寧更新-信號(hào)與系統(tǒng)-第三章

1、. 周期信號(hào)的頻域分析,. LTI系統(tǒng)的頻域分析,. 傅立葉級(jí)數(shù)的性質(zhì),Fourier Series Representation of Periodic Signals,第3章 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示,. 周期信號(hào)的頻域分析,. LTI系統(tǒng)的頻域分析,. 傅立葉級(jí)數(shù)的性質(zhì),Fourier Series Representation of Periodic Signals,第3章 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示,3.0 引言 Introduction,時(shí)域分析方法的基礎(chǔ)： 信號(hào)在時(shí)域的分解；LTI系統(tǒng)：滿(mǎn)足線性、時(shí)不變性,從分解信號(hào)的角度出發(fā)，基本信號(hào)單元必須滿(mǎn)足： 本身簡(jiǎn)單，且LTI系統(tǒng)對(duì)它的響

2、應(yīng)能簡(jiǎn)便得到。 具有普遍性，能夠用以構(gòu)成相當(dāng)廣泛的信號(hào)。,傅立葉分析方法： 出發(fā)點(diǎn)：將信號(hào)表示成一組基本信號(hào)的線性組合； 基本信號(hào)為復(fù)指數(shù)信號(hào)； 信號(hào)表示為連續(xù)時(shí)間和離散時(shí)間的傅立葉級(jí)數(shù)與傅立葉變換。,3.1 歷史的回顧 （A Historical Perspective）,任何科學(xué)理論, 科學(xué)方法的建立都是經(jīng)過(guò)許多人不懈的努力而得來(lái)的, 其中有爭(zhēng)論, 還有人為之獻(xiàn)出了生命。 歷史的經(jīng)驗(yàn)告訴我們, 要想在科學(xué)的領(lǐng)域有所建樹(shù)，必須傾心盡力為之奮斗。今天我們將要學(xué)習(xí)的傅立葉分析法，也經(jīng)歷了曲折漫長(zhǎng)的發(fā)展過(guò)程，剛剛發(fā)布這一理論時(shí)，有人反對(duì)，也有人認(rèn)為不可思議。但在今天，這一分析方法在許多領(lǐng)域已發(fā)揮了

3、巨大的作用。,傅立葉 1768-1830 (Fourier, Jean Baptiste Joseph) 法國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家 最早使用定積分符號(hào) 改進(jìn)符號(hào)法則、根數(shù)判別方法 傅立葉級(jí)數(shù)創(chuàng)始人 1807 熱的傳播 1822 熱的分析理論 傅立葉級(jí)數(shù)、分析等理論,傅里葉的兩個(gè)最重要的貢獻(xiàn),“周期信號(hào)都可以表示為成諧波關(guān)系的正弦信號(hào)的加權(quán)和”傅里葉的第一個(gè)主要論點(diǎn) “非周期信號(hào)都可以用正弦信號(hào)的加權(quán)積分來(lái)表示”傅里葉的第二個(gè)主要論點(diǎn),傅立葉分析方法的歷史,古巴比倫人 “三角函數(shù)和” 描述周期性過(guò)程、預(yù)測(cè)天體運(yùn)動(dòng) 1748年 歐拉 振動(dòng)弦的形狀是振蕩模的線性組合 1753年 D伯努利 弦的實(shí)際運(yùn)動(dòng)可

4、用標(biāo)準(zhǔn)振蕩模的線性組合來(lái)表示 1759年 拉格朗日 不能用三角級(jí)數(shù)來(lái)表示具有間斷點(diǎn)的函數(shù),1822年 傅立葉 “熱的分析理論” 中提出并證明周期函數(shù)的正弦級(jí)數(shù)展開(kāi)原理，奠定了傅立葉級(jí)數(shù)的理論基礎(chǔ) 1829年 P.L狄里赫利 周期信號(hào)傅立葉級(jí)數(shù)表示的若干精確條件 19-20世紀(jì) 兩種傅立葉分析方法-連續(xù)與離散 1965年 Cooley & Tukey (IBM) 發(fā)明FFT 算法,由時(shí)域分析方法有，,3.2 LTI系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)的響應(yīng),考查L(zhǎng)TI系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào) 和 的響應(yīng),易求LTI系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)的響應(yīng) 這說(shuō)明 和 符合對(duì)單元信號(hào)的第一項(xiàng)要求,特征函數(shù) (Eigenfunction),如果

