，定理 1）第i行各元素的余子式，代數(shù)余子式與第i行元素的取值無關(guān)?；?2）行列式按行（列）展開法則：行列式等于它的任意一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和， 即： 推論：行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零. 即 或 使用該法則計算行列式的值：先選取存在最多0的行（列），從該行選取一個非0元素aij，并將該行其他元素 通過性質(zhì)化為0，則d = aij aij 9. 利用cramer法則求解n個n元線性方程組：若非齊次線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，則方程組有唯一解。等于0，則無解其中 dj(j=1,2n) 是把系數(shù)行列式中的第j列的元素用方程

5、組右邊的常數(shù)項代替后所得到的的n階行列式即：對于齊次線性方程組，如果系數(shù)行列式d 0，則該方程組只有零解，若d = 0，則存在非零解。第二章1. 矩陣相關(guān)的概念： 矩陣：由 mn 個數(shù) aij (i=1,2,m; j=1,2,n)排成的 m 行 n 列的數(shù)表(是一組數(shù))。 行（列）矩陣：只有一行（列）的矩陣，又稱為行（列）向量。 同型矩陣：行數(shù)，列數(shù)均相等的兩個矩陣 a=b ： 矩陣a和矩陣b為同型矩陣，且對應(yīng)的元素相等。 零矩陣：所有元素為0的矩陣，記為o，不同型的零矩陣是不相等的。 對角矩陣：對角線元素為，其余元素為0的方陣 單位矩陣：對角線元素為，其余元素為0的方陣， 2. 矩陣的運算1

6、）加法：只有兩個矩陣為同型矩陣時，才能進(jìn)行加法運算。a+b等于對應(yīng)元素相加起來。滿足交換律和結(jié)合律2）數(shù)與矩陣相乘，3）矩陣與矩陣相乘：要求前一個矩陣的列數(shù)等于后一個矩陣的行數(shù)；amsbsn 乘積矩陣的行數(shù)為前一個矩陣的行數(shù)，列數(shù)為后一個矩陣的列數(shù)；cmn 即：乘積矩陣的第行，第列元素為前一個矩陣的第行元素與后一個矩陣的第行元素對應(yīng)相乘再相加。注意：一般情況下：ab ba。 但是滿足結(jié)合律和分配律。 ea = ae = a4）矩陣的冪：若 a 是 n 階方陣，則：a2=aa a3=aa2 ak=aak-1 顯然： a、b可交換時才成立 3. 矩陣的轉(zhuǎn)置：把矩陣 a 的行換成同序數(shù)的列得到的新矩

7、陣，記作at .如：性質(zhì)：設(shè)a為n階方陣，如果滿足 a= at，即aij=aji ，則a為對稱陣如果滿足 a= -at，即aij=-aji ，則a為反對稱陣4. 方陣的行列式：由 n 階方陣的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣 a 的行列式，記作|a|或det a.性質(zhì)：，。5. 伴隨矩陣：其中aij是aij的代數(shù)余子式，稱為的伴隨矩陣。（特別注意符號）注意：元素aij的代數(shù)余子式aij是位于a*的第j行第i列（類似于轉(zhuǎn)置）性質(zhì)：aa*= a*a= ae 6. 逆矩陣：對于n 階方陣 a，如果有 n 階方陣 b，使得ab = ba = e，則稱a可逆， b為a的逆矩陣，記為a-1。且a的逆矩陣是唯一

8、的。 判斷方陣a是否可逆：a 0 a可逆，且逆矩陣a-1= 1aa*a = a bc d - a-1=1ad-bcd -b-c a 推論：若a 0，則a-1= 1a*。此時稱a為非奇異矩陣。若a=0，則稱a為奇異矩陣。二階矩陣的逆矩陣：主對角線兩數(shù)對調(diào)，副對角線兩數(shù)反號。單位矩陣e是可逆的 e= e-1。零矩陣是不可逆的。對角矩陣的逆矩陣：對角線上每個元素取倒數(shù)。推論：如果 n 階方陣a、b可逆，那么a-1、at 、 a (0)、ab也可逆 （5）a-1= a-1 且： 用逆矩陣求解線性方程組：已知 axb=c，若ab可逆，則 x= a-1cb-1（a在x左邊，則a-1必須在c左邊，b也如此）

9、7. 矩陣分塊法：用一些橫線和豎線將矩陣分成若干個小塊，這種操作稱為對矩陣進(jìn)行分塊； 每一個小塊稱為矩陣的子塊；矩陣分塊后，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣.分塊矩陣的運算：（其運算與矩陣運算基本一致） 1）加法：要求矩陣a和b是同型矩陣，且采用相同的分塊法(即相對應(yīng)的兩個子塊也是同型的) 2）分塊矩陣a的轉(zhuǎn)置at：除了a整體上需轉(zhuǎn)置外，每一個子塊也必須得轉(zhuǎn)置。8. 分塊對角矩陣：設(shè) a 是 n 階矩陣，若：a 的分塊矩陣只有在對角線上有非零子塊，其余子塊都為零矩陣對角線上的子塊都是方陣則稱a為分塊對角矩陣。性質(zhì)：| a | = | a1 | | a2 | | as | 若| as |

