第六講 幾何知識(shí)與三角形.ppt

1、第六講 幾何知識(shí)與三角形,徐 燕,一、幾何初步,考點(diǎn)梳理： 1會(huì)比較角的大小，能估計(jì)一個(gè)角的大小，會(huì)計(jì)算角度的和與差，認(rèn)識(shí)度、分、秒，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單換算 2相交線與平行線 了解補(bǔ)角、余角、對(duì)頂角，知道等角的余角相等、等角的補(bǔ)角相等、對(duì)頂角相等. 了解垂線、垂線段等概念，了解垂線段最短的性質(zhì)，體會(huì)點(diǎn)到直線距離的意義 知道過一點(diǎn)有且僅有一條直線垂直于已知直線，會(huì)用三角尺或量角器過一點(diǎn)畫一條直線的垂線. 知道兩直線平行同位角相等，進(jìn)一步探索平行線的性質(zhì) 知道過直線外一點(diǎn)有且僅有一條直線平行于已知直線，會(huì)用三角尺和直尺過已知直線外一點(diǎn)畫這條直線的平行線 體會(huì)兩條平行線之間距離的意義，會(huì)度量?jī)蓷l平行線之間的

2、距離.,基礎(chǔ)概要,考點(diǎn)1.計(jì)算幾何圖形的數(shù)量,考點(diǎn)2.兩角互補(bǔ)、互余定義及其性質(zhì)的應(yīng)用,考點(diǎn)3.角的有關(guān)運(yùn)算,考點(diǎn)4.圖形的轉(zhuǎn)化,考點(diǎn)5.方位角,二、三角形(基本認(rèn)識(shí)),考點(diǎn)梳理： 1了解三角形有關(guān)概念(內(nèi)角、外角、中線、高、角平分線)，會(huì)畫出任意三角形的角平分線、中線和高，了解三角形的穩(wěn)定性 2探索并掌握三角形中位線的性質(zhì).,基礎(chǔ)概要：,考點(diǎn)1.三角形的三條重要線段 三角形的中線、角平分線和高是三角形的三條重要線段，它們具有十分重要的性質(zhì)，三角形的高構(gòu)造了垂直的條件，三角形的中線隱含線段相等，通過三角形的中線可以把三角形的面積分成相等的兩部分，三角形的角平分線提供了角相等的條件掌握這些概念，

3、對(duì)解與三角形有關(guān)的問題十分重要,考點(diǎn)2.三角形的相關(guān)定理 (1)三角形的內(nèi)角和等于_. (2)三角形的外角和為360(3)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和 (4)三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角,180,三、等腰三角形,考點(diǎn)梳理： 1了解等腰三角形的有關(guān)概念，探索并掌握等腰三角形的性質(zhì)和一個(gè)三角形是等腰三角形的條件 2了解等邊三角形的概念并探索及其性質(zhì).,知識(shí)概要：,考點(diǎn)1.等腰三角形的定義和性質(zhì) (1)等腰三角形的定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形 (2)等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩條腰相等；等邊對(duì)等角：等腰三角形的兩底角相等 (3)三線合一：等腰三角形底邊上

4、的中線、底邊上的高、頂角的角平分形三線合一 (4)等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是底邊上的高(中線、或角平分線)所在的直線,考點(diǎn)2.等腰三角形的識(shí)別方法(判定) (1)定義：有兩邊相等的三角形是等腰三角形 (2)等角對(duì)等邊：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形,考點(diǎn)3. 等邊三角形 1識(shí)別方法(判定) (1)定義：三邊相等的三角形是等邊三角形(2)三個(gè)角相等的三角形是等邊三角形(或有兩個(gè)角分別為60的三角形)(3)有一個(gè)角為60的等腰三角形 2特征(性質(zhì))(具有等腰三角形的性質(zhì)，除此之外的性質(zhì)還有)： (1)等邊三角形三條邊相等；(2)等邊三角形三個(gè)角相等都等于60.,四、直角三角形,考點(diǎn)梳理：

5、1了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性質(zhì)和一個(gè)三角形是直角三角形的條件 2體驗(yàn)勾股定理的探索過程，會(huì)運(yùn)用勾股定理解決簡(jiǎn)單問題；會(huì)用勾股定理的逆定理判斷直角三角形.,基礎(chǔ)概要：,考點(diǎn)1.直角三角形的性質(zhì)及其判定 1性質(zhì)：(1)直角三角形的兩銳角互余(即它們的和為90) (2)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 (3)直角三角形中30的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半 2判定： (1)有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形 (2)如果一個(gè)三角形一邊上的中線等于這邊的一半那么這個(gè)三角形是直角三角形,考點(diǎn)2.勾股定理及其逆定理的應(yīng)用 (1)勾股定理：直角三角形中，兩邊的平方和等于斜邊的平方 (2)

