河北張家口高三數學上學期期末考試試卷文

張家口市20182019學年度第一學期期末教學質量監(jiān)測高三數學（文科）一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集，則中元素的個數為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出，然后求出，即可得到答案?！驹斀狻?，則.故答案為C.【點睛】本題考查了集合的運算，主要涉及交集與補集，屬于基礎題。2.已知是虛數單位，是的共軛復數，則的虛部是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用復數的乘除運算可求得z,寫出z的共軛復數，即可得到虛部.【詳解】z=2i1+i=2i1-i(1+i)(1-i)=2i+22=1+i，1i，其虛部為1，故選:D.【點睛】本題考查復數的乘除運算，考查共軛復數及復數虛部的概念，屬于簡單題.3.甲、乙兩名同學在五次數學考試中的成績統(tǒng)計如下面的莖葉圖所示，若甲、乙兩人的平均成績分別是x1，x2，觀察莖葉圖，下列結論正確的是（ ）A. x1x2，乙比甲成績穩(wěn)定C. x1x2，甲比乙成績穩(wěn)定【答案】A【解析】【分析】根據莖葉圖中的數據，即可計算出兩人平均分，再根據莖葉圖的分布情況可知乙成績穩(wěn)定.【詳解】由莖葉圖知，甲的平均數是x1=102+104+105+114+1335=91.6，乙的平均數是x2=108+115+116+122+1235=116.8，所以x10即可得到答案.【詳解】f(x)=ax3+3x+2，則f(x)=3ax2+3,又f(-1)=-3，則f-1=3a+3=-3，解得a=-2,fx=-6x2+3,解fx0,得-22x0),，則2f(x)f(x+2)的解集為（ ）A. 1,23 B. 1,1 C. 23,1 D. 1,+【答案】A【解析】【分析】結合函數的解析式分三種情況：x-2時，不等式轉化為-2x-x+2；當-20時，不等式轉化為4x2x+2，分別求解進而可以得到答案。【詳解】由題意，當x-2時，2fx=-2x，fx+2=-x+2，則-2x-x+2，解得x2，與x-2矛盾，故不成立；當-2x0時，2fx=-2x，fx+2=2x+2，則-2x2x+2，解得-1x2，由于-20時，2fx=4x，fx+2=2x+2，則4x2x+2，解得x23，由于x0，故00bx+1,x0，且f13=-1，f(-1)=3,則f(f(-3)=_【答案】2【解析】【分析】由f13=loga13=-1，f-1=b-1+1=3，可以求出a,b，從而得到函數f(x)的表達式，進而可以求出f-3，及ff-3，即可得到答案。【詳解】由題意知，f13=loga13=-1，解得a=3，f-1=b-1+1=3，解得b=12，故函數表達式為f(x)=log3x,x012x+1,x0，則f-3=12-3+1=9，則ff-3=f9=log39=2.故答案為2.【點睛】本題考查了分段函數，考查了指數冪的運算，及對數式的運算，屬于基礎題。14.設變量x，y滿足的約束條件xy+20,2x+3y60,3x+2y90,，則目標函數z=x+7y的最大值為_【答案】22【解析】【分析】由約束條件畫出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優(yōu)解，聯立方程組得到最優(yōu)解的坐標，代入目標函數得到答案.【詳解】作出不等式組x-y+20,2x+3y-60,3x+2y-90,對應的平面區(qū)域如圖由z=x+7y得到y(tǒng)=-17x+z7，平移直線y=-17x+z7，由圖象可知當直線y=-17x+z7經過點B時，直線y=-17x+z7的截距最大，此時z最大， 由x-y+2=03x+2y-9=0解得B(1,3)此時z1+3722，故答案為：22【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標函數的最值，求目標函數最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實線還是虛線）；（2）找到目標函數對應的最優(yōu)解對應點（在可行域內平移變形后的目標函數，最先通過或最后通過的頂點就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標代入目標函數求出最值.15.