【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】2014高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 平面向量的概念及其線性運(yùn)算訓(xùn)練 理 新人教a版

【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】2014高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第四章平面向量的概念及其線性運(yùn)算訓(xùn)練理新人教A版第一節(jié)平面向量的概念及其線性運(yùn)算備考方向要明了考什么怎么考1了解向量的實(shí)際背景2理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義3理解向量的幾何表示4掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義5掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義6了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義1主要考查平面向量的有關(guān)概念及線性運(yùn)算、共線向量定理的理解和應(yīng)用，如2012年浙江T5，遼寧T3等2考查題型為選擇題或填空題歸納知識(shí)整合1向量的有關(guān)概念名稱定義向量既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度或稱模零向量長(zhǎng)度為零的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量記作0單位向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量平行向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量又叫共線向量規(guī)定0與任一向量平行相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量相反向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量探究1兩向量共線與平行是兩個(gè)不同的概念嗎兩向量共線是指兩向量的方向一致嗎提示方向相同或相反的一組非零向量，叫做平行向量，又叫共線向量，是同一個(gè)概念顯然兩向量平行或共線，其方向可能相同，也可能相反2兩向量平行與兩直線或線段平行有何不同提示平行向量也叫共線向量，這里的“平行”與兩直線或線段平行的意義不同，兩向量平行時(shí)，兩向量可以在同一條直線上2向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則或幾何意義運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算1交換律ABBA2結(jié)合律ABCABC減法求A與B的相反向量B的和的運(yùn)算叫做A與B的差A(yù)BAB數(shù)乘求實(shí)數(shù)與向量A的積的運(yùn)算1|A|A|2當(dāng)0時(shí)，A與A的方向相同；當(dāng)0時(shí)，A與A的方向相反；當(dāng)0時(shí)，A0AAAAAABAB探究30與A0時(shí)，A的值是否相等提示相等，且均為04若|AB|AB|，你能給出以A，B為鄰邊的平行四邊形的形狀嗎提示如圖，說(shuō)明平行四邊形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)度相等，故四邊形是矩形3共線向量定理向量AA0與B共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使得BA探究5當(dāng)兩個(gè)非零向量A，B共線時(shí)，一定有BA，反之成立嗎提示成立自測(cè)牛刀小試1下列說(shuō)法中正確的是A只有方向相同或相反的向量是平行向量B零向量的長(zhǎng)度為零C長(zhǎng)度相等的兩個(gè)向量是相等向量D共線向量是在一條直線上的向量解析選B由于零向量與任意向量平行，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量是相等向量，故C錯(cuò)誤；方向相同或相反的兩個(gè)非零向量是共線向量，故D錯(cuò)誤2教材習(xí)題改編D是ABC的邊AB上的中點(diǎn)，則向量C等于ABB1212ACD1212解析選A如圖，由于D是AB的中點(diǎn)，所以CBDB1212B3如圖，E1，E2為互相垂直的單位向量，則向量AB可表示為A3E2E1B2E14E2CE13E2D3E1E2解析選C連接A，B的終點(diǎn)，并指向A的終點(diǎn)的向量是AB4教材習(xí)題改編點(diǎn)C在線段AB上，且，則ACCB52_，_AB解析如圖，ACCB525727答案57275教材習(xí)題改編化簡(jiǎn)的結(jié)果為_(kāi)OPQMS解析PSOQ答案S向量的概念例1給出下列命題若|A|B|，則AB；若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