6、逆定理：如果一個(gè)三角形有兩邊的平方等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形 要證明以三條線段(或線段所在的直線)為邊的三角形是直角三角形，應(yīng)設(shè)法求出三邊的長(zhǎng)或關(guān)系式，利用勾股定理的逆定理證明,考點(diǎn)4.利用面積關(guān)系解決問題 利用勾股定理求出直角三角形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而求出面積，再利用面積的關(guān)系列出方程，從而解決問題,考點(diǎn)3.利用勾股定理解決折疊問題 折疊問題與軸對(duì)稱和圖形全等是密不可分的做題時(shí)一定要抓住這一點(diǎn)，以免有無從下手之感,考點(diǎn)5.實(shí)際問題運(yùn)用 能運(yùn)用勾股定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立直角三角形的模型，體現(xiàn)了學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的思想，通過建模解決問題,五、全等三角形,考點(diǎn)梳理：

7、 了解全等三角形的概念、性質(zhì)，探索并掌握判斷三角形全等的條件.,知識(shí)概要：,考點(diǎn)1.三角形全等的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用 1.全等三角形的性質(zhì)：(1)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等；(2)全等三角形的對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)邊上的中線、對(duì)應(yīng)邊上的高相等；(3)全等三角形的周長(zhǎng)相等、面積相等 2全等三角形的判定： (1)有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(SAS)； (2)有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(ASA)； (3)有兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(AAS)； (4)有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 (SSS)； (5)有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等

8、(HL). 三角形的全等的判定要根據(jù)題目的具體情況確定采用SAS，ASA，AAS，SSS，HL中的哪個(gè)定理，而且這幾個(gè)判定方法往往要結(jié)合其性質(zhì)綜合解題,考點(diǎn)2. 三角形全等在平移，折疊、旋轉(zhuǎn)中的應(yīng)用 對(duì)于幾何圖形的運(yùn)動(dòng)問題(如平移、旋轉(zhuǎn)等)以及一些規(guī)律探究題，常常會(huì)出現(xiàn)一個(gè)基本圖形，無論從圖形上還是從解題方法上都比較簡(jiǎn)單，而其他的較復(fù)雜的圖形，都是由基本圖形通過變化得到的，它和基本圖形有很多類似的條件和結(jié)論類比基本圖形，可以解決復(fù)雜圖形的問題，主要考查觀察能力和推理、猜測(cè)能力,六、銳角三角函數(shù),1通過實(shí)例認(rèn)識(shí)銳角三角函數(shù)(sinA，cosA，tanA )，知道30、45、60角的三角函數(shù)值；會(huì)

9、使用計(jì)算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它對(duì)應(yīng)的銳角 2運(yùn)用三角函數(shù)解決與直角三角形有關(guān)的簡(jiǎn)單實(shí)際問題.,考點(diǎn)2.特殊角的三角函數(shù)值,考點(diǎn)3.銳角三角函數(shù)與相關(guān)知識(shí)的綜合運(yùn)用 銳角三角函數(shù)常與其他知識(shí)綜合起來運(yùn)用，考查綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力,七、解直角三角形,運(yùn)用三角函數(shù)解決與直角三角形有關(guān)的簡(jiǎn)單實(shí)際問題.,考點(diǎn)1.解直角三角形，仰角、俯角、坡度 1解直角三角形：只要知道直角三角形中除直角以外的任意兩個(gè)元素(至少有一條邊)，就可以求出其它的所有元素由直角三角形中已知的元素求出另外未知的元素的過程叫做解直角三角形 2朝上看時(shí)，視線與水平線所成的角叫做仰角；朝下看時(shí)，視線與水平

10、面夾角為俯角 3坡度是地表單元陡緩的程度，通常把坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡度(或叫做坡比)用字母i表示，表示坡度最為常用的方法，即兩點(diǎn)的高程差與其水平距離的百分比，其計(jì)算公式如下：坡度高程差水平距離,小明在看書時(shí)發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)問題：在一次聚會(huì)中，共有6人參加，如果每?jī)扇硕嘉找淮问?，共握幾次手呢？小明通過認(rèn)真思考得出了答案為了解決一般問題，小明設(shè)計(jì)了下列圖表進(jìn)行探究：,如圖所示，將標(biāo)號(hào)為A、B、C、D的正方形沿圖中虛線剪開后，得到標(biāo)號(hào)為P、Q、M、N的四組圖形，試按照“哪個(gè)正方形剪開后得到哪組圖形”的對(duì)應(yīng)關(guān)系填空：A與_對(duì)應(yīng)；B與_對(duì)應(yīng)；C與_對(duì)應(yīng)；D與_對(duì)應(yīng),【分析】按照剪開的形狀，

