四川成都龍泉驛區(qū)第一中學(xué)校高三數(shù)學(xué)“二診”模擬考試理

成都龍泉中學(xué)2015級高三下學(xué)期“二診”模擬考試試題數(shù)學(xué)（理工類）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1. 設(shè)集合，則的子集的個數(shù)是：（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】A【解析】因為單調(diào)遞增，且圖象恒過點，且點在橢圓的內(nèi)部，所以曲線與橢圓有兩個公共點，即的子集的個數(shù)是4.故選A.2. 已知為單位向量，且與垂直，則的夾角為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】設(shè)的夾角為，因為與垂直，所以，即，即，即，又因為，所以.故選C.3. 若等差數(shù)列滿足，則的前2016項之和（ ）A. 1506 B. 1508 C. 1510 D. 1512【答案】D【解析】由題意，得，即，則等差數(shù)列的前2016項和.故選D.【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和前項和公式的應(yīng)用.在處理等差數(shù)列的有關(guān)運算時，利用一些性質(zhì)（如：等差數(shù)列中，若，則）進行處理，可減少運算量，提高解題速度.4. 給出下列四個命題：“若為的極值點，則”的逆命題為真命題；“平面向量,的夾角是鈍角”的充分不必要條件是若命題，則；命題“，使得”的否定是：“均有”.其中不正確的個數(shù)是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】對于命題，由于使得，但不是函數(shù)的極值點，故命題不正確；對于命題，由于取，雖有，但成平角，故不充分，則命題不正確；對于命題，由于，則其否定顯然不正確，故命題也不正確；故應(yīng)選答案C。5. 如圖，已知平行四邊形中，為線段的中點，則（ ）A. B. 2 C. D. 1【答案】D【解析】由題意，得，設(shè)，以所在直線為軸， 所在直線為軸建立平面直角坐標系，則,，則.故選D.【點睛】本題考查平面向量的線性運算和數(shù)量積運算.解決本題的技巧是合理利用和等腰直角三角形建立平面直角坐標系，大大減少了平面向量的線性運算，巧妙地避開了干擾信息.6. 設(shè)，則對任意實數(shù)a、b，若a+b0則（）A. f（a）+f（b）0 B. f（a）+f（b）0C. f（a）f（b）0 D. f（a）f（b）0【答案】B【解析】易知函數(shù)為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，因為，所以，則，即.故選B.【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的綜合運用.解決本題的關(guān)鍵在于聯(lián)想到要判定函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，進而利用性質(zhì)進行比較大小，這是一種常見題型，要多總結(jié)，多積累.7. 定義矩陣，若，則 （ ）A. 圖象關(guān)于中心對稱 B. 圖象關(guān)于直線對稱C. 在區(qū)間上單調(diào)遞增 D. 周期為的奇函數(shù)【答案】C【解析】當(dāng)時，故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為1.故選C.8. 如圖所示的流程圖,若輸出的結(jié)果是9，則判斷框中的橫線上可以填入的最大整數(shù)為（ ）A. 17 B. 16 C. 15 D. 14【答案】B【解析】由程序框圖，得，即判斷框中的橫線上可以填入的最大整數(shù)為16.故選B.9. 九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有女子善織，日益功，疾，初日織五尺，今一月織九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），問日益幾何？”其意思為：“有一女子擅長織布，每天比前一天更加用功，織布的速度也越來越快，從第二天起，每天比前一天多織相同量的布，第一天織5尺，一月織了九匹三丈，問每天增加多少尺布？”若一個月按31天算，記該女子一個月中的第天所織布的尺數(shù)為，則的值為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由題意女子每天織布數(shù)成等差數(shù)列，且，由于，且。所以，應(yīng)選答案B。10. 