要ABDC條件；若AB，BC，則AC；AB的充要條件是|A|B|且AB；若AB，BC，則AC其中正確命題的序號(hào)是ABCD自主解答不正確，長(zhǎng)度相等，但方向不同的向量不是相等向量正確，|且，又A，B，C，D是不共線的BDCAC四點(diǎn)，四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則且|，因此，DCA正確AB，A，B的長(zhǎng)度相等且方向相同；又BC，B，C的長(zhǎng)度相等且方向相同，A，C的長(zhǎng)度相等且方向相同，故AC不正確當(dāng)AB時(shí)，也有|A|B|且AB，故|A|B|且AB不是AB的充要條件，而是必要不充分條件不正確未考慮B0這種特殊情況綜上所述，正確命題的序號(hào)是答案A解決平面向量概念辨析題的方法解決與向量概念有關(guān)題目的關(guān)鍵是突出向量的核心方向和長(zhǎng)度，如，共線向量的核心是方向相同或相反，長(zhǎng)度沒(méi)有限制；相等向量的核心是方向相同且長(zhǎng)度相等；單位向量的核心是方向沒(méi)有限制，但長(zhǎng)度都是一個(gè)單位長(zhǎng)度；零向量的核心是方向沒(méi)有限制，長(zhǎng)度是0；規(guī)定零向量與任意向量共線只有緊緊抓住概念的核心才能順利解決與向量概念有關(guān)的問(wèn)題1設(shè)A0為單位向量，若A為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則A|A|A0；若A與A0平行，則A|A|A0；若A與A0平行且|A|1，則AA0上述命題中，假命題的個(gè)數(shù)是A0B1C2D3解析選D向量是既有大小又有方向的量，A與|A|A0的模相同，但方向不一定相同，故是假命題；若A與A0平行，則A與A0的方向有兩種情況一是同向，二是反向，反向時(shí)A|A|A0，故也是假命題綜上所述，假命題的個(gè)數(shù)是3向量的線性運(yùn)算例2在ABC中，1若D是AB邊上一點(diǎn)，且2，則ADBC13ABAB2313CD13232若O是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，D為BC邊中點(diǎn)，且20，那么OABCAB2DC3D2自主解答1法一由2得2，即ACD，所以13A23B23法二因?yàn)?，所CD23BA23C13A23B以232因?yàn)镈是BC邊的中點(diǎn)，所以有2，所以22ODO2200OAA答案1A2A在本例條件下，若|2，則|為何值BCBABC解|，AAABC為正三角形|2ABC3平面向量線性運(yùn)算的一般規(guī)律1用已知向量來(lái)表示另外一些向量是用向量解題的基本功，除利用向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算外，還應(yīng)充分利用平面幾何的一些定理2在求向量時(shí)，要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運(yùn)用平行四邊形法則、三角形法則，利用三角形中位線、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來(lái)求解2如圖，在OAB中，延長(zhǎng)BA到C，使ACBA，在OB上取點(diǎn)D，使DBOB設(shè)13A，B，用A，B表示向量，OABOD解22CBBAOB22ABOAD23O2ABB232AB53共線向量定理的應(yīng)用例3設(shè)兩個(gè)非零向量A與B不共線，1若AB，2A8B，3AB，求證A、B、D三點(diǎn)共線ABCD2試確定實(shí)數(shù)K，使KAB和AKB共線自主解答1AB，2A8B，B3AB，CD2A8B3AB，B2A8B3A3B5AB5A、共線，又它們有公共點(diǎn)B，ABDA、B、D三點(diǎn)共線2KAB與AKB共線，存在實(shí)數(shù)，使KABAKB，即KABAKBKAK1BA、B是不共線的兩個(gè)非零向量，KK10，K210，K11共線向量定理及其應(yīng)用1可以利用共線向量定理證明向量共線，也可以由向量共線求參數(shù)的值2若A，B不共線，則AB0的充要條件是0，這一結(jié)論結(jié)合待定系數(shù)法應(yīng)用非常廣泛2證明三點(diǎn)共線的方法若，則A、B、C三點(diǎn)共線AB3已知A，B不共線，A，B，C，D，E，設(shè)TR，如OODE果3AC,2BD，ETAB，是否存在實(shí)數(shù)T使C，D，E三點(diǎn)在一條直線上若存在，求出實(shí)數(shù)T的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解由題設(shè)知，DC2B3A，ECT3ATB，C，D，E三點(diǎn)在一CD條直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)K，使得K，即T3ATB3KA2KB，整理得T33KA2KTB因?yàn)锳，B不共線，所以有ERROR解之得T65故存在實(shí)數(shù)T使C，D，E三點(diǎn)在一條直線上651個(gè)規(guī)律向量加法規(guī)律一