第4章-系統(tǒng)運動穩(wěn)定性.ppt

上海交通大學自動化系,第4章系統(tǒng)運動穩(wěn)定性,一個實際系統(tǒng)正常工作的前提是系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的，因此系統(tǒng)的穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)分析的重要方面。線性系統(tǒng)的數(shù)學描述有外部描述和內部描述兩種，相應地，線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性也有外部穩(wěn)定性和內部穩(wěn)定性兩類，前者是系統(tǒng)的輸入輸出穩(wěn)定性，后者是平衡狀態(tài)穩(wěn)定性。外部穩(wěn)定性和內部穩(wěn)定性有區(qū)別，但也存在一定的聯(lián)系。,上海交通大學自動化系,線性系統(tǒng)的外部穩(wěn)定性和內部穩(wěn)定性介紹Lyapunov穩(wěn)定性概念線性系統(tǒng)外部穩(wěn)定性和內部穩(wěn)定性的關系線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的特征值判據(jù)和Lyapunov判別方法,本章的目的,上海交通大學自動化系,線性系統(tǒng)的外部穩(wěn)定性主要是有界輸入有界輸出穩(wěn)定性，簡稱為BIBO穩(wěn)定性。定義考慮線性松弛的系統(tǒng)，如果由一個有界輸入所產生的輸出也是有界的，即則稱系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定的。,4.1線性系統(tǒng)的外部穩(wěn)定性,上海交通大學自動化系,注：BIBO穩(wěn)定性必須假定系統(tǒng)是松弛的，因為系統(tǒng)的輸入輸出描述是在此假定下才有意義。系統(tǒng)的輸入輸出描述有脈沖響應函數(shù)和傳遞函數(shù)兩種穩(wěn)定性判據(jù)也有相應的兩種形式。,上海交通大學自動化系,單變量線性系統(tǒng)的BIBO穩(wěn)定性脈沖響應函數(shù)判據(jù)定理線性系統(tǒng)的輸入輸出描述則系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定的充分必要條件是其中，M是一個有限常數(shù)。,上海交通大學自動化系,證明：充分性：顯然，系統(tǒng)的輸出是有界的。必要性：用反證法。假設存在某個時刻，使取輸入,上海交通大學自動化系,顯然u（t）是有界的，但是輸出是無界的，所以系統(tǒng)不是BIBO穩(wěn)定的。推論對線性定常系統(tǒng)可取，則其BIBO穩(wěn)定的充分必要條件是,上海交通大學自動化系,傳遞函數(shù)判據(jù)定理如果單變量線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是正則(或嚴格正則)有理函數(shù)，則其BIBO穩(wěn)定的充分必要條件為：的所有極點都具有負實部。證明：若是正則有理函數(shù)，是其重極點，則通過部分分式展開后，必定包含因子,上海交通大學自動化系,它們的拉氏反變換，或系統(tǒng)的單位脈沖響應響應地包含有下列因子上列因子絕對可積的充分必要條件是具有負實部，即系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定的多變量線性系統(tǒng)的BIBO穩(wěn)定性類似于SISO的情況（略）,上海交通大學自動化系,推廣形式:線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為顯然，的每一個極點都是A的特征值。所以如果A的所有特征值具有負實部，則的所有極點必定具有負實部，即系統(tǒng)必是BIBO穩(wěn)定的。但這只是充分條件，而不是必要條件。,上海交通大學自動化系,例設系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為A的特征值為-1與2.5，不全為負實部。而其傳遞函數(shù)為的一個極點2.5與零點對消，剩下一個負實極點-1，所以系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定的。