解讀九章算術之方田

解讀九章算術之方田 九章算術方田1、今有田廣十五步，從十六步。問為田幾何？答曰：一畝。解讀：現(xiàn)有一塊田，寬十五步，長十六步。問這塊田的面積是多少？答：一畝數(shù)學表達式：1516/240=1（畝）2、又有田廣十二步，從十四步。問為田幾何？答曰：一百六十八步。方田術曰：廣從步數(shù)相乘得積步。以畝法二百四十步除之，即畝數(shù)。百畝為一頃。解讀：有一塊田，寬十二步，長十四步。問這塊田的面積是多少？答：一百六十八步數(shù)學表達式：1214=168（步）方田計算方法：長寬步數(shù)相乘得積步。用畝法二百四十步除之，即畝數(shù)。一百畝為一頃。3、今有田廣一里，從一里。問為田幾何？答曰：三頃七十五畝。解讀：現(xiàn)有方田，寬一里，長一里。問這塊田的面積是多少？答：三頃七十五畝方田術語：里法三百步數(shù)學表達式：1 * 1 * 300 * 300 / 240 = 375 (畝)，即三頃七十五畝4、又有田廣二里，從三里。問為田幾何？答曰：二十二頃五十畝。里田術曰：廣從里數(shù)相乘得積里。以三百七十五乘之，即畝數(shù)。解讀：又有一方田，寬兩里，長三里。問此塊田的面積是？答：二十二頃五十畝里田計算方法：長寬里數(shù)相乘得積里。以三百七十五乘之，即畝數(shù)。數(shù)學表達式：2 * 3 *375 = 2250（里積），即二十二頃五十畝。5、今有十八分之十二。問約之得幾何？答曰：三分之二。解讀：現(xiàn)有十八分之十二，問約分后等于多少？答：三分之二數(shù)學表達式： 12/18 = 2/36、又有九十一分之四十九。問約之得幾何？答曰：十三分之七。約分術曰：可半者半之，不可半者，副置分母子之數(shù)，以少減多，更相減損，求其等也。以等數(shù)約之。解讀：又有九十一分之四十九，問約分后等于多少？答：十三分之七約分法：即先進行觀察，如果分數(shù)的分子、分母有2的倍數(shù)，則可先在分子、分母中同約去2；然后再用分子、分母中較大的減去較小的，所得的差與上一步驟中的減數(shù)比較大小，并再從較大的數(shù)中減去較小的數(shù)，如此重復進行下去，當差與減數(shù)相等即出現(xiàn)“等數(shù)”時，該等數(shù)即為所求分子與分母的最大公約數(shù)，只需將分子分母同除以這個數(shù)，即可將原來的分數(shù)化為最簡分數(shù)?！?】7、今有三分之一，五分之二。問合之得幾何？答曰：十五分之十一。解讀：現(xiàn)有三分之一和五分之二，問兩數(shù)相加等于多少？答：十五分之十一。數(shù)學表達式：1/3 + 2/5 = 11/158、又有三分之二，七分之四，九分之五。問合之得幾何？答曰：得一、六十三分之五十。解讀：又有三分之二、七分之四和九分之五 ，問這三個數(shù)相加等于多少？答：一又六十三分之五十。數(shù)學表達式：2/3 + 4/7 + 5/9 = 1+50/639、又有二分之一，三分之二，四分之三，五分之四。問合之得幾何？答曰：得二、六十分之四十三。合分術曰：母互乘子，并以為實，母相乘為法，實如法而一。不滿法者，以法命之。其母同者，直相從之。解讀：又有二分之一、三分之二、四分之三和五分之四，問這四個數(shù)相加等于多少？答：二又六十分之四十三。合分法：兩分數(shù)的分母和分子互乘，取它們的和作為分子，兩分母相乘作為分母，分子分母相等時為一。10、今有九分之八，減其五分之一。問餘幾何？答曰：四十五分之三十一。解讀:現(xiàn)有九分之八，減去五分之一，問剩下多少？答：四十五分之三十一數(shù)學表達式：8 /90 - 1/5 = 31/4511、又有四分之三，減其三分之一。問餘幾何？答曰：十二分之五。減分術曰：母互乘子，以少減多，餘為實，母相乘為法，實如法而一。解讀：又有四分之三，減去三分之一，問剩下多少？答：十二分之五減分法：兩分數(shù)分子與分母互乘，用較大者減去較小者的差作為分子，兩分母相乘之積作為分母，分子等于分母時，值為一。12、今有八分之五，二十五分之十六。問孰多？多幾何？答曰：二十五分之十六多，多二百分之三。解讀：現(xiàn)有八分之五，二十五分之十六，問哪個數(shù)大？大多少？答：二十五分之十六大，大二百分之三數(shù)學表達式：5/8 < 16/25, 16/25 - 5/8 = 3/20013、又有九分之八，七分之六。問孰多？多幾何？答曰：九分之八多，多六十三分之二。解讀：又有九分之八、七分之六。問哪個數(shù)大？