河北衡水中學高三數(shù)學六調(diào)考試理

20182019學年度第二學期高三年級六調(diào)考試理科數(shù)學試卷一、選擇題（每小題5分，共60分.下列每小題所給選項只有一項符合題意，請將正確答案的序號填涂在答題卡上）1.已知，為虛數(shù)單位，且，則的值為（ ）A. 4B. C. -4D. 【答案】C【解析】試題分析：根據(jù)復數(shù)相等的概念可知，故選C考點：本題考查了復數(shù)的運算點評：熟練掌握復數(shù)的概念及運算法則是解決此類問題的關鍵，屬基礎題2.已知集合，則下列結論中正確的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】試題分析：由得，故，選項為C.考點：集合間的關系.【此處有視頻，請去附件查看】3.已知的面積為2，在所在的平面內(nèi)有兩點、，滿足，則的面積為（ ）A. B. C. D. 1【答案】C【解析】【分析】畫出ABC，通過，2，標出滿足題意的P、Q位置，利用三角形的面積公式求解即可【詳解】由題意可知，P為AC的中點，2，可知Q為AB的一個三等分點，如圖：因為SABC2所以SAPQ故選：B【點睛】本題考查向量在幾何中的應用，三角形的面積的求法，考查轉化思想與計算能力4.如圖，一個空間幾何體的正視圖、側視圖都是面積為，一個內(nèi)角為60的菱形，俯視圖為正方形，那么這個幾何體的表面積為（ ）A. B. C. 8D. 4【答案】D【解析】試題分析：因為一個空間幾何體的正視圖、側視圖都是面積為，且一個內(nèi)角為的菱形，所以菱形的邊長為，由三視圖可得，幾何體是由兩個底面正方形的正四棱錐組合而成，底面邊長為，側棱長為，所以幾何體的表面積為：，故選D考點：1、三視圖；2、多面體的表面積【此處有視頻，請去附件查看】5.七巧板是我國古代勞動人民的發(fā)明之一，被譽為“東方模板”，它是由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的.如圖所示的是一個用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一點，則此點取自黑色部分的概率為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】將右下角黑色三角形進行移動，可得黑色部分面積等于一個等腰直角三角形加一個直角梯形的面積之和，求解出面積再根據(jù)幾何概型公式求得結果.【詳解】設正方形的邊長為則處面積和右下角黑色區(qū)域面積相同故黑色部分可拆分成一個等腰直角三角形和一個直角梯形等腰直角三角形面積為：直角梯形面積為：黑色部分面積為：則所求概率為：本題正確選項：【點睛】本題考查幾何概型中的面積類問題，屬于基礎題.6.定義運算：，將函數(shù)的圖像向左平移 個單位，所得圖像對應的函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】試題分析：，將函數(shù)化為再向左平移（）個單位即為:又為偶函數(shù),由三角函數(shù)圖象的性質可得,即時函數(shù)值為最大或最小值,即或,所以,即,又,所以的最小值是.考點：對定義的理解能力,三角函數(shù)恒等變性, 三角函數(shù)圖象及性質.7.已知，則下列選項正確的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由，則a，b，c的大小比較可以轉化為的大小比較設f（x），則f（x），根據(jù)對數(shù)的運算性質，導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性，即可比較【詳解】，60，a，b，c的大小比較可以轉化為的大小比較設f（x），則f（x），當xe時，f（x）0，當xe時，f（x）0，當0xe時，f（x）0f（x）在（e，+）上，f（x）單調(diào)遞減，e34，bca，故選：D【點睛】本題考查了不等式的大小比較，導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性，屬于難題8.雙曲線的左右焦點分別為，且恰為拋物線的焦點，設雙曲線與該拋物線的一個交點為，若是以為底邊的等腰三角形，則雙曲線的離心率為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】試題分析：，焦點為，即，即，則，即，考點：拋物線的標準方程及幾何性質9.