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量，即特別地，一個(gè)封閉圖形首尾連接12A34A1NNA而成的向量和為零向量2個(gè)結(jié)論向量的中線公式及三角形的重心1向量的中線公式若P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)一點(diǎn)，則OP12AB2三角形的重心已知平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)A、B、C，G是ABC的重心，G13C特別地，0P為ABC的重心PA3個(gè)等價(jià)轉(zhuǎn)化與三點(diǎn)共線有關(guān)的等價(jià)轉(zhuǎn)化A，P，B三點(diǎn)共線01TTO為平面OPAB內(nèi)異于A，P，B的任一點(diǎn)，TRXYO為平面內(nèi)異于A，P，B的任一AB點(diǎn)，XR，YR，XY14個(gè)注意點(diǎn)向量線性運(yùn)算應(yīng)注意的問(wèn)題1用平行四邊形法則進(jìn)行向量加法和減法運(yùn)算時(shí)，需將向量平移至共起點(diǎn)；2作兩個(gè)向量的差時(shí)，要注意向量的方向是指向被減向量的終點(diǎn)；3在向量共線的重要條件中要注意“A0”，否則可能不存在，也可能有無(wú)數(shù)個(gè)；4要注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系創(chuàng)新交匯以平面向量為背景的新定義問(wèn)題1從近幾年新課標(biāo)省份的高考可以看出，高考以新定義的形式考查向量的概念及線性運(yùn)算的頻率較大，且常與平面幾何、解析幾何、充要條件等知識(shí)交匯，具有考查形式靈活，題材新穎，解法多樣等特點(diǎn)2解決此類問(wèn)題，首先需要分析新定義的特點(diǎn)，把新定義所敘述的問(wèn)題的本質(zhì)弄清楚，通過(guò)轉(zhuǎn)化思想解決，這是破解新定義信息題難點(diǎn)的關(guān)鍵所在典例2011山東高考設(shè)A1，A2，A3，A4是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點(diǎn)，若R，R，且2，則稱A3，A4調(diào)和分13A12141211割A(yù)1，A2已知點(diǎn)CC,0，DD,0C，DR調(diào)和分割點(diǎn)A0,0，B1,0，則下面說(shuō)法正確的是AC可能是線段AB的中點(diǎn)BD可能是線段AB的中點(diǎn)CC，D可能同時(shí)在線段AB上DC，D不可能同時(shí)在線段AB的延長(zhǎng)線上解析根據(jù)已知得C,00,01,00,0，即C,01,0，從而得C；D,00,01,00,0，即D,01,0，得D根據(jù)2，得2線段AB的方程是Y0，X0,1若C是線段AB的中點(diǎn)，則C111C1D，代入2得，0，此等式不可能成立，故選項(xiàng)A的說(shuō)法不正確；同理選項(xiàng)B的說(shuō)121C1D1D法也不正確；若C，D同時(shí)在線段AB上，則01，D1，則1，D0，則A與B的夾角為銳角或0；2若AB0，|B|0,00，即1,21，20122053當(dāng)A與AB共線時(shí)，存在實(shí)數(shù)M，使ABMA，即1，2M1,2，ERROR解得0即當(dāng)0時(shí)，A與AB共線，綜上可知，且05311已知ABC為銳角三角形，向量M3COS2A，SINA，N1，SINA，且MN1求A的大小；2當(dāng)PM，QNP0，Q0，且滿足PQ6時(shí)，求ABC面積的最大值BC解1MN，3COS2ASIN2A03COS2A1COS2A0，COS2A14又ABC為銳角三角形，COSA，12A32由1可得M，34，32N1，32|P，|QAB214C72SABC|SINAPQ122132又PQ6，且P0，Q0，PQPQ23PQPQ9ABC面積的最大值為921321893212已知向量A1,2，BCOS，SIN設(shè)MATBT為實(shí)數(shù)1若，求當(dāng)|M|取最小值時(shí)實(shí)數(shù)T的值；42若AB，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)T，使得向量AB和向量M的夾角為，若存在，請(qǐng)4求出T；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解1因?yàn)椋?