大多少？答：九分之八大，大六十三分之二。數(shù)學表達式： 8/9 > 6/7, 8/9 - 6/7 = 2/6314、又有二十一分之八，五十分之十七。問孰多？幾何？答曰：二十一分之八多，多一千五十分之四十三。課分術曰：母互乘子，以少減多，餘為實，母相乘為法，實如法而一，即相多也。解讀：又有二十一分之八和五十分之十七，問哪個大？大多少？答：二十一分之八大，大一千五十分之四十三。課分法：分子互乘分母，用較大的減去較小的，余數(shù)作為分子，分母相乘之積作為分母。當分子等于分母時，值為一，即是較大的分數(shù)。15、今有三分之一，三分之二，四分之三。問減多益少，各幾何而平？答曰：減四分之三者二，三分之二者一，并以益三分之一，而各平於十二分之七。解讀：現(xiàn)有三分之一、三分之二、四分之三，問減去多的補給少的各多少就一樣了？答：減3/4二份，減2/3一份，并把這些 補給1/3，就一樣多，一樣時為7/1216、又有二分之一，三分之二，四分之三。問減多益少，各幾何而平？答曰：減三分之二者一，四分之三者四，并以益二分之一，而各平於三十六分之二十三。平分術曰：母互乘子，副并為平實，母相乘為法。以列數(shù)乘未并者各自為列實。亦以列數(shù)乘法，以平實減列實，餘，約之為所減。并所減以益於少，以法命平實，各得其平。17、今有七人，分八錢三分錢之一。問人得幾何？答曰：人得一錢、二十一分錢之四。解讀：現(xiàn)有七個人，均分八又三分之一錢。問每人分得多少錢？答：每人得一又二十一分之四錢。18、又有三人，三分人之一，分六錢三分錢之一，四分錢之三。問人得幾何？答曰：人得二錢、八分錢之一。經(jīng)分術曰：以人數(shù)為法，錢數(shù)為實，實如法而一。有分者通之，重有分者同而通之。經(jīng)分法：法與實皆為分數(shù)的除法，先將法、實皆化為假分數(shù)，然后以法的分母乘實的分子為實，似實的分母乘法的分子為法，相除即為所求?！?】19、今有田廣七分步之四，從五分步之三。問為田幾何？答曰：三十五分步之十二。解讀：現(xiàn)有方田寬為七分之四，長為五分之三。問此塊田的面積為？答：三十五分之十二步20、有田廣九分步之七，從十一分步之九。問為田幾何？答曰：十一分步之七。解讀：又有方田寬九分之七，長十一分之九。問該方田的面積是？答：十一分之七步21、又有田廣五分步之四，從九分步之五，問為田幾何？答曰：九分步之四。乘分術曰：母相乘為法，子相乘為實，實如法而一。解讀：又有一塊方田寬為五分之四，長為九分之五。問該方田的面積是？答：九分之四步。22、今有田廣三步、三分步之一，從五步、五分步之二。問為田幾何？答曰：十八步。解讀：現(xiàn)有塊方田寬為三又三分之一步，長為五又五分之二步，問該塊田的面積是？答：十八步。23、又有田廣七步、四分步之三，從十五步、九分步之五。問為田幾何？答曰：一百二十步、九分步之五。解讀：又有一塊方田寬為七又四分之三步，長為十五又九分之五步。問該塊方田的面積是？答：一百二十又九分之五步。24、又有田廣十八步、七分步之五，從二十三步、十一分步之六。問為田幾何？答曰：一畝二百步、十一分步之七。大廣田術曰：分母各乘其全，分子從之，相乘為實。分母相乘為法。實如法而一。解讀：又有一塊方田寬為十八又七分之五步，長為二十三又十一分之六步。問該塊方田的面積是？答：一畝兩百又十一 分之七步。25、今有圭田廣十二步，正從二十一步。問為田幾何？答曰：一百二十六步。解讀：現(xiàn)有等腰三角形田【4】邊為十二步，高為二十一步。問該田面積是？答：一百二十六步。數(shù)學表達式： S = 1/2 * l * h = 1/2 * 12 * 21 = 12626、又有圭田廣五步、二分步之一，從八步、三分步之二。問為田幾何？答曰：二十三步、六分步之五。術曰：半廣以乘正從。解讀：有等腰三角形田邊長為五又二分之一步，高為八又三分之二步，問該塊田的面積為多少？答：二十三又六分之五步。數(shù)學表達式： S = 1/2 * l * h = 1/2 * (5+1/2) * (8+2/3) = 23 + 5/6計算方法：底邊長的一半乘以高。27、今有邪田，一頭廣三十步，一頭廣四十二步，正從六十四步。問為田幾何？答曰：九畝一百四十四步。解讀：現(xiàn)有一塊直角梯形田，上底邊長三十步，下底邊長為四十二步，高為六十四步。問該塊田的面積是多少？答：九畝一百四十四步。數(shù)學表達式： S = 1/2 * (b上 + b下) * h = 1/2 * (30 + 42 ) * 64 = 2304(積步), 即九畝四十四步28、又有邪田，正廣六十五步，一畔從一百步，一畔從七十二步。