如圖，利用斜二側畫法得到水平放置的的直觀圖，其中軸，軸.若，設的面積為，的面積為，記，執(zhí)行如圖的框圖，則輸出的值A. 12B. 10C. 9D. 6【答案】A【解析】【分析】由斜二側畫法的畫圖法則，結合已知可求出S及k值，模擬程序的運行過程，分析變量T的值與S值的關系，可得答案【詳解】在直觀圖ABC中，ABBC3，SABBCsin45由斜二側畫法的畫圖法則，可得在ABC中，AB6BC3，且ABBCSABBC9則由SkS得k2，則TT（m1）T2（m1）故執(zhí)行循環(huán)前，S9，k2，T0，m1，滿足進行循環(huán)的條件，執(zhí)行循環(huán)體后，T0，m2當T0，m2時，滿足進行循環(huán)的條件，執(zhí)行循環(huán)體后，T2，m3當T2，m3時，滿足進行循環(huán)的條件，執(zhí)行循環(huán)體后，T6，m4當T6，m4時，滿足進行循環(huán)的條件，執(zhí)行循環(huán)體后，T12，m5當T12，m5時，不滿足進行循環(huán)的條件，退出循環(huán)后，T12，故輸出的結果為12故選：A【點睛】根據(jù)流程圖（或偽代碼）寫程序的運行結果，是算法這一模塊最重要的題型，其處理方法是：分析流程圖（或偽代碼），從流程圖（或偽代碼）中即要分析出計算的類型，又要分析出參與計算的數(shù)據(jù)（如果參與運算的數(shù)據(jù)比較多，也可使用表格對數(shù)據(jù)進行分析管理）建立數(shù)學模型，根據(jù)第一步分析的結果，選擇恰當?shù)臄?shù)學模型解模10.如下圖，第（1）個多邊形是由正三角形“擴展“而來，第（2）個多邊形是由正方形“擴展”而來，如此類推.設由正邊形“擴展”而來的多邊形的邊數(shù)為，則（ ）A. ；B. ；C. ；D. 【答案】A【解析】，猜想,故選A.11.過橢圓上一點作圓的兩條切線，點，為切點，過，的直線與軸，軸分別交于點，兩點，則的面積的最小值為（ ）A. B. C. 1D. 【答案】B【解析】試題分析：點在橢圓上，設，過橢圓上一點作圓的兩條切線，點為切點，則以O為圓心，以|AM|為半徑的圓的方程為又圓的方程為-得，直線AB的方程為：過A，B的直線l與x軸，y軸分別交于點P，Q兩點，P，Q，POQ面積，-1sin21，當sin2=1時，POQ面積取最小值考點：圓與圓錐曲線的綜合12.若函數(shù)在其圖象上存在不同的兩點，其坐標滿足條件： 的最大值為0，則稱為“柯西函數(shù)”，則下列函數(shù)： ：:.其中為“柯西函數(shù)”的個數(shù)為（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】由柯西不等式得對任意的實數(shù)都有0，當且僅當時取等，此時即A,O,B三點共線，結合“柯西函數(shù)”定義可知，f(x)是柯西函數(shù)f(x)的圖像上存在兩點A與B，使得A,O,B三點共線過原點直線與f(x)有兩個交點.再利用柯西函數(shù)的定義逐個分析推理得解.【詳解】由柯西不等式得對任意的實數(shù)都有0，當且僅當時取等，此時即A,O,B三點共線，結合“柯西函數(shù)”定義可知，f(x)是柯西函數(shù)f(x)的圖像上存在兩點A與B，使得A,O,B三點共線過原點直線與f(x)有兩個交點.,畫出f(x)在x0時，圖像若f(x)與直線y=kx有兩個交點，則必有k2，此時，所以（x0），此時僅有一個交點，所以不是柯西函數(shù)；，曲線過原點的切線為，又（e,1）不是f(x)圖像上的點，故f(x)圖像上不存在兩點A,B與O共線，所以函數(shù)不是；顯然都是柯西函數(shù).故選：B【點睛】本題主要考查柯西不等式，考查學生對新概念理解和應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空題（每題5分，共20分.把答案填在答題紙的橫線上）13.若等比數(shù)列的第5項是二項式展開式的常數(shù)項，則_【答案】【解析】，則其常數(shù)項為，所以，則14.已知在平面直角坐標系中，動點滿足不等式，則的最大值為_.【答案】4【解析】試題分析：，又故本例轉化為在線性約束條件下，求線性目標函數(shù)的最大值問題.可作出如右圖的可行域，顯然在點時為最優(yōu)解.即考點：線性規(guī)劃.15.已知數(shù)列的前項和為，且，則使不等式成立的的最大值為_.