,上海交通大學自動化系,4.2系統(tǒng)的內部穩(wěn)定性,系統(tǒng)的內部穩(wěn)定性則是指系統(tǒng)零輸入響應的穩(wěn)定性。Lyapunov穩(wěn)定性理論的發(fā)展史1892年Lyapunov提出了穩(wěn)定性分析的兩種方法：線性化方法和直接法線性化方法的特點：在平衡點線性化的系統(tǒng)的穩(wěn)定性非線性系統(tǒng)在平衡點附近的局部穩(wěn)定性直接方法的特點：通過構造一能量型的函數(shù)和研究它的時間變化特性來研究非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性,上海交通大學自動化系,基本概念：非線性系統(tǒng)和平衡點,非線性系統(tǒng)其中：f是n1的非線性向量函數(shù)，x是n1的狀態(tài)向量。狀態(tài)向量的一個特定的值稱為點。狀態(tài)的個數(shù)n叫做系統(tǒng)的階。雖然（4.1）不顯含控制輸入，但它也可以應用于反饋控制系統(tǒng)。（大家想一想：為什么？）,上海交通大學自動化系,自治和非自治系統(tǒng),對于線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)的特例,分類：時變和時不變（定常）,定義如果（4.1）中的f不顯含時間t，即（4.1）可以寫成則就說該系統(tǒng)是一自治系統(tǒng)（理想化的概念），否則是非自治系統(tǒng)。,上海交通大學自動化系,注意：上述定義是對于閉環(huán)系統(tǒng)而言的。對于由控制器和控制對象組成的控制系統(tǒng)，其非自治性可能源于控制對象或控制器隨時間的變化。例如，對于一簡單的控制對象：如果選擇控制器是非線性和時變的（)則該控制系統(tǒng)是非線性且是非自治的。,上海交通大學自動化系,自治和非自治系統(tǒng)間的區(qū)別,自治系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡與初始時間無關，而非自治系統(tǒng)則不然。在討論非自治系統(tǒng)的穩(wěn)定性時需要顯含初始時間。使得分析非常困難在下面我們假定控制對象都是自治系統(tǒng),上海交通大學自動化系,平衡狀態(tài),平衡狀態(tài)的定義X（t）一旦等于x*，之后系統(tǒng)將永遠停留在該狀態(tài)x*，則該狀態(tài)x*叫做系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。顯然對于線性時不變系統(tǒng)，如果A非奇異，只有一個平衡狀態(tài)；如果A奇異，則有無窮個，但它們不是分割的。（大家想一想：的平衡狀態(tài)？）,上海交通大學自動化系,對于非線性系統(tǒng)，平衡點有何特點呢？,平衡狀態(tài)：,這些平衡點是分割的,上海交通大學自動化系,在線性系統(tǒng)的分析和設計中，為了便于分析和簡化記號，假定平衡點都是什么呢？狀態(tài)空間的原點。對于非線性系統(tǒng)，如果給定一特定的平衡點x*，同樣可以進行變換：可以證明（4.2）和（4.3）的解一一對應。,研究（4.2）在平衡點x*附近的行為的問題研究（4.3）在原點附近的行為的問題。,上海交通大學自動化系,公稱運動假定x*（t）是系統(tǒng)（4.2）對應于初始狀態(tài)x*（0）x0的公稱運動軌跡，假定受擾的初始狀態(tài)x（0）x0+x0現(xiàn)在的問題是研究如何變化？,上海交通大學自動化系,研究（4.4）的平衡點0的穩(wěn)定性的問題,注意：（4.4）是一非自治系統(tǒng),上海交通大學自動化系,例4.1考慮下面的質量彈簧系統(tǒng)現(xiàn)在的問題是確定初始位置為x0時運動x*（t）的穩(wěn)定性解：擾動初始位置x0為x0+x0則關于運動誤差的等價微分方程為顯然，它是一非自治系統(tǒng)。注：對于線性系統(tǒng)而言，其等價系統(tǒng)仍是自治的。,上海交通大學自動化系,4.2Lyapunov穩(wěn)定性的概念定義：如果對于任意的R0，存在r0使得當時，對于所有的t0都有則平衡狀態(tài)x0是穩(wěn)定的，反之則是不穩(wěn)定的。