高中數(shù)學 2.2 幾種常見的平面變換 2.2.3 變換的復合與矩陣的乘法反射變換教學案 蘇教版選修4-2

1、22.3反射變換1反射變換矩陣和反射變換像，這樣將一個平面圖形F變?yōu)殛P(guān)于定直線或定點對稱的平面圖形的變換矩陣，我們稱之為反射變換矩陣，對應(yīng)的變換叫做反射變換相應(yīng)地，前者叫做軸反射，后者稱做中心反射其中定直線稱為反射軸，定點稱做反射點2線性變換二階非零矩陣對應(yīng)的變換把直線變?yōu)橹本€，這種把直線變?yōu)橹本€的變換稱為線性變換二階零矩陣把平面上所有的點都變換到坐標原點(0,0)，此時為線性變換的退化情況點在反射變換作用下的象例1(1)矩陣將點A(2,5)變成了什么圖形？畫圖并指出該變換是什么變換(2)矩陣將點A(2,7)變成了怎樣的圖形？畫圖并指出該變換是什么變換思路點撥先通過反射變換求出變換后點的坐標，

2、再畫出圖形即可看出是什么變換精解詳析(1)因為 ，即點A(2,5)經(jīng)過變換后變?yōu)辄cA(2,5)，它們關(guān)于y軸對稱，所以該變換為關(guān)于y軸對稱的反射變換(如圖1)(2)因為 ，即點A(2,7)經(jīng)過變換后變?yōu)辄cA(7,2)，它們關(guān)于yx對稱，所以該變換為關(guān)于直線yx對稱的反射變換(如圖2)(1)點在反射變換作用下對應(yīng)的象還是點(2)常見的反射變換矩陣：表示關(guān)于原點對稱的反射變換矩陣，表示關(guān)于x軸對稱的反射變換矩陣，表示關(guān)于y軸對稱的反射變換矩陣，表示關(guān)于直線yx對稱的反射變換矩陣，表示關(guān)于直線yx對稱的反射變換矩陣1計算下列各式，并說明其幾何意義(1) ；(2) ；(3) .解：(1) ；(2) ；

3、(3) .三個矩陣對應(yīng)的變換分別是將點(5,3)作關(guān)于x軸反射變換、關(guān)于原點的中心反射變換以及關(guān)于直線yx的軸反射變換，得到的點分別是(5，3)，(5，3)和(3,5)2求出ABC分別在M1，M2，M3對應(yīng)的變換作用下的幾何圖形，并畫出示意圖，其中A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)解：在M1下，AA(0,0)，BB(2,0)，CC(1,2)；在M2下，AA(0,0)，BB(2,0)，CC(1，2)；在M3下，AA(0,0)，BB(2,0)，CC(1，2)圖形分別為曲線在反射變換作用下的象例2橢圓y21在經(jīng)過矩陣對應(yīng)的變換后所得的曲線是什么圖形？思路點撥先通過反射變換求出曲線方程，再通過方

4、程判斷圖形的形狀精解詳析任取橢圓y21上的一點P(x0，y0)，它在矩陣對應(yīng)的變換作用下變?yōu)镻(x，y)則有 ，故.因為點P在橢圓y21上，所以y1，x1；因此x1.從而所求曲線方程為x21，是橢圓矩陣把一個圖形變換為與之關(guān)于直線yx對稱的圖形，反射變換對應(yīng)的矩陣要區(qū)分類型：點對稱、軸對稱3求曲線y(x0)在矩陣對應(yīng)的變換作用下得到的曲線解：矩陣對應(yīng)的變換是關(guān)于原點對稱的變換，因此，得到的曲線為y(x0)4求直線y4x在矩陣作用下變換所得的圖形解：任取直線y4x在矩陣作用下變換所得的圖形上的一點P(x，y)，一定存在變換前的點P(x，y)與它對應(yīng)，使得 ，即(*)又點P(x，y)在直線y4x上

5、，所以y4x，從而有yx，從而直線y4x在矩陣作用下變換成直線yx.根據(jù)(*)，它們關(guān)于直線yx對稱如圖所示1計算 ，并說明其幾何意義解： ，其幾何意義是：由矩陣M確定的變換是關(guān)于直線yx的軸反射變換，將點(x，y)變換為點(y，x)2在矩陣變換下，圖(1)，(2)中的ABO變成了ABO，其中點A的象為點A，點B的象為點B，試判斷相應(yīng)的幾何變換是什么？解：(1)對應(yīng)的是關(guān)于原點的中心反射變換，矩陣形式為.(2)對應(yīng)的是關(guān)于y軸的軸反射變換，矩陣形式為.3求ABC在經(jīng)過矩陣對應(yīng)的變換后所得圖形的面積，其中A(1,0)，B(2,0)，C(5,4)解：矩陣確定的變換是關(guān)于y軸的軸反射變換，它將點(x

6、，y)變換為點(x，y)所以平面ABC在經(jīng)過矩陣對應(yīng)的變換后所得圖形是與原圖形全等的三角形，故只需求出ABC的面積即可所以所求圖形的面積為6.4求出曲線yex先在矩陣對應(yīng)的變換，后在矩陣對應(yīng)的變換作用下形成的曲線，并說明兩次變換后對應(yīng)的是什么變換？解：因為矩陣對應(yīng)的變換是關(guān)于y軸的軸反射變換，變換后曲線為yex.又因為矩陣對應(yīng)的變換是關(guān)于原點O的中心反射變換，變換后曲線為yex，即yex.兩次變換對應(yīng)的變換是關(guān)于x軸的軸反射變換5變換T使圖形F：yx21變?yōu)镕：y|x21|，試求變換T對應(yīng)的變換矩陣A.解：當x(，1)(1，)時，A；當x1,1時，A.6若曲線1經(jīng)過反射變換T變成曲線1，求變換T對應(yīng)的矩陣(寫出兩個不同的矩陣)解：T或T.7求關(guān)于直線y3x對稱的反射變換所對應(yīng)的矩陣A.解：在平面上任取一點P(x，y)，令點P關(guān)于y3x的對稱點為P(x，y)則化簡得 .關(guān)于直線y3x對稱的反射變換對應(yīng)的矩陣為A.8已知矩陣M，N.在平面直角坐標系中，設(shè)直線2xy10在變換TM，TN先后作用下得到曲線F，求曲線F的方程解：TM是關(guān)于直線yx對稱的反射變