所以B，AB，22，22322則|M|ATB25T22TAB，T232T5T322212所以當(dāng)T時(shí)，|M|取到最小值，最小值為322222存在滿足題意的實(shí)數(shù)T，由條件得COS，4ABATB|AB|ATB|又因?yàn)閨AB|，AB26|ATB|，ATB25T2ABATB5T，則有，且T0，則A與B的夾角為銳角；若A，B的夾角為，則|B|COS表示向量B在向量A方向上的射影的數(shù)量其中正確的是_解析由于A20，B20，所以，若A2B20，則AB0，故正確；若AB0，則AB，又A，B，C是三個(gè)非零向量，所以ACBC，所以|AC|BC|，正確；A，B共線AB|A|B|，所以錯(cuò)；對(duì)于，應(yīng)有|A|B|AB，所以錯(cuò)；對(duì)于，應(yīng)該是AAA|A|2A，所以錯(cuò)；A2B22|A|B|2AB，故正確；當(dāng)A與B的夾角為0時(shí)，也有AB0，因此錯(cuò)；|B|COS表示向量B在向量A方向上的射影的數(shù)量，可取全體實(shí)數(shù)，而非射影長(zhǎng)，故錯(cuò)綜上可知正確答案2平面上有四個(gè)互異點(diǎn)A、B、C、D，已知2BCDABC0，則ABC的形狀是A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D無(wú)法確定解析選B由20，A得0，DCC所以0A所以|2|20，故|，B故ABC是等腰三角形3已知A，B，C的坐標(biāo)分別為A3,0，B0,3，CCOS，SIN，2，321若|，求角的值；2若1，求的值2SIN2SIN21TAN解1COS3，SIN，ACOS，SIN3，BC2COS32SIN2106COS，2COS2SIN32106SIN由|，可得22，AACB即106COS106SIN，得SINCOS又，2，32542由1，ACB得COS3COSSINSIN31，SINCOS23又2SINCOS，2SIN2SIN21TAN2SIN22SINCOS1SINCOS由式兩邊分別平方，得12SINCOS，492SINCOS592SIN2SIN21TAN594已知平面上一定點(diǎn)C2,0和直線LX8，P為該平面上一動(dòng)點(diǎn)，作PQL，垂足為Q，且012121求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；2若EF為圓NX2Y121的任一條直徑，求的最值PEF解1設(shè)PX，Y，則Q8，Y由0，得|2|20，即X22Y2X820，化簡(jiǎn)得1212C14P141X216Y212所以點(diǎn)P在橢圓上，其方程為1X216Y2122的最大值為19；EF的最小值為1243第四節(jié)數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入備考方向要明了考什么怎么考1理解復(fù)數(shù)的基本概念，理解復(fù)數(shù)相等的充要條件2了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法和幾何意義，會(huì)進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算3了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義1以選擇題的形式考查復(fù)數(shù)的概念及其幾何意義，如2012年北京T3，江西T5等2以選擇題或填空題的形式考查復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算，特別是除法運(yùn)算，如2012年新課標(biāo)全國(guó)T3，山東T1，浙江T2等歸納知識(shí)整合1復(fù)數(shù)的有關(guān)概念內(nèi)容意義備注復(fù)數(shù)的概念設(shè)A，B都是實(shí)數(shù)，形如ABI的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中實(shí)部為A，虛部為B，I叫做虛數(shù)單位若B0，則ABI是實(shí)數(shù)，若B0，則ABI是虛數(shù)，若A0且B0，則ABI是純虛數(shù)復(fù)數(shù)相等ABICDIAC且BDA，B，C，DR共軛復(fù)數(shù)ABI與CDI共軛AC且BDA，B，C，DR復(fù)平面建立平面直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面，叫做復(fù)平面，X軸叫實(shí)軸，Y軸叫虛軸實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)復(fù)數(shù)的模向量的長(zhǎng)度叫做復(fù)數(shù)ZABI的OZ模|Z|ABI|A2B2探究1復(fù)數(shù)ABIA，BR為純虛數(shù)的充要條件是A0嗎提示不是，A0是ABIA，BR為純虛數(shù)的必要條件，只有當(dāng)A0，且B0時(shí)，ABI才為純虛數(shù)2復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)ZABI與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)ZA，B與平面向量A，BR是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)OZ系3復(fù)數(shù)的運(yùn)算1復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則設(shè)Z1ABI，Z2CDIA，B，C，DR，則加法Z1Z2ABICDIACBDI；減法Z1Z2ABICDIACBDI；乘法Z1Z2ABICDIACBDADBCI；除法ICDI0Z1Z2ABICDIABICDICDICDIACBDC2D2BCADC2D22復(fù)數(shù)的加法的運(yùn)算定律復