數(shù)學(xué)分析-CALCULUS---深圳大學(xué)ppt課件

.,1,級(jí)數(shù)與多元微積分SeriesandCalculousinSeveralVariables,授課教師：胡鵬彥授課對(duì)象：05本科,.,2,第十八章隱函數(shù)定理及其應(yīng)用,1隱函數(shù),2隱函數(shù)組,3幾何應(yīng)用,4條件極值,.,3,1可微性,一可微性與全微分,二偏導(dǎo)數(shù),三可微性條件,四可微性幾何意義及應(yīng)用,.,4,2復(fù)合函數(shù)微分法,一復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,二復(fù)合函數(shù)的全微分,.,5,4條件極值,條件極值,拉格朗日乘數(shù)法,掌握拉格朗日乘數(shù)解條件極值問題,理解拉格朗日函數(shù)的引入,拉格朗日乘數(shù)法的應(yīng)用,基本內(nèi)容:,基本要求:,重點(diǎn)難點(diǎn):,拉格朗日函數(shù)的引入,.,6,4條件極值,做一個(gè)容量為V的長方體開口水箱,問水箱,問題,的長、寬、高各等于多少時(shí),其表面積最小?,.,7,4條件極值,定義,(2),對(duì)自變量有約束條件的極值問題稱為條件極,的限制下求目標(biāo)函數(shù),值問題.,(3),的極值.,條件極值問題的一般形式為:在條件組,.,8,且在P0取得極值,則有,極值必要條件,若函數(shù)f在點(diǎn)P0(x0,y0)存在偏導(dǎo)數(shù),.,9,U(P0)內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且P0是f的穩(wěn)定點(diǎn).,極值充分條件,設(shè)二元函數(shù)f在點(diǎn)P0(x0,y0)的某鄰域,則當(dāng)H(P0)是正定矩陣時(shí),f在P0取得極小值;,當(dāng)H(P0)是負(fù)定矩陣時(shí),f在P0取得極大值;,當(dāng)H(P0)是當(dāng)H(P0)是不定矩陣時(shí),f在P0不取極值.,.,10,為f在點(diǎn)P0的黑賽(Hesse)矩陣.,稱矩陣,.,11,二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且P0是f的穩(wěn)定點(diǎn),則有,設(shè)二元函數(shù)f在點(diǎn)P0(x0,y0)的某鄰域U(P0)內(nèi)具有,(i)當(dāng),時(shí),f在點(diǎn)P0取得,極小值;,(ii)當(dāng),時(shí),f在點(diǎn)P0取得,極大值;,(iii)當(dāng),時(shí),f在點(diǎn)P0不能取得極值;,(iv)當(dāng),時(shí),不能肯定f在點(diǎn)P0是否,取得極值.,.,12,4條件極值,在約束條件,求函數(shù),下的條件極值.,.,13,確定的隱函數(shù)yg(x)的導(dǎo)數(shù)為,4條件極值,方程,.,14,上點(diǎn)P0(x0,y0)處切線的方向數(shù)為,4條件極值,平面曲線,.,15,定理18.6,其中f與k(k1,2,m)在D內(nèi)有連續(xù)的一階偏,雅可比矩陣,(13),4條件極值,設(shè)在條件(2)的限制下,求函數(shù)(3)的極值,導(dǎo)數(shù).若D的內(nèi)點(diǎn),是極值點(diǎn),且,.,16,的解.,4條件極值,的秩為m,則存在常數(shù),為下述nm個(gè)方程,使得,.,17,例1,截成一個(gè)橢圓.求這個(gè)橢圓到原點(diǎn)的最長與最短距離.,4條件極值,用拉格朗日乘數(shù)法求水箱設(shè)計(jì)問題的解.,被平面,例2,拋物面,.,18,其中a,b,c為任意正實(shí)數(shù).,4條件極值,下的極小值,并證明不等式,例3,求f(x,y,z)xyz在條件,.,19,上的點(diǎn)到xy平面的最小距離和最大距離.,4條件極值,1.設(shè)a0,求曲線,作業(yè),P.169.習(xí)題1.(1),(3).3.,補(bǔ)充作業(yè),證明不等式,2.設(shè),.,20,第十八章復(fù)習(xí),一、隱函數(shù):由方程所確定的函數(shù).,1隱函數(shù),二、隱函數(shù)定理:條件:(i)F,Fx和Fy連續(xù);,(ii)F(x0,y0)0;(iii)Fy(x0,y0)0,結(jié)論:F(x,y)0確定一個(gè)連續(xù)可微的函數(shù)yf(x),其導(dǎo)數(shù)為,.,21,第十八章復(fù)習(xí),三、利用隱函數(shù)定理解題的一般步驟:,1隱函數(shù),(i)確定F,求F對(duì)各變量的偏導(dǎo)數(shù);,(ii)驗(yàn)證F(P0)0及F和F對(duì)各變量偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性;,(iii)驗(yàn)證在P0處F對(duì)某變量偏導(dǎo)數(shù)不等于0;,(iv)利用隱函數(shù)定理求導(dǎo)數(shù).,注意:當(dāng)已知所給方程能夠確定連續(xù)可微的隱函數(shù),時(shí),該隱函數(shù)的(偏)導(dǎo)數(shù)可通過方程兩端求,(偏)導(dǎo)數(shù),然后解方程而得到.,.,22,第十八章復(fù)習(xí),一、隱函數(shù)組:由方程組所確定的函數(shù)組.,2隱函數(shù)組,二、隱函數(shù)組定理:條件:(i)F和G具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù);,(ii)F(P0)G(P0)0;(iii)Fy(x0,y0)0,結(jié)論:方程組F(x,y,u,v)0,G(x,y,u,v)0可確定一組,可微函數(shù)組u=u(x,y),v=v(x,y),且,(iii),.,23,第十八章復(fù)習(xí),三、利用隱函數(shù)組定理解題的步驟類似隱函數(shù)定理,1隱函數(shù),注意:方程組確定的隱函數(shù)組的(偏)導(dǎo)數(shù)可通過,方程兩端求(偏)導(dǎo)數(shù),然后解方程組給出.,.,24,第十八章復(fù)習(xí),一、平面曲線的切線與法線,3幾何應(yīng)用,求出曲線在指定點(diǎn)切線的斜率,即函數(shù)的導(dǎo)數(shù).,曲線由方程F(x,y)0確定,切線方程:,法線方程:,.,25,第十八章復(fù)習(xí),二、空間曲線的切線與法平面,3幾何應(yīng)用,求出曲線在指定點(diǎn)切線的方向向量.,曲線由參數(shù)方程給出,切線方程:,法平面方程:,切線的方向向量:,.,26,第十八章復(fù)習(xí),3幾何應(yīng)用,曲線由方程組給出,切線方程:,切線的方向數(shù):,.,27,第十八章復(fù)習(xí),3幾何應(yīng)用,法平面方程:,.,28,第十八章復(fù)習(xí),三、曲面的切平面與法線,3幾何應(yīng)用,求出曲面在指定點(diǎn)的法向量.,切平面方程:,法線方程:,法向量的方向數(shù):,.,29,第十八章復(fù)習(xí),