安徽省蚌埠市第二中學(xué)2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 理（含解析）

蚌埠二中2020學(xué)年第二學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)試題（理科）一、選擇題（在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則的虛部是（ ）A. 1B. C. 1D. 【答案】C【解析】【分析】先求，再求，即得結(jié)果.【詳解】因為，所以,因此 虛部是1,選C.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)運算以及虛部概念，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.2.利用反證法證明“若，則且”時，下列假設(shè)正確的是（ ）A. 且B. 且C. 或D. 或【答案】C【解析】“且”的否定為“或”，故選C： 或3.若的值為（ ）A. 1B. 7C. 20D. 35【答案】D【解析】試題分析：由條件利用組合數(shù)的性質(zhì)求得n的值，再根據(jù)n!的定義求得所給式子的值詳解：若，則有n=3+4=7，故 =35，故選：C點睛：本題主要考查組合數(shù)的性質(zhì)、計算公示的應(yīng)用，n!的定義，屬于中檔題4.展開式中，含項的系數(shù)為（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用二項式定理公式展開即可求得結(jié)果【詳解】展開式的通項公式為，展開式中，含項的系數(shù)為故選【點睛】本題主要考查了二項式系數(shù)的性質(zhì)，利用二項式定理公式展開即可求得結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題。5.下面四個命題：其中正確的有（ ）是兩個相等的實數(shù)，則是純虛數(shù)；任何兩個復(fù)數(shù)不能比較大??；若，且，則；兩個共軛復(fù)數(shù)的差為純虛數(shù)A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)概念進行判斷選擇.【詳解】時，不是純虛數(shù)；任何兩個實數(shù)可以比較大??；若，且，但；設(shè),則其共軛復(fù)數(shù)的差為或為純虛數(shù)綜上正確的有，選A.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)概念，考查基本分析判斷能力，屬基礎(chǔ)題.6.在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，由曲線，和所圍成的封閉圖形的面積為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：先求出直線y=x和曲線xy=1的交點的橫坐標(biāo)，再利用定積分求出曲線，和軸所圍成的封閉圖形的面積.詳解：聯(lián)立xy=1和y=x得x=1,(x=-1舍).由題得由曲線，和軸所圍成的封閉圖形的面積為，故選A.點睛：求曲線圍成的不規(guī)則的圖形的面積，一般利用定積分來求解.7.已知，則的值等于( )A. 64B. 32C. 63D. 31【答案】C【解析】因為 ，所以因此 ，選C.點睛：二項式通項與展開式的應(yīng)用(1)通項的應(yīng)用：利用二項展開式的通項可求指定項或指定項的系數(shù)等.(2)展開式的應(yīng)用：可求解與二項式系數(shù)有關(guān)求值，常采用賦值法.可證明整除問題(或求余數(shù)).關(guān)鍵是要合理地構(gòu)造二項式，并將它展開進行分析判斷.有關(guān)組合式的求值證明，常采用構(gòu)造法.8.現(xiàn)有張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各張.從中任取張，要求這張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多張.不同取法的種數(shù)為A. B. C. D. 【答案】C【解析】試題分析：3張卡片不能是同一種顏色，有兩種情形：三種顏色或者兩種顏色，如果是三種顏色，取法數(shù)為，如果是兩種顏色，取法數(shù)為，所以取法總數(shù)為，故選C考點：分類加法原理與分步乘法原理【名師點晴】（1）對于一些比較復(fù)雜的既要運用分類加法計數(shù)原理又要運用分步乘法計數(shù)原理的問題，我們可以恰當(dāng)?shù)禺嫵鍪疽鈭D或列出表格，使問題更加直觀、清晰（2）當(dāng)兩個原理混合使用時，一般是先分類，在每類方法里再分步9.設(shè)三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，函數(shù)的圖象的一部分如圖所示，則（ ）A. 的極大值為，極小值為B. 的極大值為，極小值為C. 的極大值為，極小值為D. 的極大值為，極小值為【答案】D【解析】解：觀察圖象知，x-3時，y=xf（x）0，f（x）0-3x0時，y=xf（x）0，f（x）0由此知極小值為f（-3）0x3時，y=xf（x）0，f（x）0x3時，y=xf（x）0，f（x）0由此知極大值為f（3）故選D10.