10、0，則 | a | 0，并且分塊副對角矩陣：o ab o-1= o b-1a-1 o a = o 的充分必要條件：ata= o第三章1. 初等行變換：（運算符號：）- 注意與行列式的運算加以區(qū)分互換兩行，記做rirj 第i行乘以非0常數(shù)k，記做rik 第j行的k倍加到第i行上，記做ri+krj2. 若矩陣a經(jīng)過有限次初等變換成矩陣b，則稱a與b等價，記做ab amnbmn的充要條件是存在 m 階可逆矩陣 p 及 n 階可逆矩陣 q ，使 paq = b3. 矩陣之間等價關(guān)系的性質(zhì)：反身性：aa 對稱性：若ab，則ba 傳遞性：若ab，bc，則ac4. 行階梯形矩陣：1）可畫出一條階梯線，線的下

11、方全為零；2）每個臺階只有一行；3）階梯線的豎線后面是非零行的第一個非零元素. 行最簡形矩陣：4）非零行的首非零元為1;5）首非零元所在的列的其它元素都為零.5. 初等矩陣：由單位矩陣 e 經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣。（是可逆的）1）單位矩陣對換i，j行，記作 em(i,j)em(i,j)-1= em(i,j)2）以常數(shù) k0 乘單位矩陣第 i 行（列）， 記作em(i(k)em(i(k)-1=em(i(1k)3）以 k 乘單位矩陣第 j 行加到第 i 行，記作em(i,j(k)em(i,j(k)-1=em(i,j(-k)性質(zhì)1：左行右列設(shè)a是一個 mn 矩陣，對 a 施行一次初等行變換，相當(dāng)

12、于在 a 的左邊乘以相應(yīng)的 m 階初等矩陣；對 a 施行一次初等列變換，相當(dāng)于在 a 的右邊乘以相應(yīng)的 n 階初等矩陣.性質(zhì)2：方陣a可逆的充要條件是存在有限個初等矩陣p1, p2, , pl，使 a = p1 p2 , pl rr推論：方陣 a 可逆的充要條件是如果ab ，則存在可逆矩陣p，使pa = b。 (a,e)(b,p)：即當(dāng)a變換成b是時，e變?yōu)閜（求p）求方陣a的逆矩陣 方法總結(jié)：方法1：判斷a可不可逆：若a0 a可逆 - 書中p41頁r a-1= 1aa* ：注意伴隨矩陣?yán)锩總€代數(shù)余子式對應(yīng)的符號r方法2：本身蘊(yùn)含了判斷a可不可逆的條件，即 a e a可逆 - 書中p64頁例2

13、 (a,e)(e,a-1) ：即對矩陣 (a,e) 進(jìn)行初等行變換，當(dāng)a變成e時，e就變成了所求的 a-1r求a-1b：該方法用來求方程組 ax= b x= a-1b - 若xa= b，可先化為 atxt= bt方法：a,b (e,a-1b) ：即對矩陣 (a,b) 進(jìn)行初等行變換，當(dāng)a變成e時，b就變成了所求的 a-1b二、 矩陣的秩1. k階子式：在 mn 矩陣 a 中，任取 k 行 k 列( k m，k n)，位于這些行列交叉處的 k2 個元素，不改變它們在 a中所處的位置次序而得的 k 階行列式，稱為矩陣 a 的 k 階子式mn 矩陣a的k階子式共有 cmk cnk 個2. 矩陣的秩：

14、設(shè)矩陣 a 中有一個不等于零的 r 階子式 d，且所有r +1 階子式（如果存在的話）全等于零，那么 d 稱為矩陣a 的最高階非零子式，數(shù) r 稱為矩陣 a 的秩，記作 r(a)。零矩陣的秩等于0。常用：1）對于n階方陣a，r(a) = n (稱a滿秩) a0 a可逆求秩方法：將矩陣化為行階梯形矩陣2）若 ab，則r(a) = r(b)3）對于行階梯形矩陣，它的秩等于非零行的行數(shù)4）rat=r(a)5）若p、q可逆，則r(paq) = r(a) (abpaq=b) 即：可逆矩陣與任何矩陣a相乘，都不會改變所乘矩陣a的秩6）max r(a), r(b) r(a, b) r(a) + r(b)當(dāng)b

15、 = b為非零列向量時，r(a) r(a, b) r(a) +7）r(a+b) r(a) + r(b)8）r(ab) minr(a), r(b)3. 線性方程組的解 n元非齊次線性方程組 ax= b - p75頁例13 p79頁17題有唯一解 ra=ra,b=n有無限解 ra=ra,bn1）無解 rar(a,b)2）有解 ra=r(a,b) n 元齊次線性方程組 ax= b有非零解 r(a ) n第四章一、向量組及線性組合1. n 維向量：n 個有次序的數(shù) a1 , a2 , , an 所組成的數(shù)組。這 n 個數(shù)稱為該向量的 n個分量，第 i 個數(shù) ai 稱為第 i 個分量2. 向量組：若干個