5、系統(tǒng)對(duì)某一輸入信號(hào)的響應(yīng)只是該輸入信號(hào)乘以一個(gè)常數(shù)，則稱(chēng)該輸入信號(hào)是這個(gè)系統(tǒng)的特征函數(shù)，該常數(shù)稱(chēng)為與該信號(hào)有關(guān)(相對(duì)應(yīng))的特征值,系統(tǒng)對(duì)某一輸入信號(hào)的響應(yīng)：一個(gè)常數(shù)輸入信號(hào),系統(tǒng)的特征值,結(jié)論：復(fù)指數(shù)函數(shù)是一切LTI系統(tǒng)的特征函數(shù),對(duì)時(shí)域的任何一個(gè)信號(hào) 或者 ,若能將其表示為下列形式：,例：,*問(wèn)題：究竟有多大范圍的信號(hào)可以用復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合來(lái)表示？,回顧：連續(xù)復(fù)指數(shù)信號(hào)的周期,對(duì)一個(gè)復(fù)指數(shù)信號(hào) ，要成為具有周期為 的周期信號(hào)的必要條件：,定義,有,3.3 連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示,成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號(hào),基波頻率,成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號(hào)集合,第k次諧波 的周期為,基波周期為,成諧

6、波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號(hào)之和,信號(hào)周期為,傅里葉級(jí)數(shù)表示,例1：,該信號(hào)中，有兩個(gè)諧波分量， 為相應(yīng)分量的加權(quán)因子。,例2：,連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)可以按傅立葉級(jí)數(shù)被分解成無(wú)數(shù)多個(gè)復(fù)指數(shù)諧波分量的線性組合?,二.連續(xù)時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)確定,如果周期信號(hào) 可以表示為傅里葉級(jí)數(shù),則有,對(duì)兩邊同時(shí)在一個(gè)周期內(nèi)積分，有,即,在確定此積分時(shí)，只要積分區(qū)間是一個(gè)周期即可，對(duì)積分區(qū)間的起止并無(wú)特別要求，因此可表示為,是信號(hào)在一個(gè)周期的平均值，通常稱(chēng)直流分量。,三.頻譜（Spectral）的概念,信號(hào)集 中的每一個(gè)信號(hào)，除了成諧波關(guān)系外，每個(gè)信號(hào)隨時(shí)間 的變化規(guī)律都是一樣的，差別僅僅是頻率不同。 在傅里葉級(jí)數(shù)中，各個(gè)信

7、號(hào)分量（諧波分量） 間的區(qū)別也僅僅是幅度（可以是復(fù)數(shù)）和頻率不同。因此，可以用一根線段來(lái)表示某個(gè)分量的幅度，用線段的位置表示相應(yīng)的頻率,分量 可表示為,因此，當(dāng)把周期信號(hào) 表示為傅里葉級(jí)數(shù) 時(shí)，就可以將 表示為,這樣繪出的圖稱(chēng)為頻譜圖,頻譜圖其實(shí)就是將 隨頻率的分布表示出來(lái)， 即 關(guān)系。由于信號(hào)的頻譜完全代表了信號(hào)，研究它的頻譜就等于研究信號(hào)本身。因此，這種表示信號(hào)的方法稱(chēng)為頻域表示法。,四.傅里葉級(jí)數(shù)的其它形式,傅里葉級(jí)數(shù)的三角函數(shù)表示式,傅里葉級(jí)數(shù)的另一種三角函數(shù)形式,幅度譜、相位譜,3.4 連續(xù)時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)的收斂,這一節(jié)來(lái)研究用傅氏級(jí)數(shù)表示周期信號(hào)的普遍性問(wèn)題，即滿(mǎn)足什么條件的周期信號(hào)

