上海長寧區(qū)、嘉定區(qū)高三數(shù)學(xué)上學(xué)期質(zhì)量調(diào)研一模

上海市長寧區(qū)、嘉定區(qū)2018屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期質(zhì)量調(diào)研（一模）試題一填空題（本大題共有12題，滿分54分，第16題每題4分，第712題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果1已知集合，則_.2不等式的解集為_.3已知，則_.4_.5已知球的表面積為，則該球的體積為_.6. 已知函數(shù)，是函數(shù)的反函數(shù)，若的圖像過點(diǎn)，則的值為_.7若數(shù)列為等比數(shù)列，且，則_.8在中，角、所對的邊分別為、，若，則_.9若的二項(xiàng)展開式中的所有二項(xiàng)式系數(shù)之和等于，則該展開式中常數(shù)項(xiàng)的值為_.10已知函數(shù)是定義在上且周期為的偶函數(shù)當(dāng)時(shí)，則的值為_.11已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且,（），若,則數(shù)列的前項(xiàng)和_.12若不等式對滿足的任意實(shí)數(shù)，恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為_.二選擇題（本大題共有4題，滿分20分，每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑13設(shè)角的始邊為軸正半軸，則“的終邊在第一、二象限”是“”的（ ）（A）充分非必要條件 （B）必要非充分條件（C）充分必要條件 （D）既非充分又非必要條件14若直線和是異面直線，在平面內(nèi)，在平面內(nèi)，是平面與平面的交線，則下列命題一定正確的是（ ）（A）與、都不相交 （B）與、都相交（C）至多與、中的一條相交 （D）至少與、中的一條相交15對任意兩個(gè)非零的平面向量和，定義，其中為和的夾角若兩個(gè)非零的平面向量和滿足：；和的夾角；和的值都在集合中則的值為（ ）（A） （B） （C） （D）16已知函數(shù)且，則滿足方程的根的個(gè)數(shù)為（ ）（A）個(gè) （B）個(gè) （C）個(gè) （D）個(gè)三、解答題（本大題共有5題，滿分76分） 解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟17（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）如圖，設(shè)長方體中，（1）求四棱錐的體積；（2）求異面直線與所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）ABCDA1B1C1D118（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）已知復(fù)數(shù)滿足，的虛部為2（1）求復(fù)數(shù)；（2）設(shè)在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)分別為，求的面積19（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）一根長為的鐵棒欲通過如圖所示的直角走廊，已知走廊的寬（1）設(shè)，試將表示為的函數(shù)；（2）求的最小值，并說明此最小值的實(shí)際意義20（本題滿分16分，第1小題滿分4分，第2小題滿分5分，第3小題滿分7分）已知函數(shù)（1）求證：函數(shù)是偶函數(shù)；（2）設(shè)，求關(guān)于的函數(shù)在時(shí)的值域的表達(dá)式；（3）若關(guān)于的不等式在時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍21（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）已知數(shù)列滿足：，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，試確定的值，使得數(shù)列為等差數(shù)列；（3）將數(shù)列中的部分項(xiàng)按原來順序構(gòu)成新數(shù)列，且，求證：存在無數(shù)個(gè)滿足條件的無窮等比數(shù)列參考答案一填空題（本大題共有12題，滿分54分，第16題每題4分，第7-12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果 1 2 34 5 67 8 910 11或 12二選擇題(本大題共有4題，滿分20分，每題5分)每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑13A 14D 15B 16C三、解答題（本大題共有5題，滿分76分） 解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必須的步驟17（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）（1）因?yàn)槠矫?，所以就是四棱錐的高， （3分），所以 （6分）故四棱錐的體積為（2）連結(jié)、，因?yàn)?，且，所以四邊形是平行四邊形，所以故或其補(bǔ)角就是異面直線與所成的角 （2分）在中， （4分）所以， （7分）所以，異面直線與所成角的大小為 （8分）18（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）（1）設(shè)（），則 （3分）解得或 （5分）所以或 （6分）（2）由（1）知，時(shí)， （1分）所以，（2分） （4分）當(dāng)時(shí)， （5分）所以，（6分）（8分）19（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）（1），（分），（6分）（2）設(shè)，則，（2分）所以，此時(shí) （4分）任取、，且，因?yàn)椤?，且，所以，故，即在時(shí)是減函數(shù)，所以（7分）最小值的實(shí)際意義是：在拐彎時(shí)，鐵棒的長度不能超過，否則，鐵棒無法通過也就說，能夠通過這個(gè)直角走廊的鐵棒的最大長度為 （8分）20（本題滿分16分，第1小題滿分4分，第2小題滿分5分，第3小題滿分7分）（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，對任意，所以，函?shù)是偶函數(shù) （4分）（2），（1分）令，因?yàn)?，所以，故，原函?shù)可化為，圖像的對稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在時(shí)是增函數(shù)，值域?yàn)椋?（3分）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在時(shí)是減函數(shù)，在時(shí)是增函數(shù)，值域?yàn)?（5分）綜上，（3）由，得，（1分）當(dāng)時(shí)，所以，所以，所以，恒成立（3分）令，則，由，得，所以， （6分）所以，即的取值范圍為 （7分）21（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）（1）因?yàn)?，所以，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列 （2分）所以，又由題意，所以（） （4分）（2）由，得，故，即數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，（2分）所以，令，得，若為等差數(shù)列，則，解得 （4分）當(dāng)時(shí)，為等差數(shù)列所以，當(dāng)時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列 （6分）（3），先證數(shù)列滿足題意，即證此數(shù)列中的任何一項(xiàng)都是數(shù)列中的項(xiàng) （2分）令，則只需證即可（3分）此時(shí)，故 （6分）所以，此數(shù)列中的第項(xiàng)是數(shù)列中的第項(xiàng)（7分）（也可以用數(shù)學(xué)歸納法證明能被整除，證明如下） 當(dāng)時(shí)，能被整除； （4分） 假設(shè)當(dāng)（）時(shí)