經過點P(4,1)作圓x2+y22y=0的切線，設兩個切點分別為A，B,則tanAPB=_【答案】199【解析】【分析】由圓的方程可以求出圓心坐標及半徑，進而可以求出PD=25，DA=1，從而求出tanAPD的值，由APB=2APD，利用二倍角的正切公式，可以求出tanAPB的值.【詳解】圓的方程可化為x2+y-12=1，則圓心為D0,1，半徑為r=1，設APD=，APDA，PD=42+-1-12=25，PA=PD2-r2=20-1=19，則tan=DAPA=119=1919,tanAPB=tan2=2tan1-tan2=219191-119=199.【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系，考查了圓的性質，考查了兩點間的距離公式，二倍角的正切公式，屬于基礎題。16.在銳角ABC中，AC=2，AB=22,D在BC邊上，并且BD=2DC，CAD=6，則ABC的面積為_【答案】3+1【解析】【分析】在ADC中，由正弦定理DCsinCAD=ACsinADC，可得到sinADC=1DC，在ADB中，由正弦定理DBsinBAD=ABsinADB，可得到sinBAD=DBsinADBAB=2DC1DC22=22，由BAD是銳角，可知BAD=4，BAC=4+6，結合三角形的面積公式可得到答案?！驹斀狻吭贏DC中，由正弦定理得：DCsinCAD=ACsinADC，則sinADC=2sin61DC=1DC，在ADB中，由正弦定理得：DBsinBAD=ABsinADB，則sinBAD=DBsinADBAB，因為sinADB=sinADC=1DC，BD=2DC，所以sinBAD=2DC1DC22=22，由于三角形是銳角三角形，故BAD=4，則sinBAC=sin4+6=2+64，故ABC的面積為122222+64=3+1.【點睛】本題考查了正弦定理在解三角形中的應用，考查了三角形的面積公式，屬于中檔題。三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 17.等差數列an的前n項和為Sn，數列bn是等比數列，滿足a5=5，S4=10，bn0，b2=a4，b4=a16.（1）求數列an和bn的通項公式；（2）令cn=2an(bn-1)(bn+1-1)，求數列cn的前n項和Tn.【答案】（1）an=n，bn=2n；（2）2n+122n+11【解析】【分析】（1）由an是等差數列，a5=5，S4=10，可求出an=n，由bn是等比數列，bn0，b2=a4，b4=a16，可求出bn=2n；（2）將an和bn的通項公式代入cn，則cn=2n(2n-1)(2n+1-1) =12n-1-12n+1-1，利用裂項相消求和法可求出Tn.【詳解】(1)a5=5，S4=10，a1+4d=5,4a1+432d=10,，解得a1=1,d=1,an=n.又b2=4，b4=16，b1q=4,b1q3=16,bn0, b1=2,q=2, bn=2n.（2）由（1），得cn=2n(2n-1)(2n+1-1) =12n-1-12n+1-1Tn=c1+c2+cn=121-1-122-1+ 122-1-123-1+12n-1-12n+1-1=1-12n+1-1=2n+1-22n+1-1【點睛】本題考查了等差數列和等比數列的通項公式的求法，考查了用裂項相消求數列的前n項和，屬于中檔題。18.四棱柱ABCD-ABCD中，側棱AA底面ABCD，底面ABCD為菱形，ABC=60，AB=2，AA=3，E，F分別是AB，BD的中點.（1）求證：EF/平面BCCB；（2）求四面體F-AEC的體積.