2011普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學文（廣東卷含答案）

2011年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學文試題（廣東卷，含答案）本試題共4頁，21小題，滿分150分，考試用時120分鐘。注意事項：1答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”。2選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。3非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。4作答選做題時，請先用2B鉛筆填涂選做題的題號對應(yīng)的信息點，再作答。漏涂、錯涂、多涂的，答案無效。5考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。參考公式：錐體體積公式，其中為錐體的底面積，為錐體的高線性回歸方程中系數(shù)計算公式，樣本數(shù)據(jù)的標準差，其中，表示樣本均值是正整數(shù)，則一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1設(shè)復數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則A B C D1（A）2已知集合為實數(shù)，且，為實數(shù)，且，則的元素個數(shù)為A4 B3 C2 D12（C）3已知向量若為實數(shù)，則A B C1 D23（B）4函數(shù)的定義域是A B C D4（C）5不等式的解集是A B C D5（D）6已知平面直角坐標系上的區(qū)域由不等式組給定若為上的動點，點 的坐標為，則的最大值為A3 B4 C D6（B）7正五棱柱中，不同在任何側(cè)面且不同在任何底面的兩頂點的連線稱為它的對角線，那么一個正五棱柱對角線的條數(shù)共有A20 B15 C12 D107（D）8設(shè)圓與圓外切，與直線相切，則的圓心軌跡為A拋物線 B雙曲線 C橢圓 D圓8（A）正視圖圖1側(cè)視圖圖22俯視圖圖39如圖1 3，某幾何體的正視圖（主視圖），側(cè)視圖（左視圖）和俯視圖分別是等邊三角形，等腰三角形和菱形，則該幾何體的體積為A BC D9（C）10設(shè)是上的任意實值函數(shù)，如下定義兩個函數(shù)和：對任意，；，則下列等式恒成立的是ABCD10（B）二、填空題：本大題共5小題，考生作答4小題，每小題5分，滿分20分（一）必做題（9 13題）11已知是遞增的等比數(shù)列，若，則此數(shù)列的公比 112 或是遞增的等比數(shù)列，12設(shè)函數(shù)若，則 12，即，則13為了解籃球愛好者小李的投籃命中率與打籃球時間之間的關(guān)系，下表記錄了小李某月1號到5號每天打籃球時間（單位：小時）與當天投籃命中率之間的關(guān)系：時間12345命中率0.40.50.60.60.4小李這5天的平均投籃命中率為 ；用線性回歸分析的方法，預測小李該月6號打6小時籃球的投籃命中率為 13；小李這5天的平均投籃命中率，線性回歸方程，則當時，預測小李該月6號打6小時籃球的投籃命中率為（二）選做題（14 15題，考生只能從中選做一題）14（坐標系與參數(shù)方程選做題）已知兩曲線參數(shù)方程分別為和 ，它們的交點坐標為_14表示橢圓，表示拋物線或（舍去），又因為，所以它們的交點坐標為圖415（幾何證明選講選做題）如圖4，在梯形中，分別為上的點，且，則梯形與梯形的面積比為_15如圖，延長， ， ， 三、解答題：本大題共6小題，滿分80分解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟16（本小題滿分12分）已知函數(shù)，（1）求的值；（2）設(shè)，求的值16解：（1）（2），即，即，17（本小題滿分13分）在某次測驗中，有6位同學的平均成績?yōu)?5分用表示編號為的同學所得成績，且前5位同學的成績?nèi)缦拢壕幪?2345成績7076727072（1）求第6位同學的成績，及這6位同學成績的標準差；（2）從前5位同學中，隨機地選2位同學，求恰有1位同學成績在區(qū)間（68，75）中的概率17解：（1），解得標準差（2）前5位同學中隨機選出的2位同學記為，且則基本事件有，共10種 這5位同學中，編號為1、3、4、5號的同學成績在區(qū)間（68，75）中設(shè)A表示隨機事件“從前5位同學中隨機選出2位同學，恰有1位同學成績在區(qū)間（68，75）中”則A中的基本事件有、共4種，則18（本小題滿分13分）圖5所示的幾何體是將高為2，底面半徑為1的直圓柱沿過軸的平面切開后，將其中一半沿切面向右水平平移后得到的分別為,的中點，分別為,的中點（1）證明：四點共面；（2）設(shè)為中點，延長到，使得證明：平面圖518證明：（1）連接依題意得是圓柱底面圓的圓心是圓柱底面圓的直徑分別為,的中點，四邊形是平行四邊形四點共面（2）延長到，使得，連接，四邊形是平行四邊形，面面，面易知四邊形是正方形，且邊長，易知，四邊形是平行四邊形，平面19（本小題滿分14分）設(shè)，討論函數(shù)的單調(diào)性19解：函數(shù)的定義域為令 當時，令，解得則當或時，當時，則在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減 當時，則在上單調(diào)遞增 當時，令，解得， 則當時，當時，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減20（本小題滿分14分）設(shè)，數(shù)列滿足，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：對于一切正整數(shù)，20（1）解： 當時，則是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，即 當且時，當時，是以為首項，為公比的等比數(shù)列綜上所述（2）證明： 當時，； 當且時，要證，只需證，即證即證即證即證，原不等式成立對于一切正整數(shù)，21（本小題滿分14分）在平面直角坐標系上，直線：交軸于點設(shè)是上一點，是線段的垂直平分線上一點，且滿足（1）當點在上運動時，求點的軌跡的方程；（2）已知，設(shè)是上動點，求的最小值，并給出此時點的坐標；（3）過點且不平行于軸的直線與軌跡有且只有兩個不同的交點，求直線的斜率的取值范圍21解：（1）如圖所示，連接，則，動點滿足或在的負半軸上，設(shè) 當時，化簡得 當在的負半軸上時，綜上所述，點的軌跡的方程為或（2）由（1）知的軌跡是頂點為，焦點為原點的拋物線和的負半軸 若是拋物線上的動點，過作于由于是拋物線的準線，根據(jù)拋物線的定義有則當三點共線時，有最小值 求得此時的坐標為 若是的負半軸上的動點 顯然有綜上所述，的最小值為3，此時點的坐標為（3）如圖，設(shè)拋物線頂點，則直線的斜率點在拋物線內(nèi)部，過點且不平