九年級上冊數(shù)學知識點歸納湘教版

2018年茶陵思源實驗學校九年級數(shù)學第一章反比例函數(shù)知識點歸納和典型例題一、基礎知識（一）反比例函數(shù)的概念1（）可以寫成（）的形式，注意自變量x的指數(shù)為，在解決有關自變量指數(shù)問題時應特別注意系數(shù)這一限制條件；2（）也可以寫成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函數(shù)解析式中的k，從而得到反比例函數(shù)的解析式；3反比例函數(shù)的自變量，故函數(shù)圖象與x軸、y軸無交點（二）反比例函數(shù)的圖象在用描點法畫反比例函數(shù)的圖象時，應注意自變量x的取值不能為0，且x應對稱取點（關于原點對稱）（三）反比例函數(shù)及其圖象的性質1函數(shù)解析式：（）2自變量的取值范圍：3圖象：（1）圖象的形狀：雙曲線 越大，圖象的彎曲度越小，曲線越平直越小，圖象的彎曲度越大（2）圖象的位置和性質：與坐標軸沒有交點，稱兩條坐標軸是雙曲線的漸近線當時，圖象的兩支分別位于一、三象限；在每個象限內，y隨x的增大而減??；當時，圖象的兩支分別位于二、四象限；在每個象限內，y隨x的增大而增大（3）對稱性：圖象關于原點對稱，即若（a，b）在雙曲線的一支上，則（，）在雙曲線的另一支上 圖象關于直線對稱，即若（a，b）在雙曲線的一支上，則（，）和（，）在雙曲線的另一支上4k的幾何意義如圖1，設點P（a，b）是雙曲線上任意一點，作PAx軸于A點，PBy軸于B點，則矩形PBOA的面積是（三角形PAO和三角形PBO的面積都是）如圖2，由雙曲線的對稱性可知，P關于原點的對稱點Q也在雙曲線上，作QCPA的延長線于C，則有三角形PQC的面積為 圖1 圖25說明：（1）雙曲線的兩個分支是斷開的，研究反比例函數(shù)的增減性時，要將兩個分支分別討論，不能一概而論 （2）直線與雙曲線的關系： 當時，兩圖象沒有交點；當時，兩圖象必有兩個交點，且這兩個交點關于原點成中心對稱（3）反比例函數(shù)與一次函數(shù)的聯(lián)系（四）實際問題與反比例函數(shù)1求函數(shù)解析式的方法：（1）待定系數(shù)法；（2）根據(jù)實際意義列函數(shù)解析式2注意學科間知識的綜合，但重點放在對數(shù)學知識的研究上（五）充分利用數(shù)形結合的思想解決問題三、例題分析1反比例函數(shù)的概念（1）下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是（ ）Ay=3x B C3xy=1 D（2）下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是（ ）AB CD答案：（1）C；（2）A2圖象和性質（1）已知函數(shù)是反比例函數(shù)，若它的圖象在第二、四象限內，那么k=_若y隨x的增大而減小，那么k=_（2）已知一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，則函數(shù)的圖象位于第_象限（3）若反比例函數(shù)經(jīng)過點（，2），則一次函數(shù)的圖象一定不經(jīng)過第_象限（4）已知ab0，點P（a，b）在反比例函數(shù)的圖象上， 則直線不經(jīng)過的象限是（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限（5）若P（2，2）和Q（m，）是反比例函數(shù)圖象上的兩點， 則一次函數(shù)y=kx+m的圖象經(jīng)過（ ）A第一、二、三象限 B第一、二、四象限C第一、三、四象限 D第二、三、四象限（6）已知函數(shù)和（k0），它們在同一坐標系內的圖象大致是（ ） A B C D 答案：（1）1；（2）一、三；（3）四；（4）C；（5）C；（6）B 3函數(shù)的增減性（1）在反比例函數(shù)的圖象上有兩點，且，則的值為（ ）A正數(shù) B負數(shù) C非正數(shù) D非負數(shù)（2）在函數(shù)（a為常數(shù)）的圖象上有三個點，則函數(shù)值、的大小關系是（ ）ABCD 第二章一元二次方程知識點一、本章知識結構框圖實際問題數(shù)學問題設未知數(shù)，列方程實際問題的答案數(shù)學問題的解解 方 程降 次開平方法配方法公式法分解因式法檢 驗二、具體內容（一）、一元二次方程的概念1理解并掌握一元二次方程的意義 未知數(shù)個數(shù)為1，未知數(shù)的最高次數(shù)為2，整式方程，可化為一般形式；2正確識別一元二次方程中的各項及各項的系數(shù) （1）明確只有當二次項系數(shù)時，整式方程才是一元二次方程。 （2）各項的確定(包括各項的系數(shù)及各項的未知數(shù)). （3）熟練整理方程的過程3 一元二次方程的解的定義與檢驗一元二次方程的解4 列出實際問題的一元二次方程（二）、一元二次方程的解法1明確一元二次方程是以降次為目的，以配方法、開平方法、公式法、因式分解法等方法為手段，從而把一元二次方程轉化為一元一次方程求解；2 根據(jù)方程系數(shù)的特點，熟練地選用配方法、開平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3體會不同解法的相互的聯(lián)系；4值得注意的幾個問題：(1)開平方法：對于形如或的一元二次方程，即一元二次方程的一邊是含有未知數(shù)的一次式的平方，而另一邊是一個非負數(shù)，可用開平方法求解.形如的方程的解法：當時，;當時，;當時，方程無實數(shù)根。（2）配方法：通過配方的方法把一元二次方程轉化為的方程，再運用開平方法求解。配方法的一般步驟：移項：把一元二次方程中含有未知數(shù)的項移到方程的左邊，常數(shù)項移到方程的右邊；“系數(shù)化1”：根據(jù)等式的性質把二次項的系數(shù)化為1；配方：將方程兩邊分別加上一次項系數(shù)一半的平方，把方程變形為的形式；求解：若時，方程的解為，若時，方程無實數(shù)解。（3）公式法：一元二次方程的根當時，方程有兩個實數(shù)根,且這兩個實數(shù)根不相等；當時，方程有兩個實數(shù)根,且這兩個實數(shù)根相等，寫為；當時，方程無實數(shù)根.公式法的一般步驟：把一元二次方程化為一般式；確定的值；代入中計算其值，判斷方程是否有實數(shù)根；若代入求根公式求值，否則，原方程無實數(shù)根。（因為這樣可以減少計算量。另外，求根公式對于任何一個一元二次方程都適用，其中也包括不完全的一元二次方程。）（4）因式分解法：因式分解法解一元二次方程的依據(jù)：如果兩個因式的積等于0，那么這兩個因式至少有一個為0，即：若，則；因式分解法的一般步驟：若方程的右邊不是零，則先移項，使方程的右邊為零；把方程的左邊分解因式；令每一個因式都為零，得到兩個一元一次方程；解出這兩個一元一次方程的解可得到原方程的兩個解。（5）選用適當方法解一元二次方程對于無理系數(shù)的一元二次方程，可選用因式分解法，較之別的方法可能要簡便的多，只不過應注意二次根式的化簡問題。方程若含有未知數(shù)的因式，選用因式分解較簡便，若整理為一般式再解就較為麻煩。（6）解含有字母系數(shù)的方程（1）含有字母系數(shù)的方程，注意討論含未知數(shù)最高項系數(shù)，以確定方程的類型；（2）對于字母系數(shù)的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可選用別的方法，此時一定不要忘記對字母的取值進行討論。（三）、根的判別式1了解一元二次方程根的判別式概念，能用判別式判定根的情況，并會用判別式求一元二次方程中符合題意的參數(shù)取值范圍。（1）=（2）根的判別式定理及其逆定理：對于一元二次方程（）當方程有實數(shù)根；（當方程有兩個不相等的實數(shù)根；當方程有兩個相等的實數(shù)根；）當方程無實數(shù)根； 從左到右為根的判別式定理；從右到左為根的判別式逆定理。2常見的問題類型（1）利用根的判別式定理，不解方程，判別一元二次方程根的情況（2）已知方程中根的情況，如何由根的判別式的逆定理確定參數(shù)的取值范圍（3）應用判別式，證明一元二次方程根的情況先計算出判別式（關鍵步驟）；用配方法將判別式恒等變形；判斷判別式的符號；總結出結論.第三章相似三角形知識點總結 1.相似三角形定義：對應角相等，對應邊成比例的三角形，叫做相似三角形。2.相似三角形的表示方法：用符號“”表示，讀作“相似于”。3.相似三角形的相似比：相似三角形的對應邊的比叫做相似比。4. 平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所截得的對應線段成比例. 已知ADBECF, 可得等相似三角形的預備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所截成的三角形與原三角形相似。由DEBC可得：5.