,上海交通大學自動化系,幾何解釋,上海交通大學自動化系,例4.2判斷下述系統(tǒng)的穩(wěn)定性,上海交通大學自動化系,圖4.2VanderPol振蕩器的不穩(wěn)定原點,上海交通大學自動化系,漸近穩(wěn)定性和指數(shù)穩(wěn)定性定義：如果平衡點0穩(wěn)定，并且存在某個正數(shù)r使得隱含著當t時，x（t）0，則稱它漸近穩(wěn)定。,思考：穩(wěn)定的條件是否需要？答案是：需要，為什么？,上海交通大學自動化系,A穩(wěn)定,B漸近穩(wěn)定,C不穩(wěn)定,上海交通大學自動化系,穩(wěn)定,不穩(wěn)定,漸近穩(wěn)定,曲面無摩擦,曲面有摩擦,上海交通大學自動化系,穩(wěn)定,不穩(wěn)定,漸近穩(wěn)定,曲面無摩擦,曲面有摩擦,若偏移一點,上海交通大學自動化系,穩(wěn)定,不穩(wěn)定,漸近穩(wěn)定,曲面無摩擦,曲面有摩擦,上海交通大學自動化系,穩(wěn)定,不穩(wěn)定,漸近穩(wěn)定,曲面無摩擦,曲面有摩擦,若偏移一下,上海交通大學自動化系,穩(wěn)定,不穩(wěn)定,漸近穩(wěn)定,曲面無摩擦,曲面有摩擦,上海交通大學自動化系,穩(wěn)定,不穩(wěn)定,漸近穩(wěn)定,曲面無摩擦,曲面有摩擦,若偏移一下,上海交通大學自動化系,穩(wěn)定,不穩(wěn)定,漸近穩(wěn)定,曲面無摩擦,曲面有摩擦,上海交通大學自動化系,穩(wěn)定,不穩(wěn)定,漸近穩(wěn)定,曲面無摩擦,曲面有摩擦,若偏移一下,上海交通大學自動化系,穩(wěn)定,不穩(wěn)定,漸近穩(wěn)定,曲面無摩擦,曲面有摩擦,上海交通大學自動化系,漸近穩(wěn)定平衡點附近的運動軌跡,上海交通大學自動化系,平衡點的吸引域起始于其內的軌跡最終都收斂于原點的所有點的集合工程上，有時還要求盡快回到平衡點0指數(shù)穩(wěn)定的定義如果存在兩個嚴格的正數(shù)和，使得在原點的某個領域Br上，有則稱平衡點0是指數(shù)穩(wěn)定的。,上海交通大學自動化系,含義：指數(shù)穩(wěn)定的系統(tǒng)的狀態(tài)向量收斂到原點的速度比指數(shù)函數(shù)還快。,指數(shù)穩(wěn)定,漸近穩(wěn)定,指數(shù)穩(wěn)定和漸近穩(wěn)定之間的關系,漸近穩(wěn)定,指數(shù)穩(wěn)定,？,答案：No。漸近穩(wěn)定并不能保證指數(shù)穩(wěn)定,利用指數(shù)穩(wěn)定性可以給出任意時刻狀態(tài)的界,上海交通大學自動化系,局部和全局穩(wěn)定性的概念如果對于狀態(tài)空間上的任意初始狀態(tài)，都是漸近穩(wěn)定（指數(shù)穩(wěn)定），則稱原點是全局漸近穩(wěn)定（指數(shù)穩(wěn)定）,線性時不變系統(tǒng)要么是漸近穩(wěn)定的，臨界穩(wěn)定，不穩(wěn)定，而漸近穩(wěn)定也總是指數(shù)穩(wěn)定和全局穩(wěn)定的。（自動控制原理中沒有細分的原因）,上海交通大學自動化系,4.3線性化和局部穩(wěn)定性,Lyapunov線性化關心的是非線性系統(tǒng)的局部穩(wěn)定性。直覺：非線性系統(tǒng)的局部的運動特性應該類似于其線性化近似。它就是將這種直覺理論化。Lyapunov線性化理論為對實際系統(tǒng)，應用線性控制進行穩(wěn)定設計提供了理論依據(jù)。應用線性控制進行穩(wěn)定設計能保證原物理系統(tǒng)的局部穩(wěn)定性。,上海交通大學自動化系,假定f（x）是連續(xù)可微的，,非線性系統(tǒng)的線性化方法,原非線性系統(tǒng)在原點的線性化或線性近似,上海交通大學自動化系,對于控制輸入為u的非自治系統(tǒng)如果f（0，0）0，則有：,上海交通大學自動化系,例4.3確定下述系統(tǒng)在原點的線性化近似,解：易于驗證原點是該系統(tǒng)的平衡點，在該點的雅克比矩陣為:,線性化系統(tǒng),上海交通大學自動化系,線性化系統(tǒng)的穩(wěn)定性和原非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性之間的關系定理4.1（Lyapunov線性化方法）如果線性化系統(tǒng)是嚴格穩(wěn)定的，那么平衡點是漸近穩(wěn)定的（原非線性系統(tǒng)）；如果線性化系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，那么平衡點是不穩(wěn)定的（原非線性系統(tǒng)）；如果線性化系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的，那么由線性近似得不到有關原非線性系統(tǒng)的任何結果。