甘肅省蘭州市2019年中考數(shù)學(xué)真題試題（含解析）

2019年蘭州市中考試題數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.全卷共150分，考試時(shí)間120分鐘；2.考生必須將姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、座位號(hào)等個(gè)人信息填（涂）與在答題卡上；3.考生務(wù)必將答案直接填（涂）與在答題卡的相應(yīng)位置。一、選擇題（本大題12個(gè)小題，每小題4分，共48分，每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)）1. 2019的相反數(shù)是（ ）A. B. 2019 C. 2019 D. 【答案】B【考點(diǎn)】相反數(shù)的定義.【考察能力】運(yùn)算求解能力【難度】簡(jiǎn)單【解析】（2019）20192.如圖，直線a,b被直線c所截，ab, 1800， 則2（ ）第2題圖A. 1300. B. 1200. C. 1100. D. 1000. 【答案】D【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì).【考察能力】識(shí)圖運(yùn)算能力【難度】容易【解析】1800，1的對(duì)頂角為800，又 ab, 1的對(duì)頂角和2互補(bǔ)，218008001000，答案為D3. 計(jì)算： （ ）A. . B. 2. C. 3 . D. 4 . 【答案】A【考點(diǎn)】平方根的運(yùn)算. 【考察能力】運(yùn)算求解能力【難度】簡(jiǎn)單【解析】2. 4. 剪紙是中國特有的民間藝術(shù)，在如圖所示的四個(gè)剪紙圖案中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（ ）【答案】C【考點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形【考察能力】觀察能力【難度】容易【解析】軸對(duì)稱圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，可以排除A、B，中心對(duì)稱圖形是圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)1800后與原圖形重合的圖形排除D.故選C. 5. x1是關(guān)于的一元二次方程x2+ax+2b0的解，則2a+4b（ ）A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 6. 【答案】A【考點(diǎn)】一元二次方程的解，整式運(yùn)算【考察能力】運(yùn)算求解能力【難度】簡(jiǎn)單【解析】將x1代入方程x2+ax+2b0，得a+2b1，2a+4b2（a+2b）2（1）2.故選A. 6. 如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O，若A400，則C（ ）A. 1100. B. 1200. C. 1350. D. 1400. 【答案】D【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).【考察能力】運(yùn)算求解能力和觀察識(shí)圖能力【難度】容易【解析】四邊形ABCD內(nèi)接于O，A400，故選D. 7. 化簡(jiǎn)： （ ）A. a1 . B. a+1 . C. . D. .【答案】A【考點(diǎn)】分式計(jì)算.【考察能力】運(yùn)算求解能力.【難度】簡(jiǎn)單【解析】a1 .故選A. 8.已知ABCABC, AB8，AB6， 則 （ ）A. 2 . B. . C. 3 . D. .【答案】B【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì).【考察能力】運(yùn)算求解能力.【難度】容易【解析】ABCABC, 又AB8，AB6，.故選B. 9. 九章算術(shù)是中國古代數(shù)學(xué)著作之一,書中有這樣一個(gè)問題:五只雀、六只燕共重一斤；雀重燕輕，互換其中一只，恰好一樣重.問：每只雀、燕的重量各為多少？設(shè)一只雀的重量為x斤，一只燕的重量為y斤，則可列方程為 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【考點(diǎn)】利用方程求解實(shí)際問題.