【答案】（1）見解析；（2）14【解析】【分析】（1）連接FC，可知F是AC的中點，連接BC，由于E是AB的中點，可知EF/BC，即可證明EF/平面BCCB；（2）由于BF平面AACC，可證明VF-AEC=VE-AFC=12VB-AFC =1214VB-AACC=18VB-AACC，求出VB-AACC即可得到答案?！驹斀狻浚?）證明：連接FC，在菱形ABCD中，因為F是BD的中點，所以F是AC的中點.連接BC，則在ABC中，又由于E是AB的中點，所以EF/BC.又EF平面BCCB，平面BC BCCB，所以EF/平面BCCB.（2）解：VF-AEC=VE-AFC=12VB-AFC =1214VB-AACC=18VB-AACC，由于BF平面AACC，BF=232=3，VB-AACC=13233=2，故VF-AEC=18VB-AACC=14.【點睛】線面平行的證明，關鍵在于在平面內找出與已知直線的平行線；三棱錐的體積，常常通過等體積法求解，學生在學習中要重視這種題型。19.某醫(yī)療器械公司在全國共有100個銷售點，總公司每年會根據每個銷售點的年銷量進行評價分析.規(guī)定每個銷售點的年銷售任務為一萬四千臺器械.根據這100個銷售點的年銷量繪制出如下的頻率分布直方圖.（1）完成年銷售任務的銷售點有多少個？（2）若用分層抽樣的方法從這100個銷售點中抽取容量為25的樣本，求該五組2,6)，6,10)，10,14)，14,18)，18,22)，（單位：千臺）中每組分別應抽取的銷售點數量. （3）在（2）的條件下，從該樣本中完成年銷售任務的銷售點中隨機選取2個，求這兩個銷售點不在同一組的概率.【答案】（1）24；（2）見解析；（3）35【解析】【分析】（1）由頻率之和等于1，列出方程0.02+0.08+0.09+2a4=1，求解即可；（2）各組應抽取的銷售點數量比例為2:8:9:3:3，按比例計算即可；（3）完成年銷售任務的銷售點，14,18)中有3個，18,22)中有3個，不在一組的基本事件有9個，所有的基本事件有15個，即可得到概率為915=35?！驹斀狻浚?）0.02+0.08+0.09+2a4=1，解得a=0.03，則完成年銷售任務的銷售點個數為0.0324100=24.（2）各組應抽取的銷售點數量比例為2:8:9:3:3，則各組應抽取的銷售點數量分別為2，8，9，3，3.（3）在第（2）問容量為25的樣本中，完成年銷售任務的銷售點，14,18)中有3個，記為A1，A2，A3，18,22)中有3個，記為B1，B2，B3.從這6個銷售點中隨機選取2個，所有的基本事件為A1A2，A1A3，A2A3，B1B2，B1B3，B2B3，A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，A3B1，A3B2，A3B3，共15個基本事件，不在一組的基本事件有A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，A3B1，A3B2，A3B3，共9個基本事件，故所求概率為915=35.【點睛】本題考查了頻率分布直方圖，考查了分層抽樣，考查了概率的計算，屬于基礎題。20.以P為圓心的動圓經過點F(1,0)，并且與直線x=1相切.（1）求點P的軌跡C的方程；（2）若A，B，C，D是曲線C上的四個點，ABCD，并且AB，CD相交于點F，直線AB的傾斜角為銳角.若四邊形ABCD的面積為36，求直線AB的方程.【答案】（1）y2=4x；（2）y=2(x1)或y=22(x1)【解析】【分析】（1）設圓P與直線x=-1相切于點E，則PE=PF，點P的軌跡為拋物線，求出方程即可；（2）設直線AB的方程為y=k(x-1)，k0，與拋物線方程聯立可得AB=x1+x2+2 =4+4k2，同理可得CD=4+4k2，則四邊形ABCD的面積S=12ABCD=124+4k24+4k2=36，即可求出k，進而得到直線AB的方程?！驹斀狻浚?）設圓P與直線x=-1相切于點E，則PE=PF，即點P到F的距離與點P到直線x=-1的距離相等，所以點P的軌跡為拋物線.F是焦點，x=-1是準線.所以C的方程為y2=4x.