,上海交通大學自動化系,例4.4判斷下述倒立擺的兩個平衡點的穩(wěn)定性,平衡狀態(tài)：,上海交通大學自動化系,平衡點的情況線性化系統(tǒng)：容易看出當b0時，該線性化系統(tǒng)嚴格穩(wěn)定，因此由定理4.1原非線性系統(tǒng)在該平衡點漸近穩(wěn)定。,上海交通大學自動化系,平衡點的情況線性化系統(tǒng)：容易看出當b0時，該線性化系統(tǒng)不穩(wěn)定，因此由定理4.1原非線性系統(tǒng)在該平衡點不穩(wěn)定。,上海交通大學自動化系,例4.4確定下述系統(tǒng)的平衡點和在原點平衡點的穩(wěn)定性。,解：求系統(tǒng)的平衡點：由f（x）0有平衡點為：,顯然，當時，該系統(tǒng)只有一個平衡點x0。,上海交通大學自動化系,在x0處的線性化系統(tǒng)為：常數(shù)a取值不同，該線性化系統(tǒng)的穩(wěn)定性也不同：a0：不穩(wěn)定a=0：無法確定,Lyapunov線性化方法：,上海交通大學自動化系,4.4Lyapunov直接方法基本思想：如果一個物理系統(tǒng)的總能量是連續(xù)消散的，那么該系統(tǒng)的狀態(tài)最終會回到平衡點。,先看一個非線性質量阻尼彈簧系統(tǒng)：,動態(tài)方程：,上海交通大學自動化系,現(xiàn)在的問題：拉小車一段距離后釋放，其后的運動是否穩(wěn)定？,目前，可利用的判定方法：根據(jù)定義和Lyapunov線性化方法。對于該系統(tǒng)，這兩種方法都不能應用。為什么呢？第一種：要求知道一般解第二種：局部結論，或者線性化系統(tǒng)臨界穩(wěn)定,上海交通大學自動化系,該機械系統(tǒng)的總能量：,機械能量和穩(wěn)定性概念之間的關系：,零能量對應于平衡點原點漸近穩(wěn)定性意味著機械能收斂到0不穩(wěn)定性與能量的增加有關,上海交通大學自動化系,結論：標量值（機械能）間接反映了狀態(tài)向量的大小，因此，系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以由系統(tǒng)的機械能的變化來表征。,在運動過程中能量的變化率,起始于任意初始狀態(tài)的系統(tǒng)的能量直到前都是連續(xù)消散的。進一步，它必定停留在彈簧的自然長度處。,Lyapunov直接方法就是上述思想對一般復雜系統(tǒng)的推廣。,上海交通大學自動化系,4.4.1正定函數(shù)和Lyapunov函數(shù)上述能量函數(shù)有兩個性質：（1）它是嚴格正值，當且僅當狀態(tài)向量為0時才為0；（2）單調減小。上述性質在這里用正定函數(shù)和Lyapunov函數(shù)來描述。,正定函數(shù)的定義:,如果一標量函數(shù)V（x）滿足下述條件：（1）V（0）0；（2）則說它是局部正定函數(shù)。,上海交通大學自動化系,如果將上面的換成整個狀態(tài)空間，其性質仍然成立，我們就說它是全局正定函數(shù)。,例如倒立擺的機械能為：,是局部正定的；而上述非線性質量阻尼彈簧系統(tǒng)的機械能是全局正定的。注意：動能本身不是正定的。,上述定義中，隱含著原點為函數(shù)V的唯一最小點。,上海交通大學自動化系,正定函數(shù)的集合意義：,V,0,0.45,0.63,0.77,C=0.89,0,0.5,-1,-0.5,1,0.5,-1,-0.5,1,正定函數(shù)的典型形狀,正定函數(shù)的等高線表示,上海交通大學自動化系,類似地，正半定，負定，負半定,如果V（x）可微，,它也稱為V沿系統(tǒng)運動軌跡的導數(shù),Lyapunov函數(shù)的定義：,如果函數(shù)V（x）滿足下述條件:（1）在球上，它是正定的；（2）具有連續(xù)偏導數(shù)；（3）沿任一運動軌跡的其時間導數(shù)是負半定的。則稱V（x）為該系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)。