相似三角形的判定定理：三角形相似的判定方法與全等的判定方法的聯(lián)系列表如下：類型斜三角形直角三角形全等三角形的判定SASSSSAAS（ASA）HL相似三角形 的判定兩邊對應成比例夾角相等三邊對應成比例兩角對應相等一條直角邊與斜邊對應成比例6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜邊上的高分成兩個直角三角形和原三角形相似。(2)如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似。7.相似三角形的性質定理：(1)相似三角形的對應角相等。(2)相似三角形的對應邊成比例。(3)相似三角形的對應高線的比，對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比。(4)相似三角形的周長比等于相似比。(5)相似三角形的面積比等于相似比的平方。8. 相似三角形的傳遞性如果ABCA1B1C1，A1B1C1A2B2C2，那么ABCA2B2C29. 相似三角形的幾種基本圖形： 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所截成的三角形與原三角形相似。這個定理確定了相似三角形的兩個基本圖形“A”型和“ 8 ”型。若DEBC（A型和X型）則ADEABC 如圖：其中1=2，則ADEABC稱為“斜交型”的相似三角形。（有“反A共角型”、“反A共角共邊型”、 “蝶型”） 滿足1、AC2=ADAB，2、ACD=B，3、ACB=ADC，都可判定ADCACB 當或ADAB=ACAE時，都可判定ADEACB 如圖：稱為“垂直型”（有“雙垂直共角型”、“雙垂直共角共邊型（也稱“射影定理型”）”“三垂直型”） 如圖：1=2，B=D，則ADEABC，稱為“旋轉型”的相似三角形。 對于復雜的幾何圖形，采用將部分需要的圖形（或基本圖形）“抽”出來的辦法處理。10.證明題常用方法歸納：總體思路: “等積”變“比例”， “比例”找“相似” 找中間比：若找不到兩個三角形相似的,則需要進行“替換”，常用的“替換”方法有這樣的三種：等線段代換、等比代換、等積代換.添加輔助線：若上述方法還不能奏效的話，可以考慮添加輔助線(通常是添加平行線)注：添加輔助平行線是獲得成比例線段和相似三角形的重要途徑。平面直角坐標系中通常是作垂線（即得平行線）構造相似三角形或比例線段。第四章 銳角三角函數(shù)1 銳角三角函數(shù)定義銳角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）叫做角A的銳角三角函數(shù)。 正弦（sin）等于對邊比斜邊；sinA=a/c 余弦（cos）等于鄰邊比斜邊；cosA=b/c 正切（tan）等于對邊比鄰邊；tanA=a/b銳角三角函數(shù)值的定義方法是在直角三角形中定義的，所以在初中階段求銳角的三角函數(shù)值，都是通過構造直角三角形來完成的，即把這個角放到某個直角三角形中。2 特殊角的三角函數(shù)值角度304560正弦(sin)1/22/23/2余弦(cos)3/22/21/2正切(tan)3/313（注 是銳角：0sin1 0cos0）3銳角三角函數(shù)值的符號及其變化規(guī)律1）銳角三角函數(shù)值都是正值。 2）當角度在090間變化時，、正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?；、余弦值隨著角度的增大（或減小）而減?。ɑ蛟龃螅?、正切值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?；4同角三角函數(shù)基本關系式 5互為余角的三角函數(shù)間的關系 6 解直角三角形的基礎知識在Rt中，所對的邊分別為，（1） 三邊之間的關系：（2） 銳角之間的關系：+=（3） 邊角之間的關系：；（4） 面積公式：（為斜邊上的高）7 解直角三角形的基本類型及其解法如下表：類型已知條件解法兩邊兩直角邊a、bc=，tanA=，B=90-A一直角邊a，斜邊cb=，sinA=，B=90-A一邊一銳角一直角邊a，銳角AB=90-A，b=，c=斜邊c，銳角AB=90-A，a=csinA，b=ccosA解直角三角形的思路可概括為“有斜（斜邊）用弦（正弦、余弦），無斜用切（正切），寧乘勿除，取原避中”。其含義是當已知或求解中有斜邊時，可用正弦或余弦；無斜邊時，就用正切；當所求元素既可用乘法又可用除法時，則通常用乘法，不用除法；既可用已知數(shù)據(jù)又可用中間數(shù)據(jù)求解時，則取已知數(shù)據(jù)，忌用中間數(shù)據(jù)。8 解直角三角形應用題中的常見概念（1）坡角：坡面與水平面的夾角，用字母表示。坡度（坡比）：坡面的鉛直高度和水