高考數(shù)學復習專題9.5：解析幾何應用題VIP

專題9.5：解析幾何應用題【拓展探究】1. 某人欲設計一個如圖所示的“蝴蝶形圖案（陰影區(qū)域）”其中是過拋物線焦點且互相垂直的兩條弦，該拋物線的對稱軸為，通徑長為4記，為銳角（通徑：經(jīng)過拋物線焦點且垂直于對稱軸的弦）（1）用表示的長；（2）試建立“蝴蝶形圖案”的面積關于的函數(shù)關系式，并設計的大小，使“蝴蝶形圖案”的面積最小【解】（1）由拋物線的定義知，解得，（2）據(jù)（1）同理可得，所以“蝴蝶形圖案”的面積， 即， 令，則，所以當，即時，的最小值為8 答：當時，可使“蝴蝶形圖案”的面積最小 2. 如圖，某隧道設計為雙向四車道，車道總寬22米，要求通行車輛限高4.5米，隧道全長2.5千米，隧道的拱線近似地看成半個橢圓形狀.（1）若最大拱高h為6米，則隧道設計的拱寬l是多少？（2）若最大拱高h不小于6米，則應如何設計拱高h和拱寬l，才能使半個橢圓形隧 道的土方工程量最??？（半個橢圓的面積公式為）【解】（1）如圖建立直角坐標系，則點，橢圓方程為.將b=h=6與點P坐標代入橢圓方程，得此時.因此隧道的拱寬約為33.3米.（2）由橢圓方程，得因為即且所以當取最小值時，有得此時故當拱高約為6.4米、拱寬約為31.1米時，土方工程量最小.3. 如圖所示，有兩條道路與，現(xiàn)要鋪設三條下水管道，（其中，分別在，上），若下水管道的總長度為，設，（1）求關于的函數(shù)表達式，并指出的取值范圍；（2）已知點處有一個污水總管的接口，點到的距離為，到點的距離為，問下水管道能否經(jīng)過污水總管的接口點？若能，求出的值，若不能，請說明理由5. 如圖,為了保護河上古橋,規(guī)劃建一座新橋BC,同時設立一個圓形保護區(qū).規(guī)劃要求: 新橋BC與河岸AB垂直; 保護區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓.且古橋兩端O和A到該圓上任意一點的距離均不少于80m. 經(jīng)測量，點A位于點O正北方向60m處, 點C位于點O正東方向170m處(OC為河岸),.（1）求新橋BC的長；（2）當OM多長時,圓形保護區(qū)的面積最大？【解法探究】（1）解法1：（兩角差的正切）連結(jié)，由題意知，則由兩角差的正切公式可得：，故答：新橋的長度為m.解法2：（解析法）由題意可知；由 可知直線的斜率，則直線所在直線的方程為；又由可知，所在的直線方程為；聯(lián)立方程組，解得；即點，那么. 答：新橋的長度為m.解法3：（初中解法）延長交所在直線于點，由可得，故，在中，由勾股定理得，故答：新橋的長度為m.（2）解法1：（解析法） 由題意設，圓的方程為，且由題意可知. 又古橋兩端O和A到該圓上任意一點的距離均不少于80m，那么，解得；由函數(shù)為區(qū)間上的減函數(shù)，故當時，半徑取到最大值為.綜上可知，當時，圓形保護區(qū)的面積最大，且最大值為.解法2：（初中解法）設與圓切于點，連接，過點作交于點.設，則，由古橋兩端O和A到該圓上任意一點的距離均不少于80 m，那么，解得. 由，可得，由（1）解法3可得，所以，故即圓的半徑的最大值為130，當且僅當時取得半徑的最大值. 綜上可知，當時，圓形保護區(qū)的面積最大. 6. 如圖，O為總信號源點，A，B，C是三個居民區(qū)，已知A，B都在O的正東方向上，OA = 10 ，OB = 20 ，C在O的北偏西45 方向上，CO =（1）求居民區(qū)A與C的距離； （2）現(xiàn)要經(jīng)過點O鋪設一條總光纜直線EF（E在直線OA的上方），并從A，B，C分別鋪設三條最短分光纜連接到總光纜EF假設鋪設每條分光纜的費用與其長度的平方成正比，比例系數(shù)為m（m為常