313導(dǎo)數(shù)的幾何意義

1、3.1.3導(dǎo)數(shù)的 幾何意義1,高二數(shù)學(xué) 選修1-1 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用,一、復(fù)習(xí),導(dǎo)數(shù)的定義,其中：,其幾何意義是 表示曲線上兩點(diǎn)連線（就是曲線的割線）的斜率。,其幾何意義是？,P,Q,o,x,y,y=f(x),割線,切線,T,一、曲線上一點(diǎn)的切線的定義,結(jié)論:當(dāng)Q點(diǎn)無限逼近P點(diǎn)時(shí),此時(shí) 直線PQ就是P點(diǎn)處的切線PT.,點(diǎn)P處的割線與切線存在什么關(guān)系？,新授,設(shè)曲線C是函數(shù)y=f(x)的圖象，,在曲線C上取一點(diǎn)P(x0,y0),及鄰近一,點(diǎn)Q(x0+x,y0+y),過P,Q兩點(diǎn)作割,線，,當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線無限接近于點(diǎn)P,點(diǎn)P處的切線。,即x0時(shí), 如果割線PQ有一個(gè)極,限位置PT, 那么直線P

2、T叫做曲線在,曲線在某一點(diǎn)處的切線的定義,T,此處切線定義與以前的定義有何不同？,圓的切線定義并不適用于一般的曲線。 通過逼近的方法，將割線趨于的確定位置的直線定義為切線（交點(diǎn)可能不惟一）適用于各種曲線。所以，這種定義才真正反映了切線的直觀本質(zhì)。,M,x,y,割線與切線的斜率有何關(guān)系呢？,即：當(dāng)x0時(shí)，割線PQ的斜率的極限，就是曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率，,Q2,Q3,Q4,T,繼續(xù)觀察圖像的運(yùn)動(dòng)過程，還有什么發(fā)現(xiàn)？,當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線無限接近點(diǎn)P即x0時(shí),割線PQ有一個(gè)極限位置PT.則我們把直線PT稱為曲線在點(diǎn)P處的切線.,設(shè)切線的傾斜角為,那么當(dāng)x0時(shí),割線PQ的斜率,稱為曲線在點(diǎn)P處的切線的斜

3、率.,即:,這個(gè)概念:提供了求曲線上某點(diǎn)切線的斜率的一種方法;切線斜率的本質(zhì)函數(shù)平均變化率的極限.,要注意,曲線在某點(diǎn)處的切線: 1)與該點(diǎn)的位置有關(guān); 2)要根據(jù)割線是否有極限來判斷與求解.如有極限,則在此點(diǎn)有切線,且切線是唯一的;如不存在,則在此點(diǎn)處無切線; 3)曲線的切線,并不一定與曲線只有一個(gè)交點(diǎn),可以有多個(gè),甚至可以無窮多個(gè).,函數(shù) y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線 y=f(x)在點(diǎn)P(x0 ,f(x0)處的切線的斜率，即曲線y= f(x)在點(diǎn)P(x0 ,f(x0) 處的切線的斜率是 .,故曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0 ,f(x0)處的切線方程是:,題型三：導(dǎo)數(shù)的幾何

4、意義的應(yīng)用,例1:（1）求函數(shù)y=3x2在點(diǎn)(1,3)處的導(dǎo)數(shù).,（2）求曲線y=f(x)=x2+1在點(diǎn)P(1,2)處的切線方程.,題型三：導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用,h,t,o,二、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：,函數(shù)在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù) 、導(dǎo)函數(shù) 、導(dǎo)數(shù) 之間的區(qū)別與聯(lián)系。 1）函數(shù)在一點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù) ，就是在該點(diǎn)的函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個(gè)常數(shù)，不是變數(shù)。 2）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是指某一區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)x而言的， 就是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù) 3）函數(shù)在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù) 就是導(dǎo)函數(shù) 在 處的函數(shù)值，這也是 求函數(shù)在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)的方法之一。,課堂練習(xí): 如圖（見課本P80.A6）已知函數(shù)的圖像，試畫出其導(dǎo)函數(shù)圖像的大

5、致形狀。 P80.B2：根據(jù)下面的文字?jǐn)⑹觯嫵鱿鄳?yīng)的路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)圖像的大致形狀。 （1）汽車在筆直的公路上勻速行駛； （2）汽車在筆直的公路上不斷加速行駛； （3）汽車在筆直的公路上不斷減速行駛；,x,y,o,P,Q,M,為什么與拋物線對(duì)稱軸平行的直線不是拋物線的切線？,思考：,P,Pn,割線,切線,T,當(dāng)點(diǎn)Pn沿著曲線無限接近點(diǎn)P即x0時(shí),割線PPn趨近于確定的位置，這個(gè)確定位置的直線PT稱為點(diǎn)P處的切線.,例2:如圖,已知曲線 ,求: (1)點(diǎn)P處的切線的斜率; (2)點(diǎn)P處的切線方程.,即點(diǎn)P處的切線的斜率等于4.,(2)在點(diǎn)P處的切線方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-1