湖南省醴陵二中、醴陵四中學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中聯(lián)考試題文 (3)

湖南省醴陵二中、醴陵四中2018-2019學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題一、選擇題（本大題共12小題，共60.0分）1.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)，所對應(yīng)的點在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限【答案】B【解析】【分析】計算復(fù)數(shù)，求出它的代數(shù)形式，看它的實部和虛部的正負(fù)，即可判定所對應(yīng)的點在第幾象限【詳解】解：，因為，故所對應(yīng)的點在第二象限故選：B【點睛】本題考查復(fù)數(shù)幾何意義，考查基本求解能力，是基礎(chǔ)題2.如圖是導(dǎo)函數(shù)的圖象，那么函數(shù)在下面哪個區(qū)間是減函數(shù)（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可得到結(jié)論【詳解】解：若函數(shù)單調(diào)遞減，則， 由圖象可知，時， 故選：B【點睛】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵3.有一段“三段論”推理是這樣的：對于可導(dǎo)函數(shù)，如果，那么是函數(shù)的極值點，因為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值，所以，是函數(shù)的極值點以上推理中（）A. 大前提錯誤B. 小前提錯誤C. 推理形式錯誤D. 結(jié)論正確【答案】A【解析】【分析】使用三段論推理證明，我們分析出“對于可導(dǎo)函數(shù)，若，且滿足當(dāng)和時導(dǎo)函數(shù)值異號時，此時才是函數(shù)的極值點”，得出答案.【詳解】對于可導(dǎo)函數(shù)，若，且滿足當(dāng)和時導(dǎo)函數(shù)值異號時，此時才是函數(shù)的極值點，所以大前提錯誤故選A【點睛】本題主要考查了三段論以及命題的真假，屬于基礎(chǔ)題.4.9件產(chǎn)品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，現(xiàn)在要從中抽出4件產(chǎn)品來檢查，至少有兩件一等品的抽取方法是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】試題分析：有兩件一等品的種數(shù)，有三件一等品的種數(shù)，有四件一等品的種數(shù), 所以至少有兩件一等品的種數(shù)是，故選D考點：組合的應(yīng)用5.的展開式中，含的項的系數(shù)（）A. B. 121C. D. 【答案】A【解析】【分析】由題意利用二項展開式的通項公式，求得含的項的系數(shù)【詳解】解：的展開式中，含的項的系數(shù)為，故選：A【點睛】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題6.函數(shù)在處有極值10，則點為（）A. B. C. 或D. 不存在【答案】B【解析】試題分析：，則，解得或，當(dāng)時，此時在定義域上為增函數(shù)，無極值，舍去.當(dāng),為極小值點,符合,故選A.考點：1.用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；2.函數(shù)在某一點取極值的條件.【易錯點睛】本題主要考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問題，要求掌握可導(dǎo)函數(shù)取得有極值的條件，是函數(shù)取得極值的必要不充分條件.求解之后要注意檢驗，本題中，當(dāng)時，此時在定義域上為增函數(shù)，無極值，不符合題意，舍去.本題容易錯選A，認(rèn)為兩組解都符合，一定要注意檢驗.7.隨機變量服從二項分布，且，則等于（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】，解得，選B.8.，則（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】先利用積分定理即可求出用表示的定積分，再列出等式即可求得值【詳解】解： 由題意得：， 故選：A【點睛】本小題主要考查直定積分的簡單應(yīng)用、定積分、利用導(dǎo)數(shù)研究原函數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力屬于基礎(chǔ)題9.