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對(duì)任何Z1、Z2、Z3C，有Z1Z2Z2Z1，Z1Z2Z3Z1Z2Z33復(fù)數(shù)的乘法的運(yùn)算定律復(fù)數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律、分配律，即對(duì)于任意Z1，Z2，Z3C，有Z1Z2Z2Z1，Z1Z2Z3Z1Z2Z3，Z1Z2Z3Z1Z2Z1Z3探究2Z1、Z2是復(fù)數(shù)，Z1Z20，那么Z1Z2，這個(gè)命題是真命題嗎提示假命題例如Z11I，Z22I，Z1Z230，但Z1Z2無(wú)意義，因?yàn)樘摂?shù)無(wú)大小概念3若Z1，Z2R，ZZ0，則Z1Z20，此命題對(duì)Z1，Z2C還成立嗎212提示不一定成立比如Z11，Z2I滿足ZZ0但Z10，Z20212自測(cè)牛刀小試1教材習(xí)題改編復(fù)數(shù)Z2II在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限解析選AZ2II2II212I故復(fù)數(shù)Z2II在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為1,2，位于第一象限2教材習(xí)題改編復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是2I12IAIBICIDI3535解析選BI，2I12I2I12I12I12I5I5其共軛復(fù)數(shù)為I32012安徽高考復(fù)數(shù)Z滿足ZII2I，則ZA1IB1IC13ID12I解析選B設(shè)ZABI，則ZIIB1AI2I，由復(fù)數(shù)相等的概念可知，B12，A1，所以A1，B14已知BIA，BR其中I為虛數(shù)單位，則AB_A2II解析根據(jù)已知可得BI2AIBIERRORA2II即ERROR從而AB1答案15設(shè)A是實(shí)數(shù)，且是實(shí)數(shù)，則A_A1I1I2解析為實(shí)數(shù)，A1I1I2AAI21I2A11AI2故1A0，即A1答案1復(fù)數(shù)的有關(guān)概念例11設(shè)I是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)A為1AI2IA2B2CD121222012江西高考若復(fù)數(shù)Z1II為虛數(shù)單位，是Z的共扼復(fù)數(shù)，則Z22ZZ的虛部為A0B1C1D2自主解答1若1AI2I1AI2I2I2I2A2A1I52A5I為純虛數(shù)，則ERROR故A22A152Z221I21I20，Z22的虛部為0ZZ答案1A2A若本例1中為實(shí)數(shù)，則A為何值1AI2I解若I為實(shí)數(shù)，則0，即A1AI2I1AI2I2I2I2A52A152A1512解決復(fù)數(shù)概念問(wèn)題的方法及注意事項(xiàng)1復(fù)數(shù)的分類及對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿足的條件問(wèn)題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實(shí)部和虛部滿足的方程不等式組即可2解題時(shí)一定要先看復(fù)數(shù)是否為ABIA，BR的形式，以確定實(shí)部和虛部11已知0A2，復(fù)數(shù)Z的實(shí)部為A，虛部為1，則|Z|的取值范圍是A1,5B1,3C1,D1,532設(shè)復(fù)數(shù)ZABIA，BR的共軛復(fù)數(shù)為ABI，則Z為ZZA實(shí)數(shù)B純虛數(shù)C0D零或純虛數(shù)解析1選C由題意，ZAI，故|Z|，A210A2，1A215，從而1，A215即1|Z|52選DZABIABI2BI，Z當(dāng)B0時(shí)，Z為0；當(dāng)B0時(shí)，Z為純虛數(shù)ZZ復(fù)數(shù)的幾何意義例212012北京高考在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為10I3IA1,3B3,1C1,3D3，122012東營(yíng)模擬若I為虛數(shù)單位，圖中復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z表示復(fù)數(shù)Z，則表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)是Z1IAEBFCGDH自主解答1由13I得，該復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)10I3I10I3I3I3I1013I10的點(diǎn)為1,32依題意得Z3I，2I，該復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)Z1I3I1I3I1I1I1I42I2的點(diǎn)的坐標(biāo)是2，1答案1A2D復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)1實(shí)數(shù)、純虛數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別在實(shí)軸和虛軸上；2若實(shí)部為正且虛部為正，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第一象限；3若實(shí)部為負(fù)且虛部為正，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第二象限；4若實(shí)部為負(fù)且虛部為負(fù)，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第三象限；5若實(shí)部為正且虛部為負(fù)，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第四象限；6此外，若復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在某些曲線上，還可寫(xiě)出代數(shù)形式的一般表達(dá)式如若復(fù)數(shù)Z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在直線X1上，則Z1BIBR；若復(fù)數(shù)Z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在直線YX上，則ZAAIAR，這在利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式解題中能起到簡(jiǎn)化作用2復(fù)數(shù)Z134I，Z20，Z3C2C6I在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，若BAC是鈍角，求實(shí)數(shù)C的取值范圍解在復(fù)平面內(nèi)三點(diǎn)坐標(biāo)分別為A3,4，B0,0，CC,2C6，由BAC是鈍角得4911其中當(dāng)C9時(shí)，6,82，此時(shí)A，B，C三點(diǎn)共線，故C9所以C的取值范圍是ERROR復(fù)數(shù)的運(yùn)算例312012山東高考若復(fù)數(shù)Z滿足Z2I117II為虛數(shù)單位，則Z為A35IB35IC35ID35I22012江蘇高考設(shè)A，BR，ABII為虛數(shù)單位，則AB的值為117I12I_自主解答1由題意知Z35I117I2I117I2I2I2I1525I5253IABI，AB8117I12I117I12I12I12I2515I5答案1A28在本例1中，試求1Z的值Z解Z35I，35IZ1Z45I35I1220I15I25375IZ復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算技巧復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算，此時(shí)含有虛數(shù)單位I的看作一類，不含I的看作另一類，分別合并即可，但要注意把I的冪寫(xiě)成最簡(jiǎn)單的形式，在運(yùn)算過(guò)程中，要熟悉I的特點(diǎn)及熟練應(yīng)用運(yùn)算技巧3已知Z13XYY4XIX，YR，Z24Y2X5X3YIX，YR設(shè)ZZ1Z2，且Z132I，求Z1，Z2解ZZ1Z23XYY4XI4Y2X5X3YI5X3YX4YI，又Z132I，故ERROR解得ERROR于是，Z1321142I59I，Z24225231I87I1個(gè)分類復(fù)數(shù)的分類對(duì)復(fù)數(shù)ZABIA，BR，當(dāng)B0時(shí)，Z為實(shí)數(shù)；當(dāng)B0時(shí)，Z為虛數(shù)；當(dāng)A0，B0時(shí)，Z為純虛數(shù)2個(gè)技巧復(fù)數(shù)的運(yùn)算技巧1設(shè)ZABIA，BR，利用復(fù)數(shù)相等和相關(guān)性質(zhì)將復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化是解決復(fù)數(shù)問(wèn)題的常用方法2在復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算中，加、減、乘運(yùn)算按多項(xiàng)式運(yùn)算法則進(jìn)行，除法則需分母實(shí)數(shù)化3個(gè)結(jié)論復(fù)數(shù)代數(shù)運(yùn)算中常用的幾個(gè)結(jié)論在進(jìn)行復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算時(shí)，記住以下結(jié)論，可提高計(jì)算速度11I22I；I；I；1I1I1I1I2BAIIABI；3I4N1，I4N1I，I4N21，I4N3I，I4NI4N1I4N2I4N30，NN創(chuàng)新交匯復(fù)數(shù)命題新動(dòng)向1復(fù)數(shù)多以客觀題的形式考查復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算，也經(jīng)常將復(fù)數(shù)的基本概念與基本運(yùn)算相結(jié)合，復(fù)數(shù)冪