16、同維數(shù)的列向量（行向量）所組成的集合3. 給定向量組 a：a1, a2, , am ，對于任何一組實數(shù)k1, k2, , km ，表達(dá)式 k1a1 + k2a2 + + km am 稱為向量組 a 的一個線性組合。k1, k2, , km 稱為這個線性組合的系數(shù)4. 給定向量組 a：a1, a2, , am 和向量 b，如果存在一組實數(shù) l1, l2, , lm ，使得b = l1a1 + l2a2 + + lm am 則向量 b 是向量組 a 的線性組合，這時稱向量 b 能由向量組a 的線性表示 向量 b 能由向量組a 的線性表示 r(a) = r(a, b) 方程組x1a1 + x2a2

17、+ + xm am = b 有解5. 設(shè)有向量組 a：a1, a2, , am 及 b：b1, b2, , bl ， 若向量組 b 中的每個向量都能由向量組 a 線性表示， 則稱向量組 b 能由向量組 a 線性表示若向量組 a 與向量組 b 能互相線性表示，則稱這兩個向量組等價 兩個向量組等價 r(a) = r(b) = r(a, b)6. 向量組 b能由向量組 a 線性表示 存在矩陣k，使b = ak 矩陣方程ax=b有解 r(a) = r(a,b) r(b) r(a) （這是必要條件）二、向量組的線性相關(guān)性1. 給定向量組 a：a1, a2, , am ，如果存在不全為零的實數(shù) k1, k

18、2, , km ，使得k1a1 + k2a2 + + km am =0（零向量） 則稱向量組 a 是線性相關(guān)的，否則稱它是線性無關(guān)的2. 只含一個向量a的向量組a，當(dāng)a = 0時，a線性相關(guān)； a 0時，a線性無關(guān) 只含兩個向量a1, a2的向量組a，線性相關(guān) a1, a2 的分量對應(yīng)成比例。 向量組a：a1, a2, , am(m2)線性相關(guān) 向量組a中至少存在一個向量能由其余m-1個向量線性表示。3. 向量組a線性相關(guān) m 元齊次線性方程組ax = 0有非零解 r(a) m 向量組a線性無關(guān) m 元齊次線性方程組ax = 0只有零解 r(a) = m4. n維單位坐標(biāo)向量組e：e1, e2

19、, , en ，是線性無關(guān)的，且是最大的線性無關(guān)組之一。 維單位坐標(biāo)向量組e：e1, e2, , en能由向量組a：a1, a2, , am 線性表示. r(a) = n5. 定理1）若向量組 a ：a1, a2, , am 線性相關(guān)， 則向量組 b ：a1, a2, , am, am+1 也線性相關(guān)其逆否命題也成立，即若向量組 b 線性無關(guān)，則向量組 a 也線性無關(guān)2）m 個 n 維向量組成的向量組，當(dāng)維數(shù) n 小于向量個數(shù) m 時，一定線性相關(guān)特別地， n + 1個 n 維向量一定線性相關(guān)3）設(shè)向量組 a ：a1, a2, , am 線性無關(guān)， 而向量組 b ：a1, a2, , am,

20、b 線性相關(guān)，則向量 b 必能由向量組 a 線性表示，且表示式是唯一的三、向量組的秩1. 設(shè)有向量組 a ，如果在 a 中能選出 r 個向量a1, a2, ,ar，滿足向量組 a0 ：a1, a2, , ar 線性無關(guān)； 向量組 a 中任意 r + 1個向量（如果 a 中有r + 1個向量的話）都線性相關(guān)； 那么稱向量組 a0 是向量組 a 的一個最大線性無關(guān)向量組，簡稱最大無關(guān)組 最大無關(guān)組所含向量個數(shù) r 稱為向量組 a 的秩，記作ra 。ra 向量組a中向量的個數(shù)只含零向量的向量組沒有最大無關(guān)組，秩 = 0。2. 向量組 a 和它自己的最大無關(guān)組 a0 是等價的 推論：向量組a0線性無關(guān)

21、；向量組 a 中任意一個向量都能由向量組 a0 線性表示；那么稱向量組 a0 是向量組 a 的一個最大無關(guān)組3. 全體 n 維向量構(gòu)成的向量組記作rn，向量組e是rn的一個最大無關(guān)組，且rn的秩等于n4. 矩陣的秩等于它的列（行）向量組的秩5. 矩陣初等變換后保持列向量組之間的線性關(guān)系。 如：向量組a ：a1, a2, a3 , a4, a5，假設(shè)a0：a1，a2，a4是一個最大無關(guān)組，把a(bǔ)3 , a5用a1，a2，a4線性表示：可以看出：b3 = b1 b2 b5 = 4b1 + 3b2 3b4所以a3 = a1 a2 a5 = 4a1 + 3a2 3a4 四、線性方程組的解的結(jié)構(gòu)1. 設(shè)有齊次線性方程組 ax = 0 ，如果x1 = x11， x 2= x21，.， x n= x n為該方程組的解，則稱 為方程組的解向量2. 性質(zhì)：若 x = x 1， x = x 2 是齊次線性方程組 ax = 0 的解，則 x = x