,上海交通大學自動化系,x1,x2,1,-1,1,-1,0.5,上海交通大學自動化系,4.4.2平衡點定理,Lyapunov局部穩(wěn)定性定理定理4.2如果在一球上，如果存在一標量函數(shù)V（x），具有連續(xù)偏導數(shù)，且V（x）正定為負半定則平衡點0是穩(wěn)定的；如果球上是局部負定的，則平衡點0是漸近穩(wěn)定的。,上海交通大學自動化系,證明：使用Lyapunov函數(shù)的幾何解釋來證明（以n2的情況為例）,(a),(b),上海交通大學自動化系,證明穩(wěn)定性,根據(jù)定義證明：對于任意的正數(shù)R，存在一個嚴格正數(shù)r，使得起始于球內的任一軌跡始終保持在球內。,令m是V在球面上的最小值，由于V連續(xù)且正定，所以m一定存在且嚴格正；又由于V（0）0，所以，由V（x）的連續(xù)性，在原點的領域存在一個球，滿足,上海交通大學自動化系,由定理負半定的條件，可知，V將保持嚴格小于m，因此其軌跡不可能穿出球面綜上，結論得證。,下面考慮負定的情況：（反證法）起始于某個球內的軌跡將保持在內。由于V是下有界且連續(xù)減小，那么V趨向于極限L，即現(xiàn)假定:那么由V（0）0和V的連續(xù)性，在原點的領域存在一個球，軌跡將不會進入該球,上海交通大學自動化系,另一方面，由于連續(xù)正定且有界，所以，一定大于某個嚴格正數(shù)L1。這意味著V將在有限時間V0-LL1內從初值V0減小到小于L的某個值。這與假設矛盾。于是漸近穩(wěn)定性的結論得證。,應用上述定理對非線性系統(tǒng)進行分析的步驟：構造Lyapunov函數(shù)V（x）確定V沿著系統(tǒng)軌跡的導數(shù)問題：如何構造Lyapunov函數(shù)V（x）？,上海交通大學自動化系,例4.4倒立擺系統(tǒng)原點的穩(wěn)定性（局部穩(wěn)定性）,考慮下述標量函數(shù)：,可以驗證它是局部正定函數(shù)。,那么由上述定理可知：該系統(tǒng)的原點是穩(wěn)定的。,上海交通大學自動化系,例4.5判斷下述系統(tǒng)的原點平衡點的漸近穩(wěn)定性,首先構造一正定函數(shù)如下：,V沿著系統(tǒng)軌跡的導數(shù),在球內局部負定，因此，由定理可知：該系統(tǒng)的原點平衡點局部漸近穩(wěn)定。,上海交通大學自動化系,全局穩(wěn)定性的Lyapunov定理有時系統(tǒng)的工作范圍比較大，僅僅進行局部穩(wěn)定性分析是不夠的，需要判斷全局穩(wěn)定性。你可能會想：將上述定理中的替換成整個狀態(tài)空間，局部正定換成全局就行了。但結論是：僅做這種替換是不夠的。還需對V附加條件：V（x）徑向無界。,上海交通大學自動化系,定理4.3（全局穩(wěn)定性）,假定存在一個標量函數(shù)V具有連續(xù)的一階導數(shù)且滿足下列條件：,V（x）正定負定,則平衡點原點是全局漸近穩(wěn)定的。證明：與前面的定理相同。,上海交通大學自動化系,附加徑向無界條件的原因：徑向無界可以保證其等高線是封閉的。,上海交通大學自動化系,例4.6判斷系統(tǒng)原點的全局漸近穩(wěn)定性。其中可以構造Lyapunov函數(shù)候選：V是無界的，其導數(shù)為：,由定理4.3可知：原點全局漸近穩(wěn)定。,思考題：判斷下述系統(tǒng)的平衡點原點的全局穩(wěn)定性（a）（b）,上海交通大學自動化系,說明：對于同一個系統(tǒng)，可能存在多個Lyapunov函數(shù)；如：如果V是某系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)，則也是Lyapunov函數(shù)。其中，如果Lyapunov函數(shù)選擇得好，可以給出比較精確的結果：如對于倒立擺的例子而言，選擇函數(shù),上海交通大學自動化系,作為Lyapunov函數(shù)候選，則在原點的鄰域局部有,因此原點漸近穩(wěn)定,Lyapunov分析中的所有定理都是充分的。即：對于一個特定的Lyapunov函數(shù)候選，如果不滿足的條件，這時，并不能得出有關系統(tǒng)穩(wěn)定性的任何結論。,上海交通大學自動化系,4.4.3不變集定理,一方面，對于大多數(shù)系統(tǒng)都要求漸近穩(wěn)定性而在很多情況下僅是負半定的。如果這時應用前面的定理只能得到穩(wěn)定的結果。但是這時有的系統(tǒng)實際是漸近穩(wěn)定的。