8、可以表示為傅里葉級(jí)數(shù)。,一. 傅里葉級(jí)數(shù)是對(duì)信號(hào)的最佳近似,Convergence of the Fourier series,對(duì)任何周期信號(hào) 代入左式都可求得傅里葉系數(shù) 。某些情況下，左式的積分可能不收斂，即求得的 無(wú)窮大。,求得的全部 都是有限值，代入左式所得的無(wú)限項(xiàng)級(jí)數(shù)也可能不收斂于 。,二. 傅里葉級(jí)數(shù)的收斂,傅里葉級(jí)數(shù)收斂的兩層含義： 是否存在? 級(jí)數(shù)是否收斂于 ?,2.周期信號(hào) 在一個(gè)周期內(nèi)具有有限的能量， 可以用傅里葉級(jí)數(shù)表示（平方可積條件） 即,1.對(duì)于全部連續(xù)的周期信號(hào)都有一個(gè)傅里葉級(jí)數(shù)表示,三組條件：,3. 周期信號(hào) 滿(mǎn)足Dirichlet條件， 可以 用傅里葉級(jí)數(shù)表示。,

9、Dirichlet條件： 在任何周期內(nèi)信號(hào)絕對(duì)可積，即 在任何單個(gè)周期內(nèi)，只有有限個(gè)極值點(diǎn)，且極值為有限值。（最大值和最小值數(shù)目有限） 在任何單個(gè)周期內(nèi)，只有有限個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn)，且在間斷點(diǎn)上的函數(shù)值為有限值。,因此，信號(hào)絕對(duì)可積就保證了 的存在。,后兩組條件并不完全等價(jià)。它們都是傅里葉級(jí)數(shù)收斂的充分條件。相當(dāng)廣泛的信號(hào)都能滿(mǎn)足這兩組條件中的一組，因而用傅里葉級(jí)數(shù)表示周期信號(hào)具有相當(dāng)?shù)钠毡檫m用性。,幾個(gè)不滿(mǎn)足Dirichlet條件的信號(hào),三.Gibbs現(xiàn)象,滿(mǎn)足 Dirichlet 條件的信號(hào)，其傅里葉級(jí)數(shù)是如 何收斂于 的。特別當(dāng) 具有間斷點(diǎn)時(shí)，在間斷點(diǎn)附近，如何收斂于 ?,用有限項(xiàng)傅里葉級(jí)數(shù)

10、表示有間斷點(diǎn)的信號(hào)時(shí)，在間斷點(diǎn)附近會(huì)不可避免的出現(xiàn)振蕩和超量。超量的幅度不會(huì)隨所取項(xiàng)數(shù)的增加而減小。只是隨著項(xiàng)數(shù)的增多，振蕩頻率變高，并向間斷點(diǎn)處壓縮，從而使它所占有的能量減少。,Gibbs現(xiàn)象表明：,例1：周期信號(hào),試確定 的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)。,解： 由題 的基波周期為,例2：對(duì)稱(chēng)周期方波信號(hào),確定 的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)。,根據(jù) 可繪出 的頻譜圖。 稱(chēng)為占空比,其中,不變 時(shí),不變 時(shí),周期性矩形脈沖信號(hào)的頻譜特征： 1. 離散性 2. 諧波性 3. 收斂性,考查周期 和脈沖寬度 改變時(shí)頻譜的變化：,當(dāng) 不變，改變 時(shí)，隨 使占空比減小，譜線間隔變小，幅度下降。但頻譜包絡(luò)的形狀不變，包絡(luò)主瓣內(nèi)包含

11、的諧波分量數(shù)增加。 2. 當(dāng) 改變， 不變時(shí)，隨 使占空比減小，譜線間隔不變，幅度下降。頻譜的包絡(luò)改變，包絡(luò)主瓣變寬。主瓣內(nèi)包含的諧波數(shù)量也增加。,Properties of Continuous-Time Fourier Series,3.5 連續(xù)時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)的性質(zhì),學(xué)習(xí)這些性質(zhì)，有助于對(duì)概念的理解和對(duì)信號(hào)進(jìn)行級(jí)數(shù)展開(kāi)。,一. 線性：,二.時(shí)移:,若 是以 為周期的信號(hào)，且,則,令 ，當(dāng) 在 變化時(shí)， 從 變化，,于是有：,五. 相乘:,若 和 都是以 為周期的信號(hào)，且,則,也即,六.共軛對(duì)稱(chēng)性:,若 是以 為周期的信號(hào)，且,則,由此可推得，對(duì)實(shí)信號(hào)有： 或,七.Parseval 定理：,