問為田幾何？答曰：二十三畝七十步。術曰：并兩邪而半之，以乘正從若廣。又可半正從若廣，以乘并，畝法而一。解讀：又有一直角梯形田，正寬長為六十五步，一邊長一百步，另一邊長七十二步。問該田的面積是多少？答：二十三畝七十步。數(shù)學表達式： S = 1/2 * (b上 + b下) * h = 1/2 * (100 + 72) * 65 = 5590， 即二十三畝七十步計算方法：取兩邊長的一半，乘以正從（寬）。也可取正從的一半做寬，再乘以兩邊長之和，用畝法歸一制。29、今有箕田，舌廣二十步，踵廣五步，正從三十步。問為田幾何？答曰：一畝一百三十五步。解讀：現(xiàn)有一般梯形田，上底長二十步，下底長五步，高為三十步。問此塊田的面積是多少？答：一畝一百三十五步數(shù)學表達式：S = 1/2 * (b上 + b下) * h = 1/2 * (20 + 5) * 30 = 375(積步)，即一畝三十五步。30、又有箕田，舌廣一百一十七步，踵廣五十步，正從一百三十五步。問為田幾何？答曰：四十六畝二百三十二步半。術曰：并踵舌而半之，以乘正從。畝法而一。解讀：又有一塊梯形田，上底長一百一十七步，下底長五十步，寬為一百三十五步。問該田的面積是多少？答：四十六畝二百三十二步半計算方法：取上下底長的一半，乘以高，即得面積，用畝法歸一制。31、今有圓田，周三十步，徑十步。問為田幾何？答曰：七十五步。解讀：現(xiàn)有圓形田，周長三十步，半徑十步。問此田面積是？答：七十五步。數(shù)學 表達式：S = 1/2 * l * r = 1/2 * 30 * 10 = 75（積步）32、又有圓田，周一百八十一步，徑六十步、三分步之一。問為田幾何？答曰：十一畝九十步、十二分步之一。術曰：半周半徑相乘得積步。又術曰：周徑相乘，四而一。又術曰：徑自相乘，三之，四而一。又術曰：周自相乘，十二而一。解讀：又有一圓形田，周長一百八十一步，半徑長六十又三分之一步。問此田的面積是？答：十一畝九十又十二分之一步計算方法：半周長乘以半徑長等于積步（面積）。計算方法：周長乘以直徑，取其四分之一。計算方法：直徑相乘，然后乘以三，再取其四分之一。計算方法：周長相乘，取其十二分之一。數(shù)學表達式：S = 1/4 * L * r = 1/4 * 181 * (60+1/3) = 32761/12，即十一畝九十又十二分之一步。33、今有宛田，下周三十步，徑十六步。問為田幾何？答曰：一百二十步。解讀：現(xiàn)有一側面圓形田【5】，下半周長為三十步，半徑為十六步。問此田面積是？答：一百二十步數(shù)學表達式： S = 1/4 * l * r = 1/4 * 30 * 16 = 120(積步)34、又有宛田，下周九十九步，徑五十一步。問為田幾何？答曰：五畝六十二步、四分步之一。術曰：以徑乘周，四而一。解讀：又有一側面圓形田，下周長九十九步，半徑為五十一步。問此塊田的面積是？答：五畝六十二又四分之一步。術語：用半徑乘以周長，取其四分之一。數(shù)學表達式： S = 1/4 * l * r = 1/4 * 99 * 51 = 1262.25 (積步)35、今有弧田，弦三十步，矢十五步。問為田幾何？答曰：一畝九十七步半。解讀：現(xiàn)有一弓形田，弦長為三十步，矢長為十五步。問此田的面積是？答：一畝九十七步半。數(shù)學表達式： S = 1/2 * (l *d + d*d) = 1/2 * (30*15 + 15*15) = 337.5，即一畝九十七步半。36、又有弧田，弦七十八步、二分步之一，矢十三步、九分步之七。問為田幾何？答曰：二畝一百五十五步、八十一分步之五十六。術曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。解讀：又有一弓形田，炫長七十八又二分之一步，矢長十三又九分之七步。問此田的面積是？答：二畝一百五十五又八十一分之五十六步。計算方法：用弦長乘以矢，矢又自乘，取兩者和的一半。37、今有環(huán)田，中周九十二步，外周一百二十二步，徑五步。問為田幾何？答曰：二畝五十五步。解讀：現(xiàn)有一環(huán)形田，中周長為九十二步，外周長為一百二十二步，徑長五步。問此田面積是？答：二畝五十五步。數(shù)學表達式： S = 1/2 * (l內(nèi) + l外) * d = 1/2 * (92 * 122) * 5 = 535(積步)，即535/240 = 2畝55步。 38、又