【考察能力】抽象概括能力.【難度】中等【解析】根據(jù)題目條件找出等量關(guān)系并列出方程：（1）五只雀和六只燕共重一斤，列出方程:5x+6y1(2) 互換其中一只，恰好一樣重,即四只雀和一只燕的重量等于五只燕一只雀的重量，列出方程：4x+y5y+x,故選C. 10. 如圖，平面直角坐標(biāo)系xoy中，將四邊形ABCD先向下平移，再向右平移得到四邊形A1B1C1D1，已知A（3，5），B（4，3），A1（3，3）.則點(diǎn)B1坐標(biāo)為（ ）A. （1，2） B. （2，1） C. （1，4） D. （4，1）【答案】B【考點(diǎn)】圖形的平移. 【考察能力】識(shí)圖能力和計(jì)算能力【難度】簡(jiǎn)單【解析】圖形向下平移，縱坐標(biāo)發(fā)生變化，圖形向右平移，橫坐標(biāo)發(fā)生變化. A（3，5）到A1（3，3）得向右平移3（3）6個(gè)單位，向下平移532個(gè)單位.所以B（4，3）平移后B1（2，1）.故選B. 11. 已知,點(diǎn)A（1，y1），B（2，y2）在拋物線y（x+1）2 +2上，則下列結(jié)論正確的是（ ）A. 2 y1 y2 B. 2 y2 y1 C. y1 y22 D. y2 y12【答案】A【考點(diǎn)】二次函數(shù)頂點(diǎn)式以及二次函數(shù)的性質(zhì). 【考察能力】空間想象能力，運(yùn)算求解能力.【難度】較難【解析】根據(jù)二次函數(shù)頂點(diǎn)式得到函數(shù)的開口向下，對(duì)稱軸為直線x1，頂點(diǎn)坐標(biāo)（1，2 ），根據(jù)函數(shù)增減性可以得到，當(dāng)x1時(shí)，y隨x的增大而減小.因?yàn)?1 y1 y2 .故選A. 12. 如圖，邊長為的正方形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，將正方形ABCD沿直線DF折疊，點(diǎn)C落在對(duì)角線BD上的點(diǎn)E處，折痕DF交AC于點(diǎn)M,則DM（ ）A. B. C. 1 D. 1【答案】D【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì). 【考察能力】空間想象能力，推理論證能力，運(yùn)算求解能力.【難度】較難【解析】過點(diǎn)M作MPCD垂足為P，過點(diǎn)O作OQCD垂足為Q， 正方形的邊長為，OD1, OC1, OQDQ,由折疊可知，EDFCDF.又ACBD, OMPM, 設(shè)OMPMxOQCD，MPCDOQCMPC900， PCMQCO,CMPCOQ, 即， 解得x1OMPM1.故選D. 二、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題4分，共16分）13. 因式分解：a3 +2 a2+ a_.【答案】a（a+1）2【考點(diǎn)】因式分解. 【考察能力】運(yùn)算求解能力.【難度】簡(jiǎn)單【解析】a3 +2 a2+ aa（a2 +2 a+ 1）a（a+ 1）2.14. 在ABC中，ABAC, A400，則B_. 【答案】700【考點(diǎn)】等腰三角形性質(zhì). 【考察能力】空間想象能力.【難度】容易【解析】ABAC, A400， BC700.15. 如圖， 矩形OABC的頂點(diǎn)B在反比例函數(shù)y（x0）的圖象上，S矩形OABC6，則k_.【答案】6第16題圖第15題圖【考點(diǎn)】k的幾何意義. 【考察能力】數(shù)形結(jié)合.【難度】簡(jiǎn)單【解析】|k|S矩形OABC6，圖象在第一象限，k0，k6.16. 如圖， 矩形ABCD, BAC600. 以點(diǎn)A為圓心，以任意長為半徑作弧分別交AB、AC于點(diǎn)M、N兩點(diǎn)，再分別以點(diǎn)M、N 為圓心，以大于MN的長為半徑作弧交于點(diǎn)P ,作射線AP交BC于點(diǎn)E，若BE1，則矩形ABCD的面積等于_.【答案】3【考點(diǎn)】尺規(guī)作圖，矩形的性質(zhì). 【考察能力】基礎(chǔ)運(yùn)算能力，空間想象能力，推理論證能力.【難度】難.【解析】 由題可知AP是BAC的角平分線BAC600BAEEAC300AE2 BE2.ABAEB600又AEBEAC+ECAEACECA300AEEC2BC3S矩形ABCD3三、解答題（本大題共12小題，滿分86分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟） 17.