在平面直角坐標(biāo)系中，滿足，的點的集合對應(yīng)的平面圖形的面積為；類似的，在空間直角坐標(biāo)系中，滿足,， 的點 的集合對應(yīng)的空間幾何體的體積為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】試題分析：在平面直角坐標(biāo)系中，滿足的點的集合對應(yīng)的平面圖形的面積為以原點為圓心，半徑為的圓的面積的，即；當(dāng)，時，點的集合對應(yīng)的空間幾何體的體積為以為球心，半徑為的球體的，即.考點：類比推理11.函數(shù) （ ）A. 極大值為，極小值為B. 極大值為，極小值為C. 極大值為，極小值為D. 極大值為，極小值為，【答案】B【解析】由題意，則，由，得，由得，即函數(shù)在和上增函數(shù)，在上是減函數(shù)，因此是極大值，是極小值，故選B12.設(shè)函數(shù)在R上存在導(dǎo)函數(shù) ，對于任意的實數(shù)，都，當(dāng)時，若，則實數(shù)的最小值為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性求解不等式.【詳解】因為，所以，所以令,則，所以為奇函數(shù)，當(dāng)時，,因為所以為R上單調(diào)減函數(shù),由得,所以,即實數(shù)的最小值為，選A.【點睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性求解不等式，考查綜合分析與求解能力，屬較難題.二：填空題。13.若函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】轉(zhuǎn)化為函數(shù)有極值點，利用導(dǎo)數(shù)求解.【詳解】因為函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，所以函數(shù)有極值點，即在上有零點，即.【點睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性與極值，考查基本分析與求解能力，屬中檔題.14.將9個相同的小球放入3個不同的盒子，要求每個盒子中至少有1個小球，且每個盒子中的小球個數(shù)都不相同，則共有_種不同的放法.【答案】18【解析】【分析】先確定盒子球數(shù)分配方法，再進行排列.【詳解】由題意得三個盒子球數(shù)為（1，2，6），（1，3，5），（2，3，4）這三種，所以共有種不同的放法.【點睛】本題考查排列應(yīng)用題，考查基本分析與求解能力，屬中檔題.15.設(shè)且，若能被整數(shù)，則_【答案】12【解析】【分析】先求除以的余數(shù)，再確定的值.【詳解】因為,所以除以的余數(shù)為1，因此能被整數(shù)，而且，所以【點睛】本題考查二項式定理應(yīng)用，考查基本分析與求解能力，屬中檔題.16.如圖所示的數(shù)陣中，第20行第2個數(shù)字是_【答案】【解析】【分析】根據(jù)數(shù)陣先確定每行第一個數(shù)，再根據(jù)每行第二個數(shù)的分母為上一行肩上兩個數(shù)分母的和進行列式求解.【詳解】根據(jù)數(shù)陣第行第一個數(shù)為，每行第二個數(shù)的分母為上一行肩上兩個數(shù)分母的和，所以第行第二個數(shù)為，即第20行第2個數(shù)字是.【點睛】本題考查歸納推理，考查基本分析與求解能力，屬中檔題.三：解答題。17.已知復(fù)數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位）（）求；（）若為純虛數(shù)，求實數(shù)的值?！敬鸢浮浚?）；（2）.【解析】【詳解】分析：(1) ）設(shè)，可得，解得從而可得結(jié)果；(2) 由（1）知，利用為純虛數(shù)可得，從而可得結(jié)果.詳解：（1）設(shè)，由于則：解得：（2）由（1）知又為純虛數(shù)，點睛：本題主要考查的是復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)的乘法、除法運算，屬于中檔題解題時一定要注意和以及 運算的準(zhǔn)確性，否則很容易出現(xiàn)錯誤.18.已知函數(shù)（）求曲線在點處的切線方程；（）求曲線的單調(diào)區(qū)間及在上的最大值【答案】（I）；（II）單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為,最大值為.【解析】試題分析：(I)先求得在處切線斜率,再求得切點坐標(biāo),由此求得切線方程.(II)利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,根據(jù)單調(diào)區(qū)間求得最大值.試題解析：（I）解:因為,則,所以切線方程為（II）令得,當(dāng)時,;當(dāng)時,;當(dāng)時,所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為;當(dāng)時,.19.已知（，）展開式的前三項的二項式系數(shù)之和為16，所有項的系數(shù)之和為1.（）求和的值；（）展開式中是否存在常數(shù)項？若有，求出常數(shù)項；若沒有，請說明理由；（）求展開式中二項式系數(shù)最大的項.【答案】（1）（2）不存在常數(shù)項.（3），【解析】試題分析：（1）由題意得，根據(jù)組合數(shù)公式求得，由賦值法得，解得.（2）先根據(jù)二項式通項公式得 ，再根據(jù)x次數(shù)無零解得不存在常數(shù)項.（3）由二項式性質(zhì)得展開式中中間兩項的二項式系數(shù)最大，再根據(jù)二項式定理求中間兩項試題解析：解：（1）由題意，即.解得，或（舍去），所以因為所有項的系數(shù)之和為1，所以，解得.（2）因為，所以 .令，解得，所以展開式中不存在常數(shù)項.