函數(shù)，若函數(shù)在上有3個零點，則的取值范圍為（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】將函數(shù)零點，可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象交點，通過求解函數(shù)的單調(diào)性與極值，結(jié)合研究出函數(shù)的圖象的特征，由圖象求出的取值范圍即可【詳解】解：函數(shù)在上有3個零點，即函數(shù)，與兩個函數(shù)的圖象有三個交點，下研究函數(shù)圖形的性質(zhì)：由題意，令解得或，又，故在與上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，時，函數(shù)值對應(yīng)為2，9，9，其圖象如圖，可得，故選：D【點睛】本題考查根的存在性及根的個數(shù)的判斷，正確解答本題，關(guān)鍵是將函數(shù)有零點的問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)有交點的問題，此轉(zhuǎn)化的好處是轉(zhuǎn)化后的兩個函數(shù)的中有一個函數(shù)是確定的，實現(xiàn)了由不定到定的轉(zhuǎn)化變，方便了研究問題，即求參數(shù)的范圍熟練利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性也是解本題的關(guān)鍵，10.從5名志愿者中選出4人分別到、四個部門工作，其中甲、乙兩名志愿者不能到、二個部門工作，其他三人能到四個部門工作，則選派方案共有（）A. 120種B. 24種C. 18種D. 36種【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，分兩種情況討論：、甲、乙中只有1人被選中，、甲、乙兩人都被選中，根據(jù)分類計數(shù)原理可得【詳解】解：根據(jù)題意，分兩種情況討論： 、甲、乙中只有1人被選中，需要從甲、乙中選出1人，到，中的一個部門，其他三人到剩余的部門，有種選派方案 、甲、乙兩人都被選中，安排到，部門，從其他三人中選出2人，到剩余的部門，有種選派方案， 綜上可得，共有24+12=36中不同的選派方案， 故選：D【點睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及分類加法原理的應(yīng)用，屬于中檔題11.曲線，和直線圍成的圖形面積是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】試題分析：根據(jù)題意畫出區(qū)域，作圖如下，由解得交點為（0，1），所求面積為：考點：定積分及其應(yīng)用12.已知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，那么（）A. 有最大值B. 有最大值C. 有最小值D. 有最小值【答案】B【解析】試題分析：因為，所以，要使在區(qū)間1,2上是減函數(shù)，需要且，畫出可行域，再畫出目標(biāo)函數(shù) ，可以得出有最大值.考點：本小題主要考查導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，及由線性規(guī)劃知識求的取值范圍.點評：要解決此類問題，需要掌握函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，此類題目中區(qū)間1,2是減區(qū)間的子區(qū)間，而不一定是整個減區(qū)間，要看清題目.二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.隨機變量服從正態(tài)分布，若，則_【答案】0.6【解析】【分析】根據(jù)隨機變量服從正態(tài)分布，知正態(tài)曲線對稱軸是，且，依據(jù)正態(tài)分布對稱性，即可求得答案【詳解】解：根據(jù)隨機變量服從正態(tài)分布，知正態(tài)曲線對稱軸是， 利用正態(tài)分布的對稱性可得， 所以 故答案為：0.6【點睛】本題主要考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義、函數(shù)圖象對稱性的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題14.曲線上的點到直線的最短距離是_【答案】【解析】曲線y=ln(2x1)，y=,分析知直線2xy+8=0與曲線y=ln(2x1)相切的點到直線2xy+8=0的距離最短y=2,解得x=1,把x=1代入y=ln(2x1)，y=0,點(1,0)到直線2xy+8=0的距離最短，d=，故答案為：.15.