（本題5分）計(jì)算：|2|（+1）0+（2）2tan450 .【答案】4【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的計(jì)算. 【考察能力】運(yùn)算求解能力.【難度】簡(jiǎn)單.【解析】解：原式21+414.18.(本題5分) 化簡(jiǎn)：a(12a)+2(a+1)(a1) 【答案】a2【考點(diǎn)】代數(shù)式的化簡(jiǎn). 【考察能力】運(yùn)算求解能力.【難度】簡(jiǎn)單.【解析】解：a(12a)+2(a+1)(a1)a2a2+2a22a2.19.（本題5分）解不等式組：【答案】2x6【考點(diǎn)】不等式組的解法. 【考察能力】計(jì)算能力.【難度】中等.【解析】 解： 由得：x2 所以原不等式組的解集為：2x6.20. （本題6分）如圖，ABDE, BFEC. BE. 求證：ACDF. 第20題圖【答案】ACDF.【考點(diǎn)】三角形的全等. 【考察能力】推理論證能力.【難度】簡(jiǎn)單.【解析】證明：BFECBF+CFEC+CFBCEF在ABC與DEF中， ABCDEF (SAS)ACBEFDACDF.21.（本題6分）2019年5月，以“尋根國學(xué)，傳承文明”為主題的蘭州市第三屆“國學(xué)少年強(qiáng)-國學(xué)知識(shí)挑戰(zhàn)賽”總決賽拉開帷幕.小明晉級(jí)了總決賽，比賽過程分兩個(gè)環(huán)節(jié)，參賽選手須在每個(gè)環(huán)節(jié)中各選擇一道題目.第一環(huán)節(jié)：寫字注音、成語故事、國學(xué)常識(shí)、成語接龍（分別用A1,A2,A3,A4表示）;第二環(huán)節(jié)：成語聽寫、詩詞對(duì)句、經(jīng)典通讀（分別用B1,B2,B3表示）.（1）請(qǐng)用樹狀圖或列表的方法表示小明參加總決賽抽取題目的所有可能的結(jié)果；（2）求小明參加總決賽抽取題目都是成語題目（成語故事、成語接龍、成語聽寫）的概率.【答案】解：（1）12種（2）.【考點(diǎn)】概率與統(tǒng)計(jì). 【考察能力】推理論證能力.【難度】簡(jiǎn)單.【解析】（1）解：二 一B1B2B3A1A1B1A1B2A1B3A2A2B1A2B2A2B3A3A3B1A3B2A3B3A4A4B1A4B2A4B3（2）小明參加總決賽抽取題目都是成語題目的概率為：P(抽取題目都是成語題目) .22.（本題7分）如圖， AC8,分別以A、C為圓心，以長度5為半徑作弧，兩弧分別相交于點(diǎn)B和D，依次連接A、B、C、D，連接BD交AC于點(diǎn)O.（1）判斷四邊形ABCD的形狀并說明理由； （2）求BD的長.【答案】（1）菱形， （2）BD6【考點(diǎn)】菱形的判定，垂直平分線的應(yīng)用. 第22題圖【考察能力】推理論證能力，運(yùn)算求解能力.【難度】中等.【解析】 證明：（1）由圖可知，BD垂直平分AC，且ABBCCDAD5, 所以四邊形ABCD是菱形. （2）AC8, BDAC且BD平分AC，OAOC4在RtAOB中，OB3,BD2 OB236BD的長為6.23. （本題7分） 如圖， 在平面直角坐標(biāo)系xoy中，反比例函數(shù)y（k0）的圖象，過等邊BOC的頂點(diǎn)B，OC2,點(diǎn)A在反比例函數(shù)圖象上，連接AC、AO. （1）求反比例函數(shù)y（k0）的表達(dá)式； （2）若四邊形ACBO的面積是3，求點(diǎn)A的坐標(biāo). 【答案】（1）y； （2）A（，2）【考點(diǎn)】反比例函數(shù)解析式，不規(guī)則圖形面積. 【考察能力】運(yùn)算求解能力，推理論證能力.【難度】中等.【解析】 解：（1） OC2, OM1, BM, 點(diǎn)B(1 ， )， k(1) （ ) ,y. （2）SACBO3， SACBOSAOC+ SBOCSBOCOC2,+ SAOC3，SAOC2.OC2OCAN2AN2設(shè)A（t，2）2ttA（，2）.24. （本題7分）為了解某校八年級(jí)學(xué)生一門課程的學(xué)習(xí)情況，小佳和小麗分別對(duì)八年級(jí)1班和2班本門課程的期末成績進(jìn)行了調(diào)查分析.