11、找出對(duì)應(yīng)的圖形. 【答案】M，P，Q，N,如圖1所示，我海軍的兩艘軍艦(分別在A、B兩處)同時(shí)發(fā)現(xiàn)了一艘敵艦，其中A艦發(fā)現(xiàn)它在北偏東15的方向上，B艦發(fā)現(xiàn)它在東北方向上，試畫出這艘敵艦的位置(用字母C表示),【分析】如圖2所示，分別以點(diǎn)A、點(diǎn)B為中心建立方位圖，表示東北方向的射線 BE與表示北偏東15方向的射線AD的交點(diǎn)C即為這艘敵艦的位置 【解析】利用角度來描述方位，以正北、正南的方向?yàn)榛鶞?zhǔn)，先確定是北還是南，然后確定東、西方向，最后確定偏東(或西)的角度，注意東北方向是北偏東45.,如圖所示，D為ABC中AC邊上一點(diǎn)，AD1，DC2，AB4，E是AB上一點(diǎn)，且DEC的面積等于ABC的面積的

12、一半，求EB. 【分析】已知DEC的面積等于ABC的面積的一半，在圖形中， DEC與ABC既不同底也不等高，因此需尋找橋梁AEC來建立二者之間的關(guān)系，因?yàn)锳EC既與DEC等高也與ABC等高,(2012呼和浩特)如圖，在ABC中，B47，三角形的外角DAC和ACF的平分線交于點(diǎn)E，則AEC_. 分析】B47，BACBCA180 47133，CADACF360133227. 又AE和CE是角平分線， CAEACE113.5， E180113.566.5 【答案】66.5 【解析】本題考查了三角形的內(nèi)角和以及角平分線的性質(zhì),(2012廣東)如圖， ABC中，ABAC，A36，AC的垂直平分線交AB于

13、E，D為垂足，連結(jié)EC. (1)求ECD的度數(shù)； (2)若CE5，求BC長(zhǎng) 【解答】DE垂直平分AC，ADCD，ADECDE90，又DE DE， ADECDE，ECDA36. (2)ABAC，A36，BACB72， ECD36，BCEACBECD36， BEC72B， BCEC5.,(2011江蘇)已知：如圖，銳角ABC的兩條高BE、CD相交于點(diǎn)O，且OBOC， (1)求證：ABC是等腰三角形； (2)判斷點(diǎn)O是否在BAC的角平分線上，并說明理由 【解答】(1)證明：OBOC，OBCOCB. BD、CE是兩條高，BDCCEB90. 又BCCB, BDCCEB(AAS) DBCECB ，ABAC

14、. ABC是等腰三角形 (2)點(diǎn)O是在BAC的角平分線上連結(jié)AO. BDCCEB, DCEB. OBOC， ODOE. 又BDCCEB90，AOAO， ADOAEO(HL). DAOEAO . 點(diǎn)O是在BAC的角平分線上,(2012杭州)如圖，在梯形ABCD中，ADBC， ABCD，分別以AB，CD為邊向外側(cè)作等邊三角形ABE和等邊三角形DCF，連接AF，DE.,(1)求證：AFDE； (2)若BAD45，ABa，ABE和DCF的面積之和等于梯形ABCD的面積，求BC的長(zhǎng) 【分析】(1)根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定方法證明AEDDFA即可； (2)如圖作BHAD，C

15、KAD，利用給出的條件和梯形的面積公式即可求出BC的長(zhǎng),(1)【證明】在梯形ABCD中，ADBC，ABCD， BADCDA， 而在等邊三角形ABE和等邊三角形DCF中，ABAE，DCDF，且BAECDF60， AEDF，EADFDA，ADDA， AEDDFA(SAS)，AFDE；,如圖所示，在三角形ABC中， C90，兩直角邊AC6，BC8，在三角形內(nèi)有一點(diǎn)P，它到各邊的距離相等，則這個(gè)距離是(),一船在燈塔C的正東方向8海里的A處，以20海里/時(shí)的速度沿北偏西30方向行駛 (1)多長(zhǎng)時(shí)間后，船距燈塔最近？ (2)多長(zhǎng)時(shí)間后，船到燈塔的正北方向？此時(shí)船距燈塔有多遠(yuǎn)？(其中：1628213.92

16、) 【分析】 最近距離就是點(diǎn)C到船航線AB的垂線段的長(zhǎng)度，所以構(gòu)造直角三角形，再運(yùn)用勾股定理及逆定理即可,如圖所示，已知四邊形紙片ABCD中，ADBC，將ABC，DAB分別對(duì)折，如果兩條折痕恰好相交于DC上一點(diǎn)E，點(diǎn)C，D都落在AB邊上的F處，你能獲得哪些結(jié)論？,【分析】 對(duì)折前后重合的部分是全等的，從線段關(guān)系、角的關(guān)系、面積關(guān)系等不同方面進(jìn)行探索，以獲得更多的結(jié)論，這是一道開放性試題 【解答】ADAF，EDEFEC，BCBF. ADBCAB，DEEC2EF. 12，34，DAFE， CEFB，DEAFEA, CEBFEB. AEB90或EAEB. SDAESEAF，SECBSEFB. 【解析】本題融操作、觀察、猜想、推理于一體