北師大第二章《函數(shù)》學(xué)法指導(dǎo)

第二章 函數(shù)學(xué)法指導(dǎo) 函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容之一，對(duì)函數(shù)的學(xué)習(xí)和應(yīng)用將貫穿整個(gè)高中階段。本章涉及到的幾個(gè)重要的基本概念（映射，函數(shù)，定義域，值域，最值）以及幾個(gè)重要的基本性質(zhì)（單調(diào)性，奇偶性）等是今后學(xué)習(xí)具體函數(shù)及其它知識(shí)的重要基礎(chǔ)。 在初中所學(xué)習(xí)的函數(shù)定義（古典定義）是從運(yùn)動(dòng)變化的觀念來認(rèn)識(shí)函數(shù)的，把兩個(gè)變量放在一個(gè)運(yùn)動(dòng)的過程中去考察，這樣定義的好處是便于學(xué)生理解生活中常見的函數(shù)關(guān)系，貼近學(xué)生的生活；但它的局限性也是顯而易見的，因?yàn)榇罅康暮瘮?shù)關(guān)系的建立完全脫離了運(yùn)動(dòng)背景，也不需要依賴運(yùn)動(dòng)背景去理解和研究。因此，從本章開始我們將介紹函數(shù)的近代定義，從集合、對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)來認(rèn)識(shí)和研究函數(shù)。 函數(shù)有三個(gè)要素：定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則。但一般地，值域可由定義域和對(duì)應(yīng)法則唯一確定。定義域即我們所研究的函數(shù)中的自變量所形成的集合（不是所在的集合，而且是非空的），值域就是定義域中的每個(gè)變量在對(duì)應(yīng)法則下，與它對(duì)應(yīng)的變量形成的另一個(gè)集合；函數(shù)的本質(zhì)就是兩個(gè)集合的元素之間按照某種對(duì)應(yīng)法則所形成的對(duì)應(yīng)關(guān)系，也是一種特殊的映射。字義域和值域都是非空的數(shù)集，對(duì)應(yīng)法則有時(shí)可以用一個(gè)數(shù)學(xué)式子來表達(dá)（即為函數(shù)解析式或函數(shù)表達(dá)式)，有時(shí)在不同的區(qū)間上在用不同的式子來表達(dá)，有時(shí)甚至不能用解析式來表達(dá)，而要用其它方式如列表法、圖像法等來表達(dá)；區(qū)別兩個(gè)函數(shù)主要從函數(shù)三要素考慮，只有三者完全一致，兩個(gè)函數(shù)才是同一個(gè)函數(shù)（一般地，只須考慮定義域和對(duì)應(yīng)法則，如果這兩者一致，則值域相同）。 函數(shù)的表示法有三種：解析法、列表法和圖像法，它們各有特點(diǎn)。解析法是用數(shù)學(xué)式子來表達(dá)函數(shù)關(guān)系，十分準(zhǔn)確地反映了函數(shù)中兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可由此式代入一個(gè)變量的值求另一個(gè)變量的值；列表法是用列表來表示兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系，它的優(yōu)點(diǎn)是不必計(jì)算即可互相對(duì)應(yīng)的元素，但當(dāng)變量取值較多時(shí)，用此法不便；圖像法是用圖像表示兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系，其優(yōu)點(diǎn)在于直觀反映了一個(gè)變量隨著另一個(gè)變量的變化而變化的關(guān)系，不足之處是難以定量反映兩者之間的關(guān)系。三種方法具有互補(bǔ)性，在研究函數(shù)時(shí)可選擇使用。 映射和函數(shù)都是建立在兩個(gè)非空集合上的特殊的“對(duì)應(yīng)”，定義形式也非常相似。但是映射是建立在任意兩個(gè)非空集合上的，而函數(shù)是建立在兩個(gè)非空數(shù)集上的。學(xué)習(xí)中要注意區(qū)別。要抓住兩個(gè)關(guān)鍵詞：“任一、唯一”（即對(duì)集合A中的任一元素，在集合B中存在唯一的一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)）。映射也有三要素：原象集、象集與對(duì)應(yīng)法則。 學(xué)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性關(guān)鍵是要深刻理解定義，并掌握單調(diào)函數(shù)和奇（偶）函數(shù)的圖像特征，并了解單調(diào)性是函數(shù)在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，而奇偶性是函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)的整體性質(zhì)。判斷函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性可由定義，也可由函數(shù)圖像進(jìn)行判斷。 對(duì)二次函數(shù)的深入研究，關(guān)