小佳對(duì)八年級(jí)1班全班學(xué)生（25名）的成績進(jìn)行分析，過程如下：表一分?jǐn)?shù)段 班級(jí)60x7070x8080x9090x100八年級(jí)1班75103表三表二 小麗用同樣的方式對(duì)八年級(jí)2班全班學(xué)生（25名）的成績進(jìn)行分析，數(shù)據(jù)如下： 分?jǐn)?shù)段 班級(jí)平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)極差方差八年級(jí)1班788536105.28 分?jǐn)?shù)段 班級(jí)平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)極差方差八年級(jí)2班75767344146.80根據(jù)以上信息，解決下列問題：（1）已知八年級(jí)1班學(xué)生的成績處在80x90這一組的數(shù)據(jù)如下： 85，87，88，80，82，85，83，85，87，85.根據(jù)上述數(shù)據(jù)，將表二補(bǔ)充完整；（2）你認(rèn)為哪個(gè)班級(jí)的成績更為優(yōu)異？請(qǐng)說明理由.【答案】（1）80 （2）八年級(jí)1班更為優(yōu)異.【考點(diǎn)】統(tǒng)計(jì)，數(shù)據(jù)的集中程度和離散程度. 【考察能力】運(yùn)算求解能力，數(shù)據(jù)處理能力.【難度】中等.【解析】 （1）表二（2）八年級(jí)1班更為優(yōu)異.理由如下：可以從平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差等角度分析，理由合理即可. 分?jǐn)?shù)段 班級(jí)平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)極差方差八年級(jí)1班78808536105.28 25 （本題7分）某數(shù)學(xué)課題研究小組針對(duì)蘭州市住房“如何設(shè)計(jì)遮陽篷”這一課題進(jìn)行了探究.過程如下：?jiǎn)栴}提出：如圖1是某住戶上方安裝的遮陽蓬，要求設(shè)計(jì)的遮陽篷既能最大限度地遮擋夏天炎熱的陽光，又能最大限度地使冬天溫暖的陽光射入室內(nèi).方案設(shè)計(jì)：如圖2，該數(shù)學(xué)課題研究小組通過調(diào)查研究設(shè)計(jì)了垂直了墻面AC的遮陽篷CD.數(shù)據(jù)收集：通過查閱相關(guān)資料和實(shí)際測(cè)量：蘭州市一年中，夏至這一天的正午時(shí)刻，太陽光線DA與遮陽篷CD的夾角ADC最大（ADC77.440）；冬至這一天的正午時(shí)刻，太陽光線DB與遮陽篷CD的夾角BDC最?。˙DC30.560）；窗戶的高度AB2m.問題解決：根據(jù)上述方案及數(shù)據(jù)，求遮陽篷CD的長.（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin30.5600.51, cos30.5600.86, tan30.5600.59, Sin77.4400.98, cos77.4400.22, tan77.4404.49）.【答案】0.5m【考點(diǎn)】三角函數(shù)及其應(yīng)用. 【考察能力】運(yùn)算求解能力，實(shí)際應(yīng)用能力.【難度】中等【解析：在RtBCD中，BCD900，BDC30.560，tanBDC,BCCDtanBDC,在RtACD中，ACD900，ADC77.440，tanADC,ACCDtanADC,ACBCAB,CDtanADCCDtanBDC2即 CDtan77.440CDtan30.5602（4.490.59）CD2CD0.5答：遮陽篷CD長為0.5m.26.（本題9分）如圖，在ABC中，ABAC6cm,BC8cm,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，BEDE.將BDE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a度（00a830）.角的兩邊分別交直線AB于M、N兩點(diǎn).設(shè)B、M兩點(diǎn)間的距離為xcm，M、N兩點(diǎn)間的距離為ycm.小濤根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究，下面是小濤的探究過程.