一同學(xué)在電腦中打出如下圖形（表示空心圓，表示實心圓）若將此若干個圓依此規(guī)律繼續(xù)下去，得到一系列的圓，那么前2019個圓中有實心圓的個數(shù)為_【答案】62【解析】【分析】依次解出空心圓個數(shù)，時對應(yīng)圓的總個數(shù)再根據(jù)規(guī)律求結(jié)果【詳解】解：時，圓的總個數(shù)是2； 時，圓的總個數(shù)是5，即； 時，圓的總個數(shù)是9，即； 時，圓總個數(shù)是14，即； ； 時，圓的總個數(shù)是 ， ， 在前2019個圓中，共有62個實心圓 故答案為：62【點睛】本題主要考查歸納推理，解答關(guān)鍵是從圓的個數(shù)的變化規(guī)律中尋求規(guī)律，后建立數(shù)列模型解決問題16.甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球。先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以和表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是_（寫出所有正確結(jié)論的編號）。；事件與事件相互獨立；是兩兩互斥的事件；的值不能確定，因為它與中空間哪一個發(fā)生有關(guān)【答案】【解析】試題分析：；因為，所以事件B與事件A1不獨立；A1，A2，A3是兩兩互斥的事件；綜上選考點：互斥事件，事件獨立三、解答題（本大題共7小題，共75.0分）17.已知數(shù)列滿足，（1）分別求，的值（2）猜想的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明【答案】（1） ； （2）見解析.【解析】【分析】(1)通過賦值法得到相應(yīng)的數(shù)值；（2）由數(shù)學(xué)歸納法猜想證明.【詳解】(1），(2）猜想當(dāng)n=1時命題顯然成立 假設(shè)命題成立，即當(dāng)時，時命題成立綜合，當(dāng)時命題成立【點睛】這個題目考查了數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)列通項中的應(yīng)用，注意數(shù)學(xué)歸納法，是先驗證n=1成立，再假設(shè)n=k成立，推導(dǎo)n=k+1時，必需要用到之前的假設(shè).18.用0，1，2，3，4這五個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)（）在組成的三位數(shù)中，求所有偶數(shù)的個數(shù)；（）在組成的三位數(shù)中，如果十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字和個位上的數(shù)字都小，則稱這個數(shù)為“凹數(shù)”，如301，423等都是“凹數(shù)”，試求“凹數(shù)”的個數(shù)；（）在組成的五位數(shù)中，求恰有一個偶數(shù)數(shù)字夾在兩個奇數(shù)數(shù)字之間的自然數(shù)的個數(shù)【答案】（）共有30個符合題意的三位偶數(shù)。（）共有20個符合題意“凹數(shù)（）共有28個符合題意的五位數(shù)【解析】試題分析：在正自然數(shù)中，零不能處在最高位，（1）偶數(shù)個位數(shù)為偶數(shù)，所以只能為0，2，4，根據(jù)排列公式求出偶數(shù)個數(shù)即可；（2）由題意可知十位數(shù)可為0，1，2，分別從剩余的數(shù)字中取兩個進行排列；（3）5個數(shù)字中只有兩個奇數(shù)，所以可將1，3以及夾在中間的偶數(shù)看作整體，并與剩余的兩個偶數(shù)進行排列計算試題解析：（1）將所有的三位偶數(shù)分為兩類：（i）若個位數(shù)為，則共有（個）；（ii）若個位數(shù)為或，則共有（個），所以，共有個符合題意的三位偶數(shù)（2）將這些“凹數(shù)”分為三類：（i）若十位數(shù)字為，則共有（個）；（ii）若十位數(shù)字為，則共有（個）；（iii）若十位數(shù)字為，則共有（個），所以，共有個符合題意的“凹數(shù)”（3）將符合題意的五位數(shù)分為三類：（i）若兩個奇數(shù)數(shù)字在一、三位置，則共有（個）；（ii）若兩個奇數(shù)數(shù)字在二、四位置，則共有（個）；（iii）若兩個奇數(shù)數(shù)字在三、五位置，則共有（個），所以，共有個符合題意的五位數(shù)考點：排列的運用.19.