【答案】4【解析】試題分析：當時，得，當時，所以，所以，又因為適合上式，所以，所以，所以數(shù)列是以為首項，以4為公比的等比數(shù)列，所以，所以，即，易知的最大值為4.考點：1.等比數(shù)列的求和公式；2.數(shù)列的通項公式.16.若四面體的三組對棱分別相等，即，則_.（寫出所有正確結論的編號）四面體每個面的面積相等四面體每組對棱相互垂直連接四面體每組對棱中點的線段相互垂直平分從四面體每個頂點出發(fā)的三條棱的長都可以作為一個三角形的三邊長【答案】【解析】【分析】由對棱相等知四面體為長方體的面對角線組成的三棱錐，借助長方體的性質判斷各結論是否正確即可【詳解】由題意可知四面體ABCD為長方體的面對角線組成的三棱錐，如圖所示；由四面體的對棱相等可知四面體的各個面全等，它們的面積相等，則正確；當四面體棱長都相等時，四面體的每組對棱互相垂直，則錯誤；由長方體的性質可知四面體的對棱中點連線必經(jīng)過長方體的中心，由對稱性知連接四面體ABCD每組對棱中點的線段相互垂直平分，則正確；由，可得過四面體任意一點的三條棱的長為的三邊長，則正確故答案為：【點睛】本題考查了棱錐的結構特征與命題真假的判斷問題，解題的關鍵是把三棱錐放入長方體中，屬于難題三、解答題（本大題共6小題，共62分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟，寫在答題紙的相應位置）17.設的三內(nèi)角、的對邊長分別為、，已知、成等比數(shù)列，且.（I）求角的大??；（）設向量，當取最小值時，判斷的形狀.【答案】（I）；（）為銳角三角形.【解析】【分析】（）根據(jù)正弦定理和等比數(shù)列的關系建立方程關系即可求角B的大小；（）根據(jù)向量的數(shù)量積公式進行計算，然后利用三角函數(shù)的圖象和性質即可判斷三角形的形狀【詳解】（I）因為、成等比數(shù)列，則.由正弦定理得.又，所以因為，則.因為，所以或.又，則，當且僅當a=c等號成立，即故.（）因為，所以.所以當時，取得最小值.此時，于是.又，從而為銳角三角形.點睛】本題主要考查三角形的形狀的判斷，利用正弦定理和三角函數(shù)的公式是解決本題的關鍵，考查學生的運算能力18.在四棱錐中，平面，是正三角形，與的交點恰好是中點，又，.（1）求證：；（2）設為的中點，點在線段上，若直線平面，求的長；（3）求二面角的余弦值.【答案】（1）見解析；（2）1；（3）.【解析】【分析】（1）利用線面垂直的判定定理，證明BD平面PAC，可得BDPC；（2）取DC中點G，連接FG，證明平面EFG平面PAD，可得FG平面PAD，證明三角形AMF為直角三角形，即可求AF的長；（3）建立空間直角坐標系，求出平面PAC、平面PBC的法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角APCB的余弦值【詳解】（1）是正三角形，是中點，即.又平面，.又，平面. （2）取中點，連接，則平面，又直線平面，EGEF=E所以平面平面，所以 為中點，.，則三角形AMF為直角三角形，又，故（3）分別以，為軸，軸，軸建立如圖的空間直角坐標系，.為平面的法向量.，.設平面的一個法向量為，則，即，令，得，則平面的一個法向量為，設二面角的大小為，則.所以二面角余弦值為.【點睛】本題考查線面垂直的判定定理與性質，考查二面角，考查學生分析解決問題的能力，考查向量法的運用，確定平面的法向量是關鍵19.在一次高三年級統(tǒng)一考試中，數(shù)學試卷有一道滿分10分選做題，學生可以從，兩道題目中任選一題作答.某校有900名高三學生參加了本次考試，為了了解該校學生解答該選做題的得分情況，計劃從900名考生的選做題成績中隨機抽取一個容量為10的樣本，為此將900名考生選做題的成績按照隨機順序依次編號為001一900.（1）若采用隨機數(shù)表法抽樣，并按照以下隨機數(shù)表，以方框內(nèi)的數(shù)字5為起點，從左向右依次讀取數(shù)據(jù)，每次讀取三位隨機數(shù)，一行讀數(shù)用完之后接下一行左端.寫出樣本編號的中位數(shù)；（2）若采用系統(tǒng)抽樣法抽樣，且樣本中最小編號為08，求樣本中所有編號之和：（3）若采用分層軸樣，按照學生選擇題目或題目，將成績分為兩層，且樣本中題目的成績有8個，平均數(shù)為7，方差為4：樣本中題目的成績有2個，平均數(shù)為8，方差為1.