高等代數(shù)在解析幾何中的應用

學號哈爾濱學院學士學位論文高等代數(shù)在解析幾何中的應用院（系）名 稱：理學院專 業(yè) 名 稱：數(shù)學與應用數(shù)學學 生 姓 名：范莉娜指 導 教 師：方曉超講師哈爾濱學院2014年7月學號密級 公開高等代數(shù)在解析幾何中的研究英文學 生 姓 名： 范莉娜所 在 學 院： 理學院所 在 專 業(yè)： 數(shù)學與應用數(shù)學指 導 教 師：方曉超職 稱：講師所 在 單 位：哈爾濱學院論文提交日期：論文答辯日期：學位授予單位：摘要關(guān)鍵詞：二次型，ABSTRACTMathods of Key words :前 言行列式出現(xiàn)于第一章線性代數(shù)在解析幾何中的應用1.1向量在解析幾何中的應用1.1.1向量的定義定義1.1：即有大小，又有方向的量成為向量（或矢量）。向量有兩個特征，即有大小，又有反向，向量的幾何圖型是一個有向線段。在幾何上，向量可以用有向線段表示。例如,有向線段的長度表示向量的大?。ɑ蚍Q向量的模），用箭頭表示向量的方向，即短點所指的方向，端點，分別稱為向量的起點和終點。用有向線段表示的向量稱為幾何向量。1.1.2向量的加法定義1.2：設為空間中兩個向量。在空間任取一點，作，稱向量為的和，（仍采用數(shù)的加法記號）記作，即。稱此運算為向量的加法，加法法則稱為三角形法則。三角形法則等價于平行四邊形法則：從空間中一點，作，再以為邊作平行四邊形，則對角線上的向量就是由定義不難驗證向量的加法滿足下列運算規(guī)律：1）（交換律）2）結(jié)合律3）4）直角坐標系定義1.3：如果是兩兩垂直的長度為1的向量，則稱坐標系為直角坐標系。若兩兩垂直，則它們一定不共面。因而直角坐標系是特殊的仿射坐標系。點（或向量）在直角坐標系下的坐標稱為它的直角坐標。1.1.3用坐標進行向量的線性運算在空間 取定仿射坐標系。設的坐標，的坐標是，則利用向量加法的交換律和結(jié)合律有類似地，任意，利用數(shù)乘向量的分配律與結(jié)合律有這說明的坐標是，的坐標是因此求向量的和（差）及數(shù)量的乘積的坐標只需對各個坐標進行相應的數(shù)量運算就行。數(shù)量積。定義1.4：兩個向量的數(shù)量積（也稱內(nèi)積或點積）規(guī)定為一個實數(shù)，它等于這個向量的長度與它們夾角的余弦的乘積，記作，即有用坐標計算向量的向量積先設為仿射坐標系，則可見，只要知道基向量之間的數(shù)量積，就可以求出任意兩個向量的數(shù)量積。這九個數(shù)稱為仿射坐標系的度量參數(shù)?，F(xiàn)在設是直角坐標系，則有于是由上上式得到因此有如下定理。定理1.1：在直角坐標系下，兩個向量的數(shù)量積等于它們的對應坐標的乘積之和。例：用向量證明三角形的余弦定理。證：作，令。于是 。余弦定理說明了如何由三角形三邊長去計算三個頂角的余弦。利用上上式，余弦定理也可以改寫成從上式不難看出上式含有長度及兩向量的夾角。我們也可以利用它來定義數(shù)量積。即或這樣定義的數(shù)量積通用滿足定理。1.2矩陣的秩在解析幾何中的應用矩陣的秩是代數(shù)中的基礎概念，將它的理論推廣到解析幾何中，會收到很好的效果，下面就是矩陣的秩關(guān)于解析幾何的幾個定理和應用。定理1.2已知平面與平面，設線性方程組的系數(shù)矩陣為，增廣矩陣為，則：1） 若秩=秩=2，平面與平面相交于一條直線；2） 若秩=秩=1，平面與平面重合；3） 若秩=1，但是秩=2，平面與平面平行。定理1.3已知兩個平面 的矩陣：和的秩分別是，則：1) 兩個平面相交的充要條件是；2) 兩個平面平行且相異的重演條件是；3) 兩個平面重合的充要條件是.定理三已知一個平面和一條直線:的矩陣：和的秩分別是和，則，1） 直線與平面相交的充要條件是；2） 直線與平面沒有公共點的充要條件是，；3） 直線屬于已知平面的充要條件是。已知三個平面：設分別是矩陣 的秩，則：1） 三個平面有唯一公共點的充要條件是；2） 三個平面兩兩互異且有唯一公共點的充要條件是，且矩陣的任何兩行不成比例；3） 三個平面兩兩相交且每兩個平面的交線平行于第三個平面的充要條件是，且矩陣的任何兩行都不成比例；4） 兩個平面平行，第三個平面與它們相交的充要條件是且的兩行成比例；5） 三個平面互相平行的充要條件是，的任何兩行都不成比例；6） 兩個平面重合，第三個平面與它們相交的充要條件是，且的兩行成比例餓；7） 兩個平面重合，第三個平面與它們平行的充要條件是，且的兩行不成比例；8） 三個平面重合的充要條件是。