在某校組織的高二女子排球比賽中，有、兩個球隊進入決賽，決賽采用7局4勝制假設(shè)、兩隊在每場比賽中獲勝的概率都是并記需要比賽的場數(shù)為（）求大于4的概率；（）求的分布列與數(shù)學(xué)期望【答案】（）（）見解析【解析】【分析】（）依題意可知，的可能取值最小為4當(dāng)時，整個比賽只需比賽4場即結(jié)束，這意味著連勝4場，或連勝4場，于是，由對立事件的概率計算公式，可得的概率為（）的可能取值為4，5，6，7，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可【詳解】解：（）依題意可知，的可能取值最小為4當(dāng)時，整個比賽只需比賽4場即結(jié)束，這意味著連勝4場，或連勝4場，于是，由互斥事件的概率計算公式，可得即的概率為 （）的可能取值為4，5，6，7，可得，的分布列為：4567的數(shù)學(xué)期望為：【點睛】本題考查離散型隨機變量的分布列以及期望的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力20.已知函數(shù)（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求曲線在點處的切線方程；（3）求證：對任意的正數(shù)與，恒有【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間 ，單調(diào)減區(qū)間；（2）；（3）見解析.【解析】試題分析：（1）單調(diào)增區(qū)間 ，單調(diào)減區(qū)間；（2）切線方程為 ；（3）所證不等式等價為，由（1）可知，所以成立。試題解析：（1）單調(diào)增區(qū)間 ，單調(diào)減區(qū)間（2）切線方程為 （3）所證不等式等價為而，設(shè)則，由（1）結(jié)論可得，由此，所以即，記代入得證.點睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用。在證明，等價證明，利用減元思想，記，構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)得到，即，得證。21.在一塊耕地上種植一種作物，每季種植成本為1000元，此作物的市場價格和這塊地上的產(chǎn)量均具有隨機性，且互不影響，其具體情況如下表：作物產(chǎn)量(kg)300500概率0.50.5作物市場價格(元/kg)610概率0.40.6（1）設(shè)X表示在這塊地上種植1季此作物的利潤，求X的分布列；（2）若在這塊地上連續(xù)3季種植此作物，求這3季中至少有2季的利潤不少于2000元的概率【答案】（1）的分布列為X40002000800P030502 （2）【解析】試題分析：（1）根據(jù)條件中的表格可知，作物產(chǎn)量與市場價的可能的組合總共有四種情況：產(chǎn)量，市場價元；產(chǎn)量，市場價元；產(chǎn)量，市場價元；產(chǎn)量，市場價元；因此作物的利潤的計算也應(yīng)分四種情況進行計算：，若設(shè)表示事件“作物產(chǎn)量為”，表示事件“作物市場價格為元”，則取到各個值的概率為：，即可知的分布列；（2）由（1）可知，事件等價于事件或，因此，而所求事件的概率等價于季的利潤都不少于元或季當(dāng)中有季利潤不少于元，根據(jù)二項分布的相關(guān)內(nèi)容，可知所求概率為試題解析：（1）設(shè)表示事件“作物產(chǎn)量為”，表示事件“作物市場價格為元/kg”，由題設(shè)知，（注：基本事件敘述各1分）2分利潤產(chǎn)量市場價格成本，所有可能的取值為：， 4分，的分布列為X40002000800P030502 （2）設(shè)表示事件“第季利潤不少于元”， 8分由題意知，相互獨立，由（1）知，這季中至少有季的利潤不少于元的概率為 12分考點：1相互獨立事件的概率乘法公式；2離散型隨機變量及其分布列22.已知函數(shù).（）討論的單調(diào)性；（）若有兩個零點，求的取值范圍.【答案】（）見解析；（）.【解析】試題分析：（）先求得再根據(jù)1,0,2a的大小進行分類確定的單調(diào)性；（）借助第（）問的結(jié)論,通過分類討論函數(shù)的單調(diào)性,確定零點個數(shù),從而可得a的取值范圍為.試題解析：（）（）設(shè)，則當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以f（x）在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（）設(shè)，由得x=1或x=ln（-2a）.若，則，所以在單調(diào)遞增.若，則ln（-2a）1,故當(dāng)時，；當(dāng)時，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.若，則，故當(dāng)時，當(dāng)時，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（）（）設(shè)，則由（）知，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.又，取b滿足b0