問題是：如何進一步給出有關漸近穩(wěn)定性的結論,LaSalle不變集定理就是其工具之一。,上海交通大學自動化系,不變集：它是平衡點概念的推廣,不變集的定義：如果起始于集合G內任一點的系統(tǒng)的每條軌跡都始終保持在該集合G內，則稱集合G為該系統(tǒng)的一個不變集。,平衡點是一個不變集，平衡點的吸引域也是一個不變集。最平凡的不變集是什么？狀態(tài)空間中系統(tǒng)的軌跡是否是一不變集？為什么？,上海交通大學自動化系,定理4.4（局部不變集定理）,考慮自治系統(tǒng)其中，f連續(xù)，V是一具有一階連續(xù)偏導數(shù)的標量函數(shù)。假定,對于某個l0，由所定義的區(qū)域有界對于中的所有x，,令R是內使得的所有點的集合，而M是R上的最大不變集。則起始于的每條軌跡x(t)當t時，趨向于M。,上海交通大學自動化系,注：定理中的最大是指所有不變集的并,該定理的幾何意義,V,上海交通大學自動化系,上述定理的證明要用到拓撲學和實分析中的許多概念，這里我們略去證明。重點是如何應用它。,例4.7,動態(tài)方程：,上海交通大學自動化系,應用不變集定理可以判定原點實際上是漸近穩(wěn)定的。為此，我們需要證明不變集M僅含原點集合R是相平面上的水平軸。假定M含有位置不為0的點，那么，在該點處，其加速度這表示系統(tǒng)的軌跡會立即離開集合R，因此離開集合M。與不變集的定義矛盾。,上海交通大學自動化系,推論,考慮自治系統(tǒng)其中，f連續(xù)，V是一具有一階連續(xù)偏導數(shù)的標量函數(shù)。假定在原點的某個鄰域上,V（x）局部正定負半定令R是使得的所有點的集合，它不包含系統(tǒng)的任何軌跡（原點除外）,則原點漸近穩(wěn)定。,上海交通大學自動化系,定理4.5（全局不變集定理）,考慮自治系統(tǒng)其中，f連續(xù)，V是一具有一階連續(xù)偏導數(shù)的標量函數(shù)。假定,*在整個狀態(tài)空間上，當,令R是使得的所有點的集合，而M是R上的最大不變集。則系統(tǒng)的每條軌跡x(t)當t時，全局漸近地收斂于于M。,上海交通大學自動化系,動態(tài)方程：,例4.8一類2階非線性系統(tǒng),其中，b和c是連續(xù)函數(shù)，且分別滿足下列符號條件：,它可以描述：具有非線性阻尼和彈簧的質量阻尼彈簧系統(tǒng)；非線性RLC電路,上海交通大學自動化系,令R是使得即的所有點的集合，由于意味著所以R上的不變集M僅包含原點。所以由局部不變集定理，原點是局部漸近穩(wěn)定的。進一步，如果則原點是全局漸近穩(wěn)定的。,上海交通大學自動化系,4.5基于Lyapunov直接方法的系統(tǒng)分析,前面我們已經(jīng)得到了若干定理，現(xiàn)在你一定會認為利用這些工具對實際的非線性控制系統(tǒng)的分析將非常容易前提：Lyapunov函數(shù)已知對一個復雜的非線性控制系統(tǒng)進行分析的難點：對于一個特定的問題如何構造Lyapunov函數(shù)經(jīng)驗、直覺、物理理解,上海交通大學自動化系,4.5.1線性時不變系統(tǒng)的Lyapunov分析,（數(shù)學準備）,對稱、斜對稱、正定矩陣,如果則稱方陣M是對稱的；如果則稱方陣M是斜對稱的。,事實：,*任一方陣可以表示為一對稱矩陣和一斜對稱矩陣的和：,對稱,斜對稱,上海交通大學自動化系,*與斜對稱矩陣有關的二次型函數(shù)總是為0。即，如果M為一斜對稱矩陣，則有,利用這一點：我們在討論二次型函數(shù)時，可以假定M是對稱的，而不失一般性。,如果則稱方陣M為正定陣。,上海交通大學自動化系,事實,（）正定（）的所有特征值為正（）所有的主子行列式為正上述三條等價。,上海交通大學自動化系,線性時不變系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù),對于該系統(tǒng)，可以考慮下述Lyapunov函數(shù)候選,其中，P是對稱正定陣,其中，,Lyapunov方程,上海交通大學自動化系,現(xiàn)在的問題：確定Q是否是正定的？我們知道：定理4.4僅僅是充分的，這種自然的方法有時會得不到結論。如對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，但Q不是正定的。,為此，看下面的例子：,如果取,顯然，Q不是正定的，因此得不到任何結論,上海交通大學自動化系,定理4.