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廣西南寧市第三中學(xué)2017-2018學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 理一、選擇題:本題共12小題 ,每小題 5分,共60分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1設(shè)全集,集合,則集合( )A. B. C. D. 2若,則 )A. B. 1 C. 5 D. 253已知向量.若與平行,則 )A. B. C. D. 4設(shè)等比數(shù)列滿足,則公比 )A. 2 B. C. D. 5將編號(hào)為1,2,3, 4, 5的五個(gè)球放入編號(hào)為1,2,3,4,5的五個(gè)盒子里,每個(gè)盒子內(nèi)放一個(gè)球,若恰好有三個(gè)球的編號(hào)與盒子編號(hào)相同,則不同投放方法的種數(shù)為( )A.6B.10C.20D.306設(shè)隨機(jī)變量的概率分布列為,其中,那么的值為( )A B C D7執(zhí)行如圖所示程序框圖,輸出的( )A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 第7題圖 第8題圖8在我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中,將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑,如圖,在鱉臑中, 平面,且,則異面直線與所成角的余弦值為( )A. B. C. D. 9已知,則( )A B C D10曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為( )A. 2 B. C. D. 111拋物線與直線交于A,B兩點(diǎn),其中A點(diǎn)的坐標(biāo)是該拋物線的焦點(diǎn)為F,則( ) A.7B.C. 6D. 512. 已知,若函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D. 二、填空題:本題共4小題 ,每小題 5分,共20分.13實(shí)數(shù), 滿足約束條件: ,則的最大值為_14的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是_(用數(shù)字作答)15將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位,若所得的圖像關(guān)于直線對(duì)稱,則的最小值為_16設(shè)F為雙曲線C:的右焦點(diǎn),過F且斜率為的直線與雙曲線C的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn),且,則雙曲線C的離心率為_三、解答題:本題共6小題 ,共70分,其中第17題10分,第18-22題,各12分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。17已知是等差數(shù)列,是其前項(xiàng)和, , ,(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)當(dāng)取何值時(shí)最大,并求出這個(gè)最大值.18已知三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別是,若.(1)求角;(2)若,求周長的最大值.19我校的課外綜合實(shí)踐研究小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系,他們分別到市氣象觀測(cè)站與市醫(yī)院抄錄了1至6月份每月10號(hào)的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù),得到如下資料:日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日晝夜溫差 (C)1011131286就診人數(shù) (個(gè))222529261612該綜合實(shí)踐研究小組確定的研究方案是:先從這六組數(shù)據(jù)中選取2組,用剩下的4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).(1)若選取的是1月與6月的兩組數(shù)據(jù),請(qǐng)根據(jù)2至5月份的數(shù)據(jù),求出關(guān)于的線性回歸方程(2)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過2人,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是理想的,試問該小組所得線性回歸方程是否理想?參考數(shù)據(jù):.參考公式:回歸直線,其中.20如圖,在四棱錐中, ,且.(1)證明:平面平面; (2)若,求二面角的余弦值.21橢圓的兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為和,且橢圓經(jīng)過點(diǎn)(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)(直線不與軸重合),為橢圓的左頂點(diǎn),試證明:22已知函數(shù),其中(1)若曲線在處的切線與直線垂直,求的值;(2)記的導(dǎo)函數(shù)為當(dāng)時(shí),證明:存在極小值點(diǎn),且高二段考理科數(shù)學(xué)參考答案1D【解析】由題得,所以,故選D.2B【解析】=,則|z|=1.故選:B.3D【解析】由題意得,由兩向量平行可得,故選D。4B【解析】得故選擇B.5B【解析】根據(jù)題意,先在五個(gè)盒子中確定3個(gè),使其編號(hào)與球的編號(hào)相同,有C53=10種情況,剩下有2個(gè)盒子,2個(gè)球;其編號(hào)與球的編號(hào)不同,只有1種情況;由分步計(jì)數(shù)原理,共有110=10種,故選B6D【解析】根據(jù)分布列的性質(zhì)可得,解得,故選D.7B【解析】依次運(yùn)行框圖中的程序,可得:第一次,不滿足條件,繼續(xù)運(yùn)行;第二次,不滿足條件,繼續(xù)運(yùn)行;第三次,不滿足條件,繼續(xù)運(yùn)行;第四次,滿足條件,輸出4故選B8A【解析】法一:如圖,分別取的中點(diǎn),連,則,即為異面直線和所成的角(或者其補(bǔ)角)又由題意得,.設(shè),則.又,為等邊三角形,異面直線和所成角為,其余弦值為故選A法二:可用補(bǔ)形法,把四面體補(bǔ)成正方體。9C【解析】 故選擇C10D【解析】依題意得,所以,所以切線方程為。當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為,故選D.11A【解析】將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線與直線,得,所以得拋物線與直線,由得或,所以得,又拋物線的準(zhǔn)線是,再結(jié)合拋物線的定義得,故選A。12D【解析】由題意得函數(shù)是偶函數(shù),所以要使函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn),只需要方程有兩個(gè)正根,即有兩個(gè)正根。設(shè),則當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減。當(dāng)故要使有兩個(gè)正根,即和有兩個(gè)交點(diǎn),需滿足。實(shí)數(shù)的取值范圍是,故選D。133【解析】畫出可行域可知,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)取到最大值。最大值為14-20【解析】由二項(xiàng)式定理可知,展開式的通項(xiàng)為, 要求解的展開式中含的項(xiàng),則,所求系數(shù)為15【解析】將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位,得到的圖像,依題意,所得圖像關(guān)于直線對(duì)稱,則:,即,當(dāng)時(shí),最小值162或【解析】若,則由圖1可知,漸近線的斜率為,在中,由角平分線定理可得,所以,所以,.若,則由圖2可知,漸近線為邊的垂直平分線,故為等腰三角形,故,即該雙曲線的離心率為或2.17解:(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,聯(lián)立解得:=10,=2=102(n1)=122n(2)令=122n0,解得n6n=5或者6時(shí),Sn取得最大值,為S6=3018 解:(1)由正弦定理得,即又因,所以.(2)由正弦定理,周長,當(dāng)即時(shí)當(dāng)時(shí),周長的最大值.19解:(1),故關(guān)于的回歸直線方程: (2)當(dāng)時(shí), ; 而當(dāng)時(shí), 該小組所得線性回歸方程是理想的20解:(1)由已知,得,.由于,故,從而平面.又平面,所以平面平面.(2)在平面內(nèi)做,垂足為,由(1)可知,平面,故,可得平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)檩S正方向,為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由(1)及已知得,.所以,.設(shè)是平面的法向量,則,即,可取.設(shè)是平面的法向量,則,即,可取.則,所以二面角的余弦值為.21解:(1)法一:依題意,設(shè)橢圓方程為,由已知?jiǎng)t有,聯(lián)立解得;法二:由結(jié)合距離公式直接求出,結(jié)合,求出;法三:利用通徑長公式可得,再結(jié)合,求出和,故所求橢圓方程為; (4分)(2)設(shè)直線的方程為:,由得:,因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)部,直線必與橢圓相交于兩點(diǎn),即恒成立,設(shè),則; (8分)則,將代入
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