上海復興高級中學高三數(shù)學模擬考試擬

上海市復興高級中學2019屆高三數(shù)學5月模擬考試擬試題（含解析）一、填空題1.已知全集U=1，2，3，4，5，A=1，3，則_【答案】2，4，5【解析】【分析】根據(jù)補集的定義直接求解：UA是由所有屬于集合U但不屬于A的元素構(gòu)成的集合【詳解】因為全集，所以根據(jù)補集的定義得故答案為：2，4，5【點睛】本題考查了補集的定義以及簡單求解，屬于基礎(chǔ)題2.已知復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則 .【答案】.【解析】試題分析：因為，所以，也可利用復數(shù)模的性質(zhì)求解：考點：復數(shù)的模3.的展開式中，的系數(shù)為 。（用數(shù)字作答）【答案】10.【解析】解：因為由二項式定理的通項公式可知4.設(shè)數(shù)列（）是等差數(shù)列，若和是方程的兩根，則數(shù)列的前2019項的和_【答案】2019【解析】【分析】根據(jù)二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出，再利用等差數(shù)列下標和的性質(zhì)得到，然后利用等差數(shù)列求和公式可得出答案.【詳解】由二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，由等差數(shù)列的性質(zhì)得出，因此，等差數(shù)列的前項的和為，故答案為：.【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)與等差數(shù)列求和公式的應(yīng)用，涉及二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵在于等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中等題.5.將圓錐的側(cè)面展開后得到一個半徑為2的半圓，則此圓錐的體積為_【答案】【解析】【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，高為，根據(jù)圓錐底面圓周長等于展開后半圓的弧長得出，由題意得出，再由勾股定理得出的值，最后利用錐體的體積公式計算出圓錐的體積.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，高為，則，由題意可知，由勾股定理得，因此，該圓錐的體積為，故答案為：.【點睛】本題考查圓錐體積的計算，涉及圓錐的側(cè)面展開圖問題，解題時要注意扇形弧長等于圓錐底面圓周長這一條件的應(yīng)用，考查空間想象能力，屬于中等題.6.若拋物線的焦點與雙曲線的右焦點重合，則實數(shù)的值是 .【答案】8【解析】試題分析：的右焦點為，所以考點：本小題主要考查雙曲線和拋物線中基本量的計算，考查學生的運算求解能力.點評：橢圓和雙曲線、拋物線經(jīng)常結(jié)合出題，要注意它們之間基本量的聯(lián)系和區(qū)別.7.如圖，長方體的邊長 ， ，它的外接球是球，則，這兩點的球面距離等于_ 【答案】【解析】由題意，所以，所以。8.若命題“對任意，恒成立”是假命題，則實數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】由題意得出命題“，”為真命題，轉(zhuǎn)化為，利用函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性得出該函數(shù)的最大值，從而得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意得出命題“，”為真命題，則有由于正切函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，因此，實數(shù)的取值范圍是，故答案為：.【點睛】本題考查全稱命題的真假與參數(shù)，解題時要根據(jù)全稱命題的真假轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來求解，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中等題.9.某工廠對一批產(chǎn)品進行抽樣檢測，根據(jù)抽樣檢測后得產(chǎn)品凈重（單位：克）數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖如圖所示，已知產(chǎn)品凈重的范圍是區(qū)間，樣本中凈重在區(qū)間的產(chǎn)品個數(shù)是24，則樣本中凈重在區(qū)間的產(chǎn)品個數(shù)是_【答案】44【解析】【分析】先利用已知條件求出樣本容量，并由頻率分布直方圖得出樣本中凈重在區(qū)間的產(chǎn)品所占的頻率，再利用樣本容量乘以該頻率可得出結(jié)果.【詳解】由頻率分布直方圖可知，樣本中凈重在區(qū)間的頻率為，則樣本容量為，由頻率分布直方圖可知，樣本中凈重在區(qū)間的頻率為，因此，樣本中凈重在區(qū)間的產(chǎn)品個數(shù)為，故答案為：.【點睛】本題考查頻率分布直方圖中相關(guān)的計算，涉及頻率、樣本容量以及頻數(shù)的計算，解題時要注意從頻率分布直方圖中得出相應(yīng)的頻率，并熟悉頻數(shù)、樣本容量、頻率三者之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.10.把一顆骰子擲兩次，第一次出現(xiàn)的點數(shù)記為，第二次出現(xiàn)的點數(shù)記為，則方程組無解的概率是_【答案】【解析】【分析】由題意得出直線與直線平行，得出，可得出事件“方程組無解”所包含的基本事件數(shù)，并確定所有的基本事件數(shù)為，然后利用古典概型的概率公式可得出所求事件的概率.