高二數(shù)學(xué)研究性課題：多面體歐拉定理的發(fā)現(xiàn)二

高二數(shù)學(xué)研究性課題：多面體歐拉定理的發(fā)現(xiàn)二教學(xué)目的：會(huì)用歐拉公式解決實(shí)際問(wèn)題 教學(xué)重點(diǎn)：歐拉定理的應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：在具體問(wèn)題中會(huì)利用頂點(diǎn)V、面數(shù)F、棱數(shù)E的關(guān)系互化授課類型：新授課 課時(shí)安排：1課時(shí) 教 具：多媒體、實(shí)物投影儀 教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)引入：1簡(jiǎn)單多面體：考慮一個(gè)多面體，例如正六面體，假定它的面是用橡膠薄膜做成的，如果充以氣體，那么它就會(huì)連續(xù)（不破裂）變形，最后可變?yōu)橐粋€(gè)球面如圖：象這樣，表面經(jīng)過(guò)連續(xù)變形可變?yōu)榍蛎娴亩嗝骟w，叫做簡(jiǎn)單多面體說(shuō)明：棱柱、棱錐、正多面體等一切凸多面體都是簡(jiǎn)單多面體2五種正多面體的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)及棱數(shù)：正多面體頂點(diǎn)數(shù)面數(shù)棱數(shù)正四面體446正六面體8612正八面體6812正十二面體201230正二十面體1220303歐拉定理（歐拉公式）：簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)及棱數(shù)有關(guān)系式： 4歐拉示性數(shù)：在歐拉公式中令，叫歐拉示性數(shù)說(shuō)明：（1）簡(jiǎn)單多面體的歐拉示性數(shù)（2）帶一個(gè)洞的多面體的歐拉示性數(shù)例如：長(zhǎng)方體挖去一個(gè)洞連結(jié)底面相應(yīng)頂點(diǎn)得到的多面體二、講解范例：例1 由歐拉定理證明：正多面體只有正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體這五種證明：設(shè)正多面體的每個(gè)面的邊數(shù)為，每個(gè)頂點(diǎn)連有條棱，令這個(gè)多面體的面數(shù)為，每個(gè)面有條邊，故共有條邊，由于每條邊都是兩個(gè)面的公共邊，故多面體棱數(shù) （1） 令這個(gè)多面體有個(gè)頂點(diǎn)，每一個(gè)頂點(diǎn)處有條棱，故共有條棱由于每條棱有兩個(gè)頂點(diǎn)，故多面體棱數(shù) （2）由（1）（2）得：，代入歐拉公式： （3），又，但，不能同時(shí)大于，（若，則有，即這是不可能的），中至少有一個(gè)等于令，則，同樣若可得例2歐拉定理在研究化學(xué)分子結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用：1996年諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)授予對(duì)發(fā)現(xiàn)有重大貢獻(xiàn)的三位科學(xué)家是由60個(gè)原子構(gòu)成的分子，它是形如足球的多面體這個(gè)多面體有60個(gè)頂點(diǎn)，以每一個(gè)頂點(diǎn)為一端點(diǎn)都有三條棱，面的形狀只有五邊形和六邊形，計(jì)算分子中五邊形和六邊形的數(shù)目解：設(shè)分子中有五邊形個(gè)，六邊形個(gè)分子這個(gè)多面體的頂點(diǎn)數(shù)，面數(shù)，棱數(shù)，由歐拉定理得： （1），另一方面棱數(shù)可由多邊形的邊數(shù)和來(lái)表示，得 （2），由（1）（2）得：，分子中五邊形有12個(gè)，六邊形有20個(gè)例3一個(gè)正多面體各個(gè)面的內(nèi)角和為，求它的面數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)和棱數(shù)解：由題意設(shè)每一個(gè)面的邊數(shù)為,則，,將其代入歐拉公式,得,設(shè)過(guò)每一個(gè)頂點(diǎn)的棱數(shù)為,則，得,即（1）,，,又，的可能取值為，,當(dāng)或時(shí)（1）中無(wú)整數(shù)解；當(dāng),由（1）得, , ，綜上可知:，.三、小結(jié) ：歐拉定理的應(yīng)用；會(huì)用歐拉公式解決簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)和棱數(shù)的計(jì)算問(wèn)題 四、課后作業(yè)：一個(gè)簡(jiǎn)單多面體的各面都是三角形，證明它的頂點(diǎn)數(shù)V和面數(shù)F有下面的關(guān)系：F2V4證明：，VFE2VF2F2V4設(shè)一個(gè)凸多面體有V個(gè)頂點(diǎn)，求證：它的各面多邊形的內(nèi)角和為（V-2）360解：設(shè)此多面體的上底面有V上個(gè)頂點(diǎn)，下底面有V下個(gè)頂點(diǎn)將其下底面剪掉，抻成平面圖形則V上360（V下2）180（V下2）180（V上V下2）360（V2）360有沒有棱數(shù)是7的簡(jiǎn)單多面體？說(shuō)明理由證明：VFE2，VF729多面體的頂點(diǎn)數(shù)V4，面數(shù)F4只有兩種情況V4，F(xiàn)5或V5，F(xiàn)4但是有4個(gè)頂點(diǎn)的多面體只有四個(gè)面，不可能是5個(gè)面，有四個(gè)面的多面體是四面體，也只有四個(gè)頂點(diǎn)，不可能有5個(gè)頂點(diǎn)，沒有棱數(shù)是7的簡(jiǎn)單多面體是否存在這樣的多面體，它有奇數(shù)個(gè)面，且每一個(gè)面都有奇數(shù)條邊證明：設(shè)有一個(gè)多面體，有F（奇數(shù)）個(gè)面，并且每個(gè)面的邊數(shù)也都是奇數(shù)，則但是上