高中數(shù)學(xué)解三角形方法大全

1、解三角形的方法1解三角形：一般地，把三角形的三個角和它們的對邊叫做三角形的元素。已知三角形的幾個元素求 其他元素的過程叫作解三角形。以下若無特殊說明，均設(shè)的三個內(nèi)角的對邊分別為，則有以下關(guān)系成立：（1）邊的關(guān)系：，（或滿足：兩條較短的邊長之和大于較長邊）（2）角的關(guān)系：， ， （3）邊角關(guān)系：正弦定理、余弦定理以及它們的變形板塊一：正弦定理及其應(yīng)用1正弦定理：，其中為的外接圓半徑 2正弦定理適用于兩類解三角形問題：（1）已知三角形的任意兩角和一邊，先求第三個角，再根據(jù)正弦定理求出另外兩邊；（2）已知三角形的兩邊與其中一邊所對的角，先求另一邊所對的角（注意此角有兩解、一解、無解的可能），再計(jì)算第

2、三角，最后根據(jù)正弦定理求出第三邊【例1】考查正弦定理的應(yīng)用 （1）中，若，則_； （2）中，若，則_； （3）中，若，則_； （4）中，若，則的最大值為_。總結(jié)：若已知三角形的兩邊和其中一邊所對的角，解這類三角形時，要注意有兩解、一解和無解的可能如圖，在中，已知、 （1）若為鈍角或直角，則當(dāng)時，有唯一解；否則無解。（2）若為銳角，則當(dāng)時，三角形無解； 當(dāng)時，三角形有唯一解； 當(dāng)時，三角形有兩解； 當(dāng)時，三角形有唯一解實(shí)際上在解這類三角形時，我們一般根據(jù)三角形中“大角對大邊”理論判定三角形是否有兩解的可能。板塊二：余弦定理及面積公式1余弦定理：在中，角的對邊分別為，則有 余弦定理： ， 其變式為

3、：2余弦定理及其變式可用來解決以下兩類三角形問題：（1）已知三角形的兩邊及其夾角，先由余弦定理求出第三邊，再由正弦定理求較短邊所對的角（或由余弦定理求第二個角），最后根據(jù)“內(nèi)角和定理”求得第三個角；（2）已知三角形的三條邊，先由余弦定理求出一個角，再由正弦定理求較短邊所對的角（或由余弦定理求第二個角），最后根據(jù)“內(nèi)角和定理”求得第三個角；說明：為了減少運(yùn)算量，能用正弦定理就盡量用正弦定理解決3三角形的面積公式（1） （、分別表示、上的高）；（2）（3） （為外接圓半徑）（4）；（5） 其中（6）（是內(nèi)切圓的半徑，是三角形的周長）【例】考查余弦定理的基本應(yīng)用（1）在中，若，求；（2）在中，若，求

4、邊上的高；（3）在中，若，求【例】（1）在中，若，則中最大角的余弦值為_（2）（10上海理）某人要制作一個三角形，要求它的三條高的長度分別為，則（ ） A不能作出這樣的三角形 B作出一個銳角三角形 C作出一個直角三角形 D作出一個鈍角三角形（3）以為三邊組成一個銳角三角形，則的取值范圍為_【例】考查正余弦定理的靈活使用（1）在中，若，其面積，則_（2）在中，若，則_（3）（07天津理）在中，若，則_（4）（10江蘇）在銳角中，若，則_【例】判斷滿足下列條件的三角形形狀 （1）； （2）； （3）； （4）； （5），板塊三：解三角形綜合問題【例】（09全國2）在中，角的對邊分別為、，求【例】（11西城一模）在中，角的對邊分別為，且， （1）當(dāng)時，求角的度數(shù)； （2）求面積的最大值【例】在中，求的值和的面積【例】在中，角的對邊分別為，已知，（1）若的面積等于，求；（2）若，求的面積【例5】（09江西理）在中，角的對邊分別為，且，（1）求 （2）若，求【例】（09安徽理）在中，, （1）求的值； （2）設(shè)，求的面積 【例】（10遼寧理）在中，角的對邊分別為，且 （1）求的大小； （2）求的最大值 【例】在中，角的對邊分別為， （1）求的大小； （2）求的范圍【例】（11全國2）設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，