【詳解】把一顆骰子擲兩次，第一次出現(xiàn)的點數(shù)記為，第二次出現(xiàn)的點數(shù)記為，用表示基本事件，則所有的基本事件數(shù)為，若方程組無解，則直線與直線平行，可得，則事件“方程組無解”包含的基本事件有：、，共種，因此，事件“方程組無解”的概率為，故答案為：.【點睛】本題考查古典概型概率的計算，解題的關(guān)鍵就是在于列舉所有的基本事件，也可以利用一些計數(shù)原理求出基本事件數(shù)，考查計算能力，屬于中等題.11.已知函數(shù)存在反函數(shù)，則實數(shù)_【答案】0【解析】【分析】由函數(shù)存在反函數(shù)，可知函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，然后對分三種情況討論：、，分析函數(shù)的單調(diào)性得出實數(shù)的取值.【詳解】由于函數(shù)存在反函數(shù)，則函數(shù)單調(diào)函數(shù).當時，當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時，函數(shù)在上不單調(diào)，不合乎題意；當時，可知函數(shù)在和上均增函數(shù)，且在處連續(xù)，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，合乎題意；當時，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時，函數(shù)在上不單調(diào)，不合乎題意.綜上所述：，故答案為：.【點睛】本題考查反函數(shù)的存在性問題，解題的關(guān)鍵就是將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)為單調(diào)函數(shù)來處理，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中等題.12.已知，若，且方程有5個不同根，則的取值范圍為_【答案】【解析】【分析】設(shè)，作出函數(shù)的圖象，由方程有個不同根轉(zhuǎn)化為二次方程的兩根，并構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的零點分布，得出，結(jié)合，可作出關(guān)于、的不等式組，作出可行域，將視為可行域中的點到直線的距離，結(jié)合圖象可得出答案.【詳解】作出函數(shù)的圖象如下圖所示：設(shè)，則方程有個不同根轉(zhuǎn)化二次方程的兩根，構(gòu)造函數(shù)，可得不等式，即，結(jié)合，作出圖形如下圖所示，不等式組表示的平面區(qū)域為邊長為的正方形，不等式組表示的區(qū)域為下圖中的陰影部分（不包括軸），代數(shù)式視為可行域中的點到直線的距離，當點與點重合時，結(jié)合圖形可知，取值范圍是，故答案為：.【點睛】本題考查復合函數(shù)的零點個數(shù)問題，涉及二次函數(shù)零點分布、線性規(guī)劃以及點到直線的距離，解題的關(guān)鍵在于將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)零點的分布，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.二、選擇題13.“”是“”的（ ）條件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充分必要 D. 非充分非必要【答案】A【解析】【分析】利用反三角函數(shù)的定義得出，然后取特殊角可得出，于此可得出答案.【詳解】當，則，所以；另一方面，取，則，則，因此，“”是“”的充分非必要條件，故選：A.【點睛】本題考查充分不必要條件的判斷，可以利用邏輯推證法以及取特殊值的方法推出矛盾，考查推理能力，屬于中等題.14.已知直線平行于平面，平面垂直于平面，則以下關(guān)于直線與平面的位置關(guān)系的表述，正確的是（ ）A. 與不平行B. 與不相交C. 不在平面上D. 在上，與平行，與相交都有可能【答案】D【解析】【分析】以正方體為載體能推導出直線平行于平面，平面垂直于平面，從而直線與平面相交、平行或在平面內(nèi).【詳解】如下圖所示：在正方體中，平面平面，平面，平面；平面，與平面相交；平面，平面.所以，直線平行于平面，平面垂直于平面，則直線與平面相交、平行或在平面內(nèi)，故選：D.【點睛】本題考查線面關(guān)系有關(guān)命題真假的判斷，可以利用簡單幾何體作載體來進行判斷，考查邏輯推理能力，屬于中等題.15.已知函數(shù)，把函數(shù)圖象沿軸向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是( )A. 在上是增函數(shù)B. 其圖象關(guān)于直線對稱C. 函數(shù)是奇函數(shù)D. 當時，函數(shù)的值域是【答案】D【解析】試題分析：由題意得，A：時，是減函數(shù)，故A錯誤；B：，故B錯誤；C：是偶函數(shù)，故C錯誤；D：時，值域為，故D正確，故選D考點：1三角函數(shù)的圖象變換；2的圖象和性質(zhì)16.在平面上，若，則 的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】以點為坐標原點，、所在直線分別為軸、軸建立平面直角坐標系，設(shè)，設(shè)點的坐標為，由由以及，可得出關(guān)于、的等式或不等式，從中求出的取值范圍可得出的取值范圍.【詳解】根據(jù)條件知、構(gòu)成一個矩形，以點為坐標原點建立如下圖所示的平面直角坐標系，設(shè)，設(shè)點的坐標為，則點的坐標為，由得，又，得，可得，又，知，同理可得，得，故，因此，的取值范圍是，故選：C.【點睛】本題考查平面向量的模長以及不等式的應(yīng)用，難點在于將向量模的取值范圍轉(zhuǎn)化為不等式的取值范圍，并利用數(shù)形結(jié)合思想來求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于難題.