12、表明：一個(gè)周期信號(hào)的平均功率就等于它所有諧波分量的平均功率之和.,* 掌握表3.1,對(duì)實(shí)信號(hào),（ 實(shí)偶函數(shù)）,當(dāng) 時(shí)，,（ 虛奇函數(shù)）,當(dāng) 時(shí)，,例1：如圖周期為 的沖激串,求其傅里葉級(jí)數(shù)表示。,解：,例2：周期性矩形脈沖,求其傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù),由例1知,根據(jù)時(shí)移特性，有,考察成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號(hào)集: 該信號(hào)集中每一個(gè)信號(hào)都以 為周期，且該集合中只有 個(gè)信號(hào)是彼此獨(dú)立的,Fourier Series Representation of Discrete-Time Periodic Signals,一.離散時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)（DFS） Discrete-Time Fourier Series,3.6

13、 離散時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示,將這 個(gè)獨(dú)立的信號(hào)線性組合起來(lái)，一定能表 示一個(gè)以 為周期的序列。即：,其中 為 個(gè)相連的整數(shù),這個(gè)級(jí)數(shù)就稱(chēng)為離散時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)（DFS），其中 也稱(chēng)為周期信號(hào) 的頻譜。,二. 傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)的確定,給 兩邊同乘以 ，得,顯然 仍是以 為周期的,而,顯然上式滿(mǎn)足 即 也是以 為周期 的，或者說(shuō) 中只有 個(gè)是獨(dú)立的。,即,或,對(duì)實(shí)信號(hào)同樣有：,例1：考慮信號(hào),基波周期,的頻譜圖,三.周期性方波序列的頻譜,顯然 的包絡(luò)具有 的形狀。,時(shí),周期性方波序列的頻譜,當(dāng) 不變、 時(shí)，頻譜的包絡(luò)形狀不變，只是幅度減小，譜線間隔變小。 當(dāng) 改變、 不變時(shí)，由于 的包絡(luò)具有

14、的形狀，而 ，可知其包絡(luò)形狀一定發(fā)生變化。當(dāng) 時(shí)，包絡(luò)的第一個(gè)零點(diǎn)會(huì)遠(yuǎn)離原點(diǎn)從而使頻譜主瓣變寬。這一點(diǎn)也與連續(xù)時(shí)間周期矩形脈沖的情況類(lèi)似。,四. DFS的收斂,DFS 是一個(gè)有限項(xiàng)的級(jí)數(shù)，確定 的關(guān)系式也是有限項(xiàng)的和式，因而不存在收斂問(wèn)題，也不會(huì)產(chǎn)生Gibbs現(xiàn)象。,周期序列的頻譜也具有離散性、諧波性，當(dāng)在 區(qū)間 考查時(shí)，也具有收斂性。不同的是，離散時(shí)間周期信號(hào)的頻譜具有周期性。,1. 相乘,2. 差分,周期卷積,Properties of Discrete-Time Fourier Series,3.7 DFS的性質(zhì),DFS有許多性質(zhì)，這里只選幾個(gè)加以討論。,3. Paseval定理,左邊是信號(hào)在一個(gè)周期內(nèi)的平均功率，右邊是信號(hào)的各次諧波的總功率。,上式表明：一個(gè)周期信號(hào)的平均功率等于它的所有諧波分量的功率之和。也表明：周期信號(hào)的功率既可以由時(shí)域求得，也可以由頻域求得。,3.9 濾波 Filtering,本節(jié)移至第6章講授,3.10 用微分方程描述的連續(xù)時(shí)間濾波器舉例,3.11用差分方程描述的離散時(shí)間濾波器舉例,第二章中已介紹,3.12 小結(jié) Su