研究巧用向量法求空間角新課標人教

專題研究 巧用向量法求空間角http:/www.DearEDU.com圖1眾所周知，解決立體幾何問題，“平移是手段，垂直是關鍵”，向量的運算中：兩向量的共線易解決垂直，兩向量所成角及線段的長度等問題。一般來說，當掌握了用向量的方法解決立體幾何問題這套強有力的工具，應該說不僅會降低了學習的難度，而且增強了可操作性，為我們的學習提供了嶄新的視角，豐富了思維結構，消除了學習立體幾何知識所產生的畏懼心理，有利于牢固對立幾知識的掌握。角這一幾何量本質上是對直線與平面位置關系的定量分析，其中轉化的思想十分重要，三種空間角都可轉化為平面角來計算，可進一步轉化為向量的夾角求解。1、求兩條異面直線所成的角：求所成的角（），再化為異面直線所成的角切記即：，其中分別是直線的方向向量。 例1、（2006年福建卷）如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，求異面直線AB與CD所成角的大?。唤猓阂設為原點，如圖建立空間直角坐標系，則異面直線AB與CD所成角的大小為評注：以向量為工具，利用空間向量的坐標表示，空間向量的數(shù)量積計算，異面直線所成角問題思路自然，解法靈活簡便；另本題也可用傳統(tǒng)方法（平移法）求解。例2、（2006年廣東卷）如圖5所示，AF、DE分別是O、O1的直徑.AD與兩圓所在的平面均垂直，AD8,BC是O的直徑，ABAC6，OE/AD求直線BD與EF所成的角.解：以O為原點，BC、AF、OE所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系（如圖所示），則O（0，0，0），A（0，0），B（，0，0）,D（0，8），E（0，0，8），F(xiàn)（0，0）所以，設異面直線BD與EF所成角為，則直線BD與EF所成的角為2、求直線和平面所成的角：求與的法向量所成的角，則線面角是。利用此種方法的關鍵是求出平面的法向量。圖2具體求法：設是斜線的方向向量，是平面的法向量，則斜線與平面所成的角是特別的：最小角定理：是斜線與平面內過斜足的直線所成的角；是線面角（斜線與射影）；是射影與過斜足的直線（面內）所成的角。例3（2006年江蘇卷）在正三角形ABC中，E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點，滿足AE:EBCF:FACP:PB1:2（如圖1）。將AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1EFB成直二面角，連結A1B、A1P（如圖2）；求直線A1E與平面A1BP所成角的大。圖1圖2例4、如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形， 底面，且，分別為、的中點。求與平面所成的角。解:如圖，以為坐標原點建立空間直角坐標系，設，則因為，所以，又因為，所以平面因此的余角即是與平面所成的角.，因為，所以與面所成的角為.例5、（2006年湖北卷）如圖，在棱長為1的正方體中，是側棱上的一點，.試確定，使得直線與平面所成角的正切值為；解、建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)所以又由知，為平面的一個法向量。設AP與平面所成的角為，則。依題意有解得。故當時，直線AP與平面所成的角的正切值為。圖3甲評注：要特別注意線面角的范圍-。先求平面法向量與斜線夾角，再進行換算。3、求二面角：范圍：二面角的求法有棱二面角：三步法-作（先作平面的垂線過垂足作棱的垂線連線）、證、算射影面積公式：法向量法：方法一：構造二面角的兩個半平面的法向量（都取向上的方向，如圖3所示），則圖3乙 若二面角是“鈍角型”的如圖3甲所示，那么其大小等于兩法向量的夾角的補角，即（例如2004年高考數(shù)學廣東卷第18題第（1）問）. 若二面角是“銳角型”的如圖3乙所示，那么其大小等于兩法向量的夾角，即（例如2004年高考數(shù)學廣東卷第18題第（1）問）.圖4方法二：在二面角的棱上確定兩個點，過分別在平面內求出與垂直的向量（如圖4所示），則二面角的大小等于向量的夾角，即 分別是的法向量，則二面角的平面角在內，在內，則二面角的平面角無棱二面角：方法一：無棱變有棱（延長、連線找到棱）射影面積公式：（大題一般按不可輕易使用）例6、三棱錐的三條側棱兩兩垂直，三個側面與底面所成角分別是，底面面積是，則三棱錐的體積是_。（1）法向量法：分別是的法向量，則二面角的平面角ABCDEFOPH 在內，在內，則二面角的平面角例7、（2006年安徽卷）如圖，P是邊長為1的正六邊形ABCDEF所在平面外一點，P在平面ABC內的射影為BF的中點O。求面與面所成二面角的大小。解：以O為坐標原點，建立空間直角坐標系，P(0,0，1)，A(0，,0)，B(，0,0)，D(0,2，0)，設平面PAB的法向量為，則，得，；設平面PDB的法向量為，則，得，；，所求二面角大小是例8、如圖，在底面是直角梯形的四棱錐SABCD中，ABC = 90，SA面ABCD，SA = AB = BC = 1，()求四棱錐SABCD的體積；()求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值解：（）直角梯形ABCD的面積是M底面， 四棱錐SABCD的體積是 M底面 （）延長BA、CD相交于點E，連結SE則SE是所求二面角的棱 ADBC，BC = 2AD， EA = AB = SA， SESB， SA面ABCD，得SEB面EBC，EB是交線，又BCEB， BC面SEB，故SB是CS在面SEB上的射影， CSSE，所以BSC是所求二面角的平面角 ，BC =1，BCSB， tanBSC 即所求二面角的正切值為評注：可建立空間直角坐標系得進而得二面角的正切值為，同學們自己嘗試。也可利用快速驗證。例9、在直三棱住中，D是BC的中點，F(xiàn)是上一點，且。求面與面所成銳二面角。提示：方法一：無棱變有棱（延長相交、連接）延長交于點E，連接AE，則AE就是二面角的棱.方法二：（不要直接使用） 方法三：建立空間直角坐標系參考答案：DBACSFEDBACS例10、如圖，三棱錐中，有試作出面與