（2）設A(x1,y1)，B(x2,y2)，直線AB的方程為y=k(x-1)，k0.由y=k(x-1),y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0，x1+x2=2k2+4k2. AB=x1+x2+2 =4+4k2.同理，CD=4+4k2.所以四邊形ACBD的面積S=12ABCD =124+4k2(4+4k2) =81+1k2(1+k2).由81+1k2(1+k2)=36，得k2=2或k2=12，所以k=2或k=22.所以直線AB的方程為y=2(x-1)或y=22(x-1).【點睛】本題考查了拋物線的定義，拋物線的方程，考查了直線與拋物線的綜合問題，涉及韋達定理的運用，拋物線弦長公式及焦半徑的運用，屬于中檔題。21.已知函數f(x)=x2+(a2)xalnx (a0).（1）求f(x)的單調區(qū)間；（2）設P(x1,y1)，Q(x2,y2)為函數f(x)圖象上不同的兩點，PQ的中點為M(x0,y0)，求證：f(x1)f(x2)x1x2f(x0).【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）對函數求導f(x)=(x-1)(2x+a)x，函數定義域為(0,+)，由于-a201，可知 當0x1時，f(x)1時，f(x)0，即可判斷單調性；（2）先求出f(x0)=x1+x2+a-2-2ax1+x2，和f(x1)-f(x2)x1-x2=x1+x2+a-2-alnx1x2x1-x2，則要證的不等式f(x1)-f(x2)x1-x2f(x0)-alnx1x2x1-x22x1+x2，不妨假設x1x20，即證lnx1x22x1x2-1x1x2+1，令t=x1x21，構造函數h(t)=lnt-2(t-1)t+1，求導可判斷函數h(t)在(1,+)上單調遞增，則h(t)h(1)=0，進而可以證明不等式成立。【詳解】（1）f(x)的定義域為(0,+)，f(x)=2x+a-2-ax =(x-1)(2x+a)x.由于-a201，則當0x1時，f(x)1時，f(x)0，則f(x)的單調遞減區(qū)間為(0,1)，單調遞增區(qū)間為(1,+).（2）證明：因為M(x0,y0)為PQ的中點，則x0=x1+x22，故f(x0)=2x0+a-2-ax0 =x1+x2+a-2-2ax1+x2，f(x1)-f(x2)x1-x2= x12+(a-2)x1-alnx1-x22-(a-2)x2+alnx2x1-x2=x12-x22+(a-2)(x1-x2)-alnx1x2x1-x2=x1+x2+a-2-alnx1x2x1-x2故要證f(x1)-f(x2)x1-x2f(x0)，即證-alnx1x2x1-x20，即證lnx1x2x1-x22x1+x2.不妨假設x1x20，只需證明lnx1x22(x1-x2)x1+x2，即lnx1x22x1x2-1x1x2+1.設t=x1x21，構造函數h(t)=lnt-2(t-1)t+1，ht=1t-4t+12=(t-1)2t(t+1)20，故h(t)在(1,+)上單調遞增，則h(t)h(1)=0，則有l(wèi)nx1x22x1x2-1x1x2+1，從而f(x1)-f(x2)x1-x2f(x0).【點睛】本題考查了函數與導數的綜合問題，考查了函數的導數，函數的單調性，考查了不等式的證明，及構造函數的思想，屬于難題。22.在直角坐標系xOy中，直線的參數方程為x=8+4ty=1t（為參數），以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為2(54cos2)=9.（1）求直線的普通方程及曲線C的直角坐標方程；（2）求曲線C上的點M到的距離的最大值.【答案】（1）直線：x+4y12=0，曲線C：x29+y2=1（2）17【解析】【分析】（1）消去參數t即可得到直線l的普通方程，利用2=x2+y2，x=cos，y=sin化簡可得曲線C的直角坐標方程；（2）由曲線C的方程，設M(3cos,sin)，再由點到直線的距離公式和三角函數的性質，即可