定理1.4已知兩條平行線矩陣和的秩分別為，則：1） 兩條直線既不平行也不相交的充要條件是；2） 兩條直線相交的充要條件是；3） 兩條直線平行且互異的蟲咬條件是；4） 兩條直線重合的充要條件是。例：證明下列兩條直線互相平行：與、證明：由定理4的3）只需證明。令 ，故由定理四3）秩，兩條直線平行。解析幾何證明：故，亦即兩條直線平行。從上面兩種證法可以看出：采用矩陣的秩的有關(guān)結(jié)論證明平面與平面的位置關(guān)機：直線與直線的位置關(guān)系是簡單而又方便的。1.3齊次線性方程組在解析幾何中的應用定理：齊次線性方程組有非零解的充要條件是它的系數(shù)行列式等于零。即只有零解的充要條件是它的系數(shù)行列式不等于零。即該定理在線性代數(shù)中是作為克萊姆法則的兩個推論給出的。例1：試證向量共面的充要條件是證：顯然可見是齊次線性方程組的一組非零解，由定理可知，例2：若向量同時垂直于三個不共面向量則。證：設不共面，又，故齊次線性方程組只有零解，即 從而例3求由不共線的三點所確定的平面的方程。解：的方程為：，其中至少有一個不為零。同理，所以有于是可以得到一個關(guān)于的齊次線性方程組不全為零，該方程組至少有一個非零解，由定理可知，其系數(shù)行列式的值其為零，即此即的方程。例四求四點在同一平面上的充要條件。解：設共面于平面 ，則有 則是關(guān)于變量的齊次線性方程組。又由于不全為零，故不全為零，即方程組存在一組非零解，由定理知，有一組非零解的充分必要條件是此亦為所求。 第二章二次型在解析幾何中的應用2.1二次型的基本定義設是一個是數(shù)域，個文字的二次齊次多項式稱為數(shù)域上的一個元二次型，簡稱二次型。當為實數(shù)時，稱為實二次型；當為復數(shù)時，稱為復二次型。設階對稱矩陣則元二次型可表示為下列矩陣形式：。其中對稱矩陣稱為二次型的系數(shù)矩陣，簡稱為二次型的矩陣。定義2.1：二次型可唯一的表示成，其中，為對稱矩陣，稱上式二次型的矩陣形式，稱為二次型的矩陣，稱的秩為二次型的秩。二次曲面標準方程：橢球面橢圓拋物面：雙曲拋物面（馬鞍面）：單葉雙曲面：雙葉雙曲面：二次錐面：2.2二次型的最值得判定與求法一般的元二次多項式的形式為而上式存在最值得充要條件為存在最值（上式中，故只需要對上式進行討論。2.3二次型與二次曲線與二次曲面二次曲面的一般方程其中都是實數(shù)，我們記其中利用二次型的表示方法，方程（1） 可表示成下列形式：為研究一般二次曲面的性態(tài)，我們需將二次曲面的一般方程轉(zhuǎn)化為標準方程，為此分布進行。第一步，利用正交變換將方程（2）的左邊的二次型的部分化成標準型：其中為正交矩陣，相應地有于是方程（2）可化為 （3）第二步，作平移變換，將方程上式化為標準方程，其中，這里只要用配方法就能找到所用的平移變換，以下對是否為零進行討論：（1） 當時，用配方法將方程（3）化為標準方程： （4）根據(jù)與的正負號，可具體確定方程（4）表示什么曲面。例如與同號，則方程（4）表示橢球面。（2） 當中有一個為0，設方程（3）可化為 （5） （6）根據(jù)的正負號?？删唧w確定方程（5）（6）表示什么曲面。例如當同號時，方程（5）表示橢球拋物面。當異號時，方程（5）表示雙曲拋物面，（6）表示柱面。（3） 當中有兩個為0，不妨設，方程（3）可化為下列情況之一：（a）此時，再作新的坐標變換： （實際上是繞軸的旋轉(zhuǎn)變換），方程可化為： 表示拋物柱面；（b） 表示拋物柱面； 表示拋物柱面（d）若異號，表示兩個平面平行；若同號，圖形無實點，若，表示做表面。例：二次曲面由以下方程給出，通過坐標變換，將其化為標準型，并說明它是什么曲面。解 將二次曲面的一般方程寫成矩陣形式 的特征值為，分別求出它們所對應的特征向量，并將它們標準正交化：， ， 取，則為正交矩陣，作正交變換則有：因此，原方程可化為：配方得：令則原方程化為標準方程：該曲面為橢球拋物面。例：將二次曲面的方程化為標準方程，并說明它是什么曲面。解 可寫成，令， ， 該曲面方程用矩陣形式表示為：的特征值為，分別求出它們所對應當然特征向量，并單位化得：， ， 取，則為正交矩陣。作正交變換，則有