等價無窮小量替換定理

1、頁眉26 無窮小與無窮大的比較基礎(chǔ)知識導(dǎo)學(xué)1、無窮小的比較定義 1設(shè)、 是某一極限過程中的兩個無窮小，若limc （ c 為常數(shù)）則（ 1）當(dāng) c 0時，稱在此極限過程中與是同階無窮??；（ 2）當(dāng) c = 0時，稱在此極限過程中是的高階無窮小，記作=o( )( 讀作小歐 ) ；（ 3）當(dāng) c = 1時，稱在此極限過程中與是等價無窮小，記作。2、無窮大的比較定義 2 設(shè) Y、 Z 是同一極限過程中的兩個無窮大量，（ 1）如果Z= c0Ylim與 Z是同階無窮大量；Y ，則稱（ 2）如果 limZ= 時，則稱 Z 是 Y 的高階無窮大量；Y（ 3）如果 limZ= c （0 k 0），則稱 Z 是

2、關(guān)于（基本無窮大量） Y 的 k 階無窮大量。Yk3、無窮小的階與主部定義 3 把某極限過程中的無窮小作為基本無窮小，如果與k（ k 0）是同階的無窮小，即limk = c ，0則稱 是關(guān)于的k 階無窮小。重點難點突破1關(guān)于無窮小的比較要確定兩個無窮小量是同階、高階和等價的關(guān)系，其實就是求這兩個無窮小量比的極限，再根據(jù)定義判斷兩個無窮小的關(guān)系。注意（ 1）符號 =O( ) 與 的含義=O( ) 表示 是的高階無窮小，即lim0 ；表示 與是等價無窮小，即lim1（ 1）同階不一定等價，等價一定同階。（ 2）利用等價無窮小求極限等價無窮小在求極限的過程中可以進(jìn)行如下替換：若， ，且 lim存在，

3、則 lim= lim無窮小量的比較表設(shè)在自變量xx0 的變化過程中，( x)與( x)均是無窮小量無窮小的比較定 義記號1 / 3頁眉( x)是比( x)高階的無窮小lim( x)0( x)( x)(x)xx0（ xx0 ）( x)與 (x)是同階的無窮小lim( x)C (C為不等于零的常數(shù))( x)x x0a(x)與 ( x)是等階無窮小lim(x)1( x) ( x)xx0 a( x)（ xx0 ）2關(guān)于無窮小的階當(dāng) x0 時，由恒等式（） o(xn)+ o(xm)= o(xn)0 n m（） o(xn) o(xm)= o(xm+n )m0, n 03關(guān)于無窮小的替換定理設(shè)當(dāng) xx0時，

4、1 ( x) 2 ( x)，1 ( x) 2 (x) ， lim2 (x) 存在，則 lim1 (x)2 ( x) xx02 ( x)xx01 ( x)2 ( x)解題方法指導(dǎo)1判斷無窮小的階有以下幾種方法（僅供參考）：例 1當(dāng) x 0 時，下列無窮小量是x 的幾階無窮小 x -3x3 + x5sinxtgx解：因為當(dāng)x 0 時，在x - 3x3 +x5 中3x3與 x5 都是x 的高階無窮小，由恒等式（）lim x 3x3x51x 0x所以，當(dāng) x 0 時， x - 3x3 + x5 是 x 的一階無窮小因為當(dāng) x 0 時， sin xx， tg x x，由恒等式（）可得sin xtgx1s

5、in x tg x=o(x2)，即 limx2x 0所以，當(dāng) x 0 時， sin x tg x 是 x 的二階無窮?。?2）先將原式變形，再判斷階數(shù)例 2當(dāng) x 0 時，下列無窮小量是x 的幾階無窮小 1x1x tg x sin x解：通過分子有理化將原式變形1 x1x =2 x1 x1 x由此看出，當(dāng)x 0 時，1x1x 是 x 的一階無窮小，事實上lim2x1x1x )x 0 x( 1通過三角函數(shù)的公式將原式變形2 / 3頁眉sin xsin x(1cos x)tgxsin xsin xcos xcos x因為sin x x， 1- cos x 1 x22由此看出，當(dāng)x 0 時， tg

6、x sin x 是 x 的三階無窮小，事實上sin x(1cosx)x ? 1 x21lim2lim3? cosx3? cosx2x 0xx 0x此題錯誤解法：解：因為lim tgxsin xlimtgxsin x0x0xx 0xx所以，當(dāng) x 0時， tg x sin x 是 x 的一階無窮小這種解法是錯誤的，因為由無窮小階的定義，與k 比的極限不能為零。2利用等價無窮小代換求極限常用等價無窮小有：當(dāng)x0 時 , x sin x tan x arcsin x arctan x ln(1 x) ex1,1 cos x 1 x2 , 2x sin 2x tan2x 2例 5求下列函數(shù)的極限1cos x， （ 2） limtan xsin x（ 1） lim3x2x3x 0x 0（ 1） lim 11 x 210 ,1 cos x 1 x2 ）解cos x = lim 2（ xx 03x 2x0 3x262（2） limtan xsin x= limsin x(1 cos x)sin3xx3cos xx 0x0limsin x(1cosx)1xx2cos xx02 sin 2x= limx22x 0=1（ x0, sin 2x x2222） 小結(jié) 利用等價無窮小可代換整個分