（3）由展開式中二項式系數(shù)的性質(zhì)，知展開式中中間兩項的二項式系數(shù)最大，二項式系數(shù)最大的兩項為：；.點睛：二項展開式的二項式系數(shù)與該項的系數(shù)是兩個不同的概念，前者是指組合數(shù)，而后者是字母外的部分.前者只與和有關(guān)，恒為正，后者還與有關(guān)，可正可負.通項是第項，不是第項.20.由四個不同的數(shù)字1，2，4，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).（最后的結(jié)果用數(shù)字表達）（）若,其中能被5整除的共有多少個？（）若，其中能被3整除的共有多少個？（）若，其中的偶數(shù)共有多少個？（）若所有這些三位數(shù)的各位數(shù)字之和是252，求【答案】（1）6個；（2）12個；（3）14個；（4）x=7【解析】試題分析：（1）若x=5，根據(jù)題意，要求的三位數(shù)能被5整除，則5必須在末尾，在1、2、4三個數(shù)字中任選2個，放在前2位，由排列數(shù)公式計算可得答案；（2）若x=9，根據(jù)題意，要求的三位數(shù)能被3整除，則這三個數(shù)字為1、2、9或2、4、9，分“取出的三個數(shù)字為1、2、9”與“取出的三個數(shù)字為2、4、9”兩種情況討論，由分類計數(shù)原理計算可得答案；（3）若x=0，根據(jù)題意，要求的三位數(shù)是偶數(shù)，則這個三位數(shù)的末位數(shù)字為0或2或4，分“末位是0”與“末位是2或4”兩種情況討論，由分類計數(shù)原理計算可得答案；（4）分析易得x=0時不能滿足題意，進而討論x0時，先求出4個數(shù)字可以組成無重復(fù)三位數(shù)個數(shù)，進而可以計算出每個數(shù)字用了18次，則有252=18（1+2+4+x），解可得x的值解：（1）若x=5，則四個數(shù)字為1，2，4，5；又由要求的三位數(shù)能被5整除，則5必須在末尾，在1、2、4三個數(shù)字中任選2個，放在前2位，有A32=6種情況，即能被5整除的三位數(shù)共有6個；（2）若x=9，則四個數(shù)字為1，2，4，9；又由要求的三位數(shù)能被3整除，則這三個數(shù)字為1、2、9或2、4、9，取出的三個數(shù)字為1、2、9時，有A33=6種情況，取出的三個數(shù)字為2、4、9時，有A33=6種情況，則此時一共有6+6=12個能被3整除的三位數(shù)；（3）若x=0，則四個數(shù)字為1，2，4，0；又由要求的三位數(shù)是偶數(shù)，則這個三位數(shù)的末位數(shù)字為0或2或4，當(dāng)末位是0時，在1、2、4三個數(shù)字中任選2個，放在前2位，有A32=6種情況，當(dāng)末位是2或4時，有A21A21A21=8種情況，此時三位偶數(shù)一共有6+8=14個，（4）若x=0，可以組成C31C31C21=332=18個三位數(shù)，即1、2、4、0四個數(shù)字最多出現(xiàn)18次，則所有這些三位數(shù)的各位數(shù)字之和最大為（1+2+4）18=126，不合題意，故x=0不成立；當(dāng)x0時，可以組成無重復(fù)三位數(shù)共有C41C31C21=432=24種，共用了243=72個數(shù)字，則每個數(shù)字用了=18次，則有252=18（1+2+4+x），解可得x=7考點：排列、組合的實際應(yīng)用21.已知，（其中）.（）求及；（）試比較與的大小，并用數(shù)學(xué)歸納法給出證明過程.【答案】(1)；(2)答案見解析.【解析】試題分析：（1）采用賦值法，令，右邊=左邊=，也采用賦值法，令；（2）根據(jù)（1）得到，等于比較與的大小，首先賦幾個特殊值，采用不完全歸納法，得到答案，然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明.試題解析：（1）取，則； 2分取，4分（2）要比較與的大小，即比較與的大小.當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，； 6分猜想：當(dāng)時，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： 7分由上述過程可知，時結(jié)論成立；假設(shè)當(dāng)時結(jié)論成立，即兩邊同乘以3得：時，即時結(jié)論也成立.當(dāng)時，成立. 11分綜上所述，當(dāng)或時，；當(dāng)時，. 12分考點：1.二項式定理中的賦值法；2.數(shù)學(xué)歸納法；3.不完全歸納法.22.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見解析；(2).【解析】分析：（1）先求導(dǎo)，再對a分類討論，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. (2)對a分類討論，作出函數(shù)的圖像，分析出函數(shù)f(x)有兩個零點所滿足的條件，從而求出a的取值范圍.詳解:（1）由題意得當(dāng)時，令，則；令，則，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，則或，（）當(dāng)時，令，則或；令，則，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；（）當(dāng)時，令，則或；令，則，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）