用樣本估計900名考生選做題得分的平均數(shù)與方差.【答案】（1）667（2）4130（3）平均數(shù)為7.2，方差為3.56【解析】【分析】（1）由題取出十個編號，先將編號從小到大排列再求中位數(shù)（2）按照系統(tǒng)抽樣法，抽出的編號可組成以8為首項，以90為公差的等差數(shù)列，求該數(shù)列的前10項和。（3）分別求出樣本的平均數(shù)和方差，900名考生選做題得分的平均數(shù)與方差和樣本的平均數(shù)與方差相等。【詳解】解：（1）根據(jù)題意，讀出的編號依次是：512，916（超界），935（超界），805，770，951（超界），512（重復），687，858，554，876，647，547，332.將有效的編號從小到大排列，得332，512，547，554，647，687，770，805，858，876，故中位數(shù)為.（2）由題易知，按照系統(tǒng)抽樣法，抽出的編號可組成以8為首項，以90為公差的等差數(shù)列，故樣本編號之和即為該數(shù)列的前10項之和.（3）記樣本中8個題目成績分別為，2個題目成績分別為，由題意可知，故樣本平均數(shù)為.樣本方差為 .故估計該校900名考生該選做題得分的平均數(shù)為7.2，方差為3.56.【點睛】采用隨機數(shù)表法抽樣時需先將樣本編號，且要注意號碼位數(shù)相同，然后由隨機數(shù)表讀數(shù)，在樣本號碼范圍內(nèi)的取出，不在的舍掉。系統(tǒng)抽樣法需先將樣本編號，然后分組，抽取的號碼數(shù)構成等差數(shù)列。20.已知橢圓 的左，右焦點，上頂點為，為橢圓上任意一點，且的面積最大值為.（）求橢圓的標準方程；（）若點.為橢圓上的兩個不同的動點，且（為坐標原點），則是否存在常數(shù)，使得點到直線的距離為定值？若存在，求出常數(shù)和這個定值；若不存在，請說明理由.【答案】() ；() 時，【解析】【分析】（）結合題目條件得，再由條件的面積最大值為得，結合，聯(lián)立方程組即可求出，從而得到橢圓方程.（）當直線斜率存在時，設出直線方程，求出原點到直線的距離，再聯(lián)立直線方程與橢圓方程，消去得到關于的一元二次方程，然后利用韋達定理得到，結合數(shù)量積的坐標運算以及將轉化為，其對任意恒成立，從而得到關于和的方程組，從而求出和；再驗證斜率不存在的情況也符合.【詳解】()由題得， ，解得 ， 橢圓的標準方程為. ()設 ，當直線AB的斜率存在時，設其直線方程為：， 則原點到直線的距離為， 聯(lián)立方程，化簡得， 由得，則， 即對任意恒成立，則 ， 當直線斜率不存在時，也成立. 故當時，點到直線AB的距離為定值.【點睛】主要考查橢圓方程的求解以及定值問題，對于定值問題，主要是證明求解的一個量與參數(shù)無關，解這類問題時要會合理選擇參數(shù)(參數(shù)可能是直線的斜率、截距,也可能是動點的坐標等),使用參數(shù)表達其中變化的量,再使用這些變化的量表達需要求解的解題目標.當使用直線的斜率和截距表達直線方程時,在解題過程中要注意建立斜率和截距之間的關系,把雙參數(shù)問題化為單參數(shù)問題解決.21.已知函數(shù).（1）令，若在區(qū)間上不單調(diào)，求的取值范圍；（2）當時，函數(shù)的圖象與軸交于兩點，且，又是的導函數(shù).若正常數(shù)，滿足條件，.試比較與0的關系，并給出理由【答案】（1）（2）見解析.【解析】【分析】（1）先求得，因為g（x）在區(qū)間（0，3）上不單調(diào)，所以g（x）0在（0，3）上有實數(shù)解，且無重根由g（x）0，求得，由此可得a的范圍（2）由題意可得，f（x）mx0有兩個實根x1，x2，化簡可得可得h（+），由條件知（21）（）0，利用分析法結合構造函數(shù)證明h（+）【詳解】（1）因為，所以，因為在區(qū)間上不單調(diào)，所以在上有實數(shù)解，且無重根，由，有，令t=x+14則y=2(t+在t4單調(diào)遞增，故（2），又有兩個實根，兩式相減，得，于是.，.要證：，只需證：只需證：.（*）令，（*）化為，只需證在上單調(diào)遞增，即.【點睛】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，用分析法證明不等式，體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想，屬于