已知函數(shù)，若，則的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由，知為上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，,為增函數(shù)，故等價于不等式，解得的取值范圍為，故選A點睛：對于求值或范圍的問題，一般先利用函數(shù)的奇偶性得出區(qū)間上的單調(diào)性，再利用其單調(diào)性脫去函數(shù)的符號“f”，轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問題，若f(x)為偶函數(shù)，則f(x)f(x)f(|x|)11. 已知，則曲線為橢圓的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由題意，得共有種不同情況，其中可以滿足“曲線為橢圓”的有三種情況，由古典概型的概率公式，得所求概率為.故選D.12. 已知定義在上的函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)滿足，若，則點所在區(qū)域的面積為（ ）A. 12 B. 6 C. 18 D. 9【答案】A【解析】由題意設(shè)，則，故原不等式可化為，即。由于，故當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，此時不等式可化為，即；故當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，此時不等式可化為，即。畫出不等式組表示的區(qū)域如圖，結(jié)合圖形可算得該不等式組表示的區(qū)域的面積為，應(yīng)選答案A。點睛：本題的難度非常大，主要有這樣幾個難點較難突破，其一是怎樣依據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造函數(shù)；其二是構(gòu)造什么樣的函數(shù)；第三是如何表示不等式組代表的區(qū)域。求解時先從題設(shè)中的條件入手構(gòu)造出函數(shù)，再借助已知與導(dǎo)數(shù)工具判定其單調(diào)性，然后將原不等式進行等價轉(zhuǎn)化為不等式組，最后再畫出不等式組表示的區(qū)域求出其面積使得問題獲解。二、填空題：本題共4題，每小題5分，共20分13. 已知拋物線的準線方程為，則實數(shù)a的值為_.【答案】【解析】將化為，由題意，得，即.14. 設(shè)函數(shù)，是由軸和曲線及該曲線在點處的切線所圍成的封閉區(qū)域，則在上的最小值為_.【答案】【解析】當(dāng)時，,則 所以曲線 及該曲線在點 處的切線為 , 區(qū)域可作圖如下則根據(jù)線性規(guī)劃的目標點的選取 ，將其轉(zhuǎn)化為可行域內(nèi)取一點與定點之間距離的平方與2的差的最小值，有可行域可知，定點到直線的距離為，所以可行域內(nèi)取一點與定點之間距離的平方與2的差的最小值.15. 在區(qū)間上隨機地取兩個數(shù)，則事件“”發(fā)生的概率為_【答案】【解析】由題意畫出事件“ ”所表示的圖象,如圖陰影部分,陰影部分的面積為 ,由幾何概型概率公式有事件“ ”的概率為 .16. 已知數(shù)列與滿足，若的前項和為且對一切恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_.【答案】【解析】依題設(shè)，當(dāng)時，；當(dāng)時，又當(dāng)時， . .等價于，即，對一切恒成立，令，則，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)或時，取得最大值， ， .三、解答題:（本題包括6小題，共70分。要求寫出證明過程或演算步驟）17. 在ABC中，A，B，C的對邊分別為a、b、c，ABC的面積為（1）求c的值；（2）求cos（BC）的值【答案】（1）7；（2）【解析】試題分析：（1）先利用三角形的面積公式求出，再由余弦定理進行求解；（2）先由余弦定理求出，再由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式或正弦定理求出，再利用兩角差的余弦公式進行求解.試題解析：（1），ABC的面積為=absinC=sin，解得：a=5，由余弦定理可得：c=7 （2）由（1）可得：cosB=，又B（0，），可得：sinB=，cos（BC）=cosBcos+sinBsin=+=18. 時下，租車已經(jīng)成為新一代的流行詞，租車自駕游也慢慢流行起來，某小車租車點的收費標準是，不超過2天按照300元計算；超過兩天的部分每天收費標準為100元（不足1天的部分按1天計算）有甲乙兩人相互獨立來該租車點租車自駕游（各租一車一次），設(shè)甲、乙不超過2天還車的概率分別為；2天以上且不超過3天還車的概率分別；兩人租車時間都不會超過4天（1）求甲所付租車費用大于乙所付租車費用的概率；（2）設(shè)甲、乙兩人所付的租車費用之和為隨機變量，求的分布列與數(shù)學(xué)期望【答案】（1）；（2）分布列見解析，【解析】試題分析：（1）由甲所付租車費用大于乙所付租車費用知可分為乙租車2天與乙租車3天兩種情況，由此能求出所求概率；（2）首先求得的所有可能取值，然后分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出的分布列與數(shù)學(xué)期望試題解析：（1）因為甲所付租車費用大于乙所付租車費用，當(dāng)乙租車2天內(nèi)時，則甲租車3或4天，其概率為；當(dāng)乙租車3天時，則甲租車4天，其概率為；則甲所付租車費用大于乙所付租車費用的概率為5分（2）設(shè)甲，乙兩個所付的費用之和為可為600，700，800，900，1000，6分 8分故的分布列為600700800900100010分故的期望為12分考點：1、概率；2、離散型隨機變量的分布列與期望19. 如圖1，在矩形ABCD中，點分別在邊上，且，交于點現(xiàn)將沿折起，使得平面平面，得到圖2（1）在圖2中，求證：；（2）若點是線段上的一動點，問點在什么位置時，二面角的余弦值為【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】試題分析：(1)先證明 ,再證明,證明平面,從而可得 ;(2)建立直角坐標系,設(shè),求出平面、平面的一個法向量,利用向量的夾角公式,結(jié)合二面角的余弦值為,即可得出結(jié)論.試題解析：（）在矩形中，,， 即.在圖2中，. 又平面平面，平面平面，平面， ，依題意，且，四邊形為平行四邊形., ， 又，平面， 又平面， .（）如圖1，在中，.如圖，以點為原點建立平面直角坐標系，則，平面，為平面的法向量.設(shè)，則，設(shè)為平面的法向量，則即，可取，依題意，有，整理得，即，當(dāng)點在線段的四等分點且時，滿足題意20. 橢圓：的離心率為，過其右焦點與長軸垂直的直線與橢圓在第一象限相交于點，（1）求橢圓的標準方程；（2）設(shè)橢圓的左頂點為，右頂點為，點是橢圓上的動點，且點與點，不重合，直線與直線相交于點，直線與直線相交于點，求證：以線段為直徑的圓恒過定點【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：(1)由題意可得，則橢圓C的標準方程為. (2)由題意可得，結(jié)合題意可得圓的方程為，則以線段ST為直徑的圓恒過定點. 試題解析：（1）解：，又，聯(lián)立解得：，所以橢圓C的標準方程為. （2）證明：設(shè)直線AP的斜率為k，則直線AP的方程為，聯(lián)立得. ，整理得：，故，又，(分別為直線PA，PB的斜率)，所以，所以直線PB的方程為：，聯(lián)立得，所以以ST為直徑的圓的方程為：，令，解得：，所以以線段ST為直徑的圓恒過定點. 21. 已知函數(shù)（1）若在處取極值，求在點處的切線方程；（2）當(dāng)時，若有唯一的零點，求注表示不超過的最大整數(shù)，如參考數(shù)據(jù)：【答案】（1）；（2）2【解析】試題分析：（1）求導(dǎo)，利用對應(yīng)導(dǎo)函數(shù)為0求出值，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進行求解；（2）求導(dǎo)，討論導(dǎo)函數(shù)的符號變化確定函數(shù)的單調(diào)性和極值，通過極值的符號確定零點的位置，再利用零點存在定理進行求解.試題解析：（1）因為，所以，解得，則，即在點處的切線方程為，即；（2）， 令，則由，可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增由于，故時，又，故在上有唯一零點，設(shè)為，從而可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增由于有唯一零點，故且 又.令，可知在上單調(diào)遞增由于，故方程的唯一零點，故22. 已知直線l的參數(shù)方程為（為參數(shù)）以為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為(1)寫出直線l經(jīng)過的定點的直角坐標，并求曲線的普通方程；(2)若，求直線的極坐標方程，以及直線l與曲線的交點的極坐標【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：由題意可知當(dāng)時直線經(jīng)過定點，設(shè)，即可求出曲線的普通方程；將代入直線的參數(shù)方程，可求出直線的普通方程，將代入即可求得直線的極坐標方程，然后聯(lián)立曲線：，即可求出直線與曲線的交點的極坐標解析：（1）直線經(jīng)過定點，由得，得曲線的普通方程為，化簡得；（2）若，得的普通方程為，則直線的