三、解答題17.已知下圖是四面體及其三視圖，是的中點，是的中點.（1）求四面體的體積；（2）求與平面所成的角；【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由三視圖得出四面體的底面是直角三角形，且可得出兩直角邊的邊長，從而求出底面三角形的面積，由三視圖可得出該四面體的高，再利用錐體的體積公式可求出四面體的體積；（2）通過得出點到平面的距離，利用直線與平面所成角的定義得出直線與平面所成角的正弦值，從而可求出直線與平面所成角的大小.【詳解】（1）由三視圖可知，四面體是直三棱錐，且底面是以為直角的直角三角形，則的面積為，由三視圖可知，底面，且，因此，四面體的體積為；（2）是的中點，為的中點，到平面的距離為，由勾股定理，邊上的高為，設(shè)點到平面的距離為，則，又，解得，連接，則，設(shè)與平面所成的角為，則，與平面所成的角為.【點睛】本題考查了三視圖與棱錐的結(jié)構(gòu)特征，涉及棱錐體積的計算、直線與平面所成的角的計算，解題時要從三視圖得出線線關(guān)系與線面關(guān)系，考查空間想象能力，屬于中等題.18.在中，角、所對的邊分別為、.（1）若、成等比數(shù)列，且，求的值；（2）若、成等差數(shù)列，且，求的周長的最大值.【答案】（1）；（2）6【解析】【分析】（1）首先求出的值，再依據(jù)正弦定理及、成等比數(shù)列得出，對化簡代入即可；（2）由等差中項的性質(zhì)，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理得出，利用正弦定理表示出與，進而表示出的周長，由三角恒等變換，利用余弦函數(shù)的值域即可確定出周長的最大值.【詳解】（1），、成等比數(shù)列，由正弦定理得，；（2），、成等差數(shù)列，可得，即，由正弦定理，即，的周長為 ，則，所以，當且僅當時，的周長取到最大值.【點睛】本題考查了正弦定理、等差數(shù)列和等比數(shù)列中項的性質(zhì)以及三角恒等變換，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵，屬于中等題.19.已知函數(shù)(1) 若，求x的取值范圍；(2) 若是以2為周期的偶函數(shù)，且當時，有，求函數(shù)的反函數(shù)【答案】(1) (2) ，【解析】試題分析：（1）考慮對數(shù)函數(shù)的定義域，結(jié)合對數(shù)運算法則。結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性列不等式組，進行求解即可；（2）結(jié)合函數(shù)的奇偶性和反函數(shù)知識先求原函數(shù)的值域即為反函數(shù)的定義域，再根據(jù)對數(shù)指數(shù)的運算求解即可.試題解析：（1）由，得.由得. 因為，所以，.由得. （2）當 時， ，因此. 由單調(diào)性可得.因為，所以所求反函數(shù)是，.20.已知拋物線（），點在的焦點的右側(cè)，且到的準線的距離是到距離的3倍，經(jīng)過點的直線與拋物線交于不同的、兩點，直線與直線交于點，經(jīng)過點且與直線垂直的直線交軸于點.（1）求拋物線的方程和的坐標；（2）判斷直線與直線的位置關(guān)系，并說明理由；（3）橢圓的兩焦點為、，在橢圓外的拋物線上取一點，若、的斜率分別為、，求的取值范圍.【答案】（1），（2），詳見解析（3）【解析】【分析】（1）由題意得出，以及，可求出的值，從而得出拋物線的方程以及焦點的坐標；（2）設(shè)點、，直線的方程為，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，并列出韋達定理，并求出、兩點的坐標，在時，由與同時與軸垂直得出，在時，由得出，即可解答該問題；（3）設(shè)點，得出，由點在拋物線上且在橢圓外得出，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得出的取值范圍.【詳解】（1）由于點在拋物線的焦點的右側(cè)，所以，由于到的準線的距離是到距離的倍，即，解得，因此，拋物線的方程為，其焦點的坐標為；（2），理由如下：設(shè)， ，聯(lián)立，得，；，令得，令得，當時，直線斜率不存在，此時，直線斜率也不存在；當時，則；（3）設(shè)點，則，因為點在橢圓外，所以，即，即，解得，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，.【點睛】本題考查拋物線方程的求解，考查兩直線的位置關(guān)系以及兩直線斜率之積的取值范圍的計算，解題時要根據(jù)已知條件的類型選擇合適的方法進行計算，另外對于兩直線的位置關(guān)系，可利用斜率關(guān)系來進行轉(zhuǎn)化，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.21.數(shù)列的前項1，3，7，（）組成集合，從集合中任?。ǎ﹤€數(shù)，其所有可能的個數(shù)的乘積的和為（若只取一個數(shù)，規(guī)定乘積為此數(shù)本身），記.例如：當時，；時，.（1）當時，求，的值；（2）證明：時集合的與時集合的（為以示區(qū)別，用表示）有關(guān)系式（，）；（3）試求（用表示）.【答案】（1），（2）見解析（3）【解析】【分析】（1）當時，得出，根據(jù)定義得出、的值，可計算出的值；（2）當時，集合有個元素，比時的集合多了一個元素；，對應(yīng)的包含兩個部分：（i）若不含，則中的任何一項恰好為時集合的對應(yīng)的中的一項；（ii）若中含的任何一項，除了，其余的個數(shù)均來自集合，這個數(shù)的乘積恰好為集合所對應(yīng)的中的一項，即可證明；（3）由，猜想，下面利用數(shù)學歸