請(qǐng)補(bǔ)充完整. （1）列表：下表的已知數(shù)據(jù)是根據(jù)B、M兩點(diǎn)間的距離x進(jìn)行取點(diǎn)、畫圖、測(cè)量，分別得到了y與x的幾組對(duì)應(yīng)值：x/cm00.300.501.001.502.002.503.003.503.683.813.903.934.10y/cm2.882.812.692.672.803.153.855.246.016.717.277.418.87請(qǐng)你通過計(jì)算，補(bǔ)全表格. （2）描點(diǎn)、連線：在平面直角坐標(biāo)系xoy中，描出表中各組數(shù)值所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（x，y）.并畫出函數(shù)y關(guān)于x的圖象：（3）探究性質(zhì)：隨著自變量x的不斷增大，函數(shù)y的變化趨勢(shì)_.(4)解決問題：當(dāng)MN2BM時(shí)，BM的長度大約是_cm（保留兩位小數(shù)）.【答案】（1）x/cm00.300.501.001.502.002.503.003.503.683.813.903.934.10y/cm32.882.812.692.672.803.153.855.246.016.717.277.418.87 （2）圖略（描點(diǎn)可得） （3）隨著自變量x的不斷增大，函數(shù)y呈現(xiàn)先減小再增大的趨勢(shì).（4）4和1.33【考點(diǎn)】函數(shù)圖象性質(zhì)，三角形相似.【考察能力】數(shù)據(jù)處理分析能力【難度】難【解析】 （1）當(dāng)x0時(shí)，M點(diǎn)與N點(diǎn)分別和B點(diǎn)E點(diǎn)重合 MNBE3 當(dāng)x時(shí)，假設(shè)DN交CA的延長線于點(diǎn)H ABAC,BC,又D為BC的中點(diǎn)， BEDE.BEDB, ED為AC邊的中位線根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)BEDBCMDN,NDBH+C(外角性質(zhì))NDBMDB+MDN,MDB+MDNH+CMDBH, BC,MDBDHC, CH6AC 即A點(diǎn)與H點(diǎn)重合MN6BM. (2)根據(jù)表格描點(diǎn)可得. （3）根據(jù)圖象可得 （4）MN2BM設(shè)BMx，MN2x，EN3x3 ， AN63x，NDBH+C(外角性質(zhì))NDBMDB+MDN,MDB+MDNH+CMDBH, BC,MDBDHC, CH， HAHCAC6又HANDEN, 解得： x14， x21.33答：BM為4或1.33.主要學(xué)習(xí)通過對(duì)下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決第27題、第28題【模型呈現(xiàn)】如右圖，在RtABC中，ACB900,將斜邊AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)900得到AD，過點(diǎn)D作DEAC于點(diǎn)E，可以推理得到ABCDAE,進(jìn)而得到ACDE, BCAE.我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱為“K型”推理過程如下：【模型應(yīng)用】27.（本題10分）如圖，RtABC內(nèi)接于O，ACB900, BC2.將斜邊AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度得到AD，過點(diǎn)D作DEAC于點(diǎn)E，DAEABC, DE1,連接DO交O于點(diǎn)F. （1）求證：AD是O的切線； （2）連接FC交AB于點(diǎn)G，連接FB， 求證：FG2GOGB. 【答案】答案見解析【考點(diǎn)】三角形相似，圓切線證明.【考察能力】推理論證能力，運(yùn)算求解能力【難度】較難【解析】 （1）證明：DAEABC 且ABC+CAB900,EAD+CAB900,DAB900,AO為O的半徑，AD是O的切線. （2）證明：由（1）知DAB900, AC1， BC2 AB,由模型可知，AEDBCA, AD,AO, DO, ,AEDDAOEADADO AEDOACFCFOABFFGOBGF,FGOBGFFG2GOGB.28.(本題12分)二次函數(shù)yax2+bx+2的圖象交x軸于點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（4，0）