的運(yùn)算與復(fù)數(shù)除法相結(jié)合，復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算與復(fù)數(shù)的幾何意義相結(jié)合，復(fù)數(shù)與方程相結(jié)合，復(fù)數(shù)與集合相結(jié)合等形成交匯命題2解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是把握復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則準(zhǔn)確進(jìn)行化簡(jiǎn)運(yùn)算典例2011陜西高考設(shè)集合MY|Y|COS2XSIN2X|，XR，N，則MN為XX1I2，I為虛數(shù)單位，XRA0,1B0,1C0,1D0,1解析對(duì)于集合M，函數(shù)Y|COS2X|，其值域?yàn)?,1，所以M0,1根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算方法得不等式，即X21，所以N1,1，則MN0,1正確X212選項(xiàng)為C答案C名師點(diǎn)評(píng)1本題具有以下創(chuàng)新點(diǎn)不同于以往的復(fù)數(shù)高考題，不是單獨(dú)考查復(fù)數(shù)的基本知識(shí)，而是和三角函數(shù)、不等式、集合相交匯出題，綜合性較大，是高考題的一個(gè)新動(dòng)向2解決本題的關(guān)鍵有以下幾點(diǎn)1弄清集合的元素集合M為函數(shù)的值域，集合N為不等式的解集，把M、N具體化2正確識(shí)別為復(fù)數(shù)的模，而非實(shí)數(shù)的絕對(duì)值|X1I|變式訓(xùn)練12012上海高考若1I是關(guān)于X的實(shí)系數(shù)方程X2BXC0的一個(gè)復(fù)數(shù)根，2則AB2，C3BB2，C3CB2，C1DB2，C1解析選B由于1I是關(guān)于X的實(shí)系數(shù)方程X2BXC0的一個(gè)根，則1I222B1IC0，整理得BC12BI0，則ERROR222解得ERROR2已知定義在復(fù)數(shù)集C上的函數(shù)滿足FXERROR則FF1I等于_解析由已知得F1I|I|1，|1I1I|2I2|故F11132，即FF1I2答案2一、選擇題本大題共6小題，每小題5分，共30分12012陜西高考設(shè)A，BR，I是虛數(shù)單位，則“AB0”是“復(fù)數(shù)A為純虛BI數(shù)”的A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件解析選B復(fù)數(shù)AABI為純虛數(shù)，則A0，B0；而AB0表示A0或者BIB0，故“AB0”是“復(fù)數(shù)A為純虛數(shù)”的必要不充分條件BI22012新課標(biāo)全國(guó)卷下面是關(guān)于復(fù)數(shù)Z的四個(gè)命題21IP1|Z|2,P2Z22I，P3Z的共軛復(fù)數(shù)為1I,P4Z的虛部為1其中的真命題為AP1，P3BP1，P2CP2，P4DP3，P4解析選C復(fù)數(shù)Z1I，|Z|，Z21I21I21I222I，Z的共軛復(fù)數(shù)為1I，Z的虛部為1，綜上可知P2，P4是真命題3已知FXX2，I是虛數(shù)單位，則在復(fù)平面中復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在F1I3IA第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限解析選AF1I1I22I，則I，故對(duì)應(yīng)點(diǎn)F1I3I2I3I26I101535在第一象限42013臨汾模擬復(fù)數(shù)ZII1I為虛數(shù)單位的共軛復(fù)數(shù)是A1IB1IC1ID1I解析選AZII11I，Z的共軛復(fù)數(shù)是1I5若XIIY2I，X，YR，則復(fù)數(shù)XYIA2IB2IC12ID12I解析選B由XIIY2I得XI1Y2IX，YR，X2，Y1，故XYI2I6若復(fù)數(shù)ZA21A1IAR是純虛數(shù)，則的虛部為1ZAABI2525CDI2525解析選A由題意得ERROR所以A1，所以I，根據(jù)虛部的概念，可得的虛部為1ZA112I12I12I12I15251ZA25二、填空題本大題共3小題，每小題5分，共15分72012湖北高考若ABIA，B為實(shí)數(shù)，I為虛數(shù)單位，則3BI1IAB_解析由ABI，得A，B3BI1I3BI1I1I1I3B3BI23B2，解得B3，A0，所以AB33B2答案38I為虛數(shù)單位，_1I1I31I51I7解析IIII01I1I31I51I7答案09已知復(fù)數(shù)X26X5X2I在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則實(shí)數(shù)X的取值范圍是_解析X為實(shí)數(shù)，X26X5和X2都是實(shí)數(shù)由題意，得ERROR解得ERROR即1X2故X的取值范圍是1,2答案1,2三、解答題本大題共3小題，每小題12分，共36分10計(jì)算1；1I2II32；12I231I2I3；1I1I21I1I2413I3I2解113I1I2II33II2I12I231I2I34I33I2II2II2I51525311I1I21I1I21I2I1I2I1I21I2413I3I23II3I2I3II3I4I143411實(shí)數(shù)M分別取什么數(shù)值時(shí)，復(fù)數(shù)ZM25M6M22M15I1與復(fù)數(shù)212I相等；2與復(fù)數(shù)1216I互為共軛復(fù)數(shù)；3對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在X軸上方解1根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件得ERROR解之得M12根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義得ERROR解之得M13根據(jù)復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)點(diǎn)在X軸上方可得M22M150，解之得M3或M512復(fù)數(shù)Z110A2I，Z22A5I，若1Z2是實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)A3A521AZ的值解1Z2A210I2A5IZ3A521AA2102A5I3A521AA22A15IA13A5A11Z2是實(shí)數(shù)，ZA22A150解得A5或A3分母A50，A5，故A31若復(fù)數(shù)ZX21X1I為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)X的值為A1B0C1D1或1解析選A由復(fù)數(shù)的概念，若復(fù)數(shù)ZX21X1I為純虛數(shù)，則X210，且X10，解得X12復(fù)數(shù)ZAI，AR，且Z2I，則A的值為321232A1B2CD1214解析選CZ22A2AI，32AI343又Z2I，1232ERROR得A123把復(fù)數(shù)Z的共軛復(fù)數(shù)記作，I為虛數(shù)單位若Z1I，則1Z等于ZZA3IB3IC13ID3解析選A1Z11I1I3IZ4設(shè)平行四邊形ABCD在復(fù)平面內(nèi)，A為原點(diǎn)，B、D兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是32I和24I，則點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是_解析設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為E，則E點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為X，Y，則52，1X5，Y2，故點(diǎn)C對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為52I答案52I平面向量中的三角形“四心”問(wèn)題在三角形中，“四心”是一組特殊的點(diǎn)，它們的向量表達(dá)形式具有許多重要的性質(zhì)，在近年高考試題中，總會(huì)出現(xiàn)一些新穎別致的問(wèn)題，不僅考查了向量等知識(shí)點(diǎn)，而且培養(yǎng)了考生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力現(xiàn)就“四心”作如下介紹1“四心”的概念與性質(zhì)1重心三角形三條中線的交點(diǎn)叫重心它到三角形頂點(diǎn)距離與該點(diǎn)到對(duì)邊中點(diǎn)距離之比為21在向量表達(dá)形式中，設(shè)點(diǎn)G是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)G是ABC的重心時(shí)，有0或其中P為平面內(nèi)任意一點(diǎn)GABCP13ABC反之，若0，則點(diǎn)G是ABC的重心在向量的坐標(biāo)表示中，若G，A，B，C分別是三角形的重心和三個(gè)頂點(diǎn)，且分別為GX，Y，AX1，Y1，BX2，Y2，CX3，Y3，則有X，YX1X2X33Y1Y2Y332垂心三角形三條高線的交點(diǎn)叫垂心它與頂點(diǎn)的連線垂直于對(duì)邊在向量表達(dá)形式中，若H是ABC的垂心，則或22HABCHABC2222反之，若，則H是BAABC的垂心3內(nèi)心三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)叫內(nèi)心內(nèi)心就是三角形內(nèi)切圓的圓心，它到三角形三邊的距離相等在向量表達(dá)形式中，若點(diǎn)I是ABC的內(nèi)心，則有|0反之，若BCIAIBAIC|0，則點(diǎn)I是ABC的內(nèi)心4外心三角形三條邊的中垂線的交點(diǎn)叫外心外心就是三角形外接圓的圓心，它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等在向量表達(dá)形式中，若點(diǎn)O是ABC的外心，則OA0或|OBAO