四川省雅安市2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題 理（含解析）

四川省雅安市2020學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題一、選擇題（本大題共12小題，共60.0分）1.直線：和：垂直，則實(shí)數(shù)A. B. 1 C. 或1 D. 3【答案】A【解析】【分析】本題可以根據(jù)直線與直線的解析式以及兩直線垂直的相關(guān)性質(zhì)列出算式，然后通過計(jì)算得出結(jié)果?！驹斀狻坑?，解得，故選A?！军c(diǎn)睛】本題考查兩直線之間的位置關(guān)系，主要考查兩直線垂直的相關(guān)性質(zhì)，有直線和直線垂直，則有，考查計(jì)算能力，是簡單題。2.若命題p：，則為A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】C【解析】【分析】本題首先可以判斷出命題是特稱命題，然后根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題，分別對(duì)量詞和結(jié)論進(jìn)行否定即可得出結(jié)果?！驹斀狻棵}是特稱命題，則命題的否定是：，故選C。【點(diǎn)睛】本題考查命題的否定，主要考查了全稱命題與特稱命題的否定的應(yīng)用，特稱命題的否定是全稱命題，需要對(duì)量詞和結(jié)論進(jìn)行否定，是簡單題。3.中，若，則該三角形的形狀是：（ ）A. 銳角三角形 B. 等邊三角形 C. 鈍角三角形 D. 等腰直角三角形【答案】D【解析】【分析】利用空間向量模的公式求出三角形三邊的長，從而可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所以，且，是等腰直角三角形，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間向量的線性運(yùn)算以及空間向量模的公式的應(yīng)用，意在考查靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解答問題的能力，屬于中檔題.4.“”是“”的（ ）A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】先得出，由子集關(guān)系可得解?！驹斀狻浚砂?，得是充分不必要條件。故選A【點(diǎn)睛】在判斷充分不必要條件，必要不充分條件，充分必要條件時(shí)轉(zhuǎn)化為集合的關(guān)系。等價(jià)于是的子集。5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：初始化數(shù)值，執(zhí)行循環(huán)結(jié)構(gòu)，判斷條件是否成立，詳解：初始化數(shù)值循環(huán)結(jié)果執(zhí)行如下：第一次：不成立；第二次：成立，循環(huán)結(jié)束，輸出，故選B.點(diǎn)睛：此題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)型程序框圖，解決此類問題的關(guān)鍵在于：第一，要確定是利用當(dāng)型還是直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)；第二，要準(zhǔn)確表示累計(jì)變量；第三，要注意從哪一步開始循環(huán)，弄清進(jìn)入或終止的循環(huán)條件、循環(huán)次數(shù).6.已知圓，圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，則圓的方程為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】試題分析：在圓上任取一點(diǎn),則此點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在圓上,所以有，即,所以答案為,故選B.考點(diǎn)：曲線關(guān)于直線的對(duì)稱曲線方程的求法.7.如圖，將矩形沿對(duì)角線把折起，使移到點(diǎn)，且在平面上的射影恰好在上，則與所成角是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由線面垂直的性質(zhì)可得 ，由矩形的性質(zhì)可得 ,由此可得 平面，從而可得 ，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)樵谄矫嫔系纳溆扒『迷谏?，所?平面，因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)，所以 ，又因?yàn)?,與在平面內(nèi)相交，所以， 平面，在平面內(nèi)，所以 ，、成的角為，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線所成的角，以及線面垂直的判定與性質(zhì)，屬于中檔題. 解答空間幾何體中垂直關(guān)系時(shí)，一般要根據(jù)已知條件把空間中的線線、線面、面面之間垂直關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化時(shí)要正確運(yùn)用有關(guān)的定理，找出足夠的條件進(jìn)行推理.8.某校高三年級(jí)共有學(xué)生900人，編號(hào)為1，2，3，900，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為45的樣本，若在第一組抽取的編號(hào)是5，則抽取的45人中，編號(hào)落在區(qū)間的人數(shù)為A. 10 B. 11 C. 12 D. 13【答案】C【解析】【分析】本題首先可以通過總量以及樣本數(shù)量計(jì)算出樣本組距，然后根據(jù)區(qū)間的間距以及系統(tǒng)抽樣的性質(zhì)即可得出結(jié)果?！驹斀狻?00人中抽取樣本容量為45的樣本，樣本組距為：；則編號(hào)落在區(qū)間的人數(shù)為，故選C。【點(diǎn)睛】本題考查的是系統(tǒng)抽樣的相關(guān)性質(zhì)，牢記系統(tǒng)抽樣的定義與性質(zhì)并正確求出樣本間距是解決本題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，是簡單題。9.三棱錐中，平面，則和平面所成角的正切值為（ ）A. 1 B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】在平面內(nèi)過作，垂足為，連接 ，可證明平面，即是和平面 所成的角，利用等腰三角形的性質(zhì)與勾股定理求出，的值，從而可得結(jié)果.【詳解】在平面內(nèi)過作，垂足為，連接 ，因?yàn)?，所以是的中點(diǎn)，且，平面， 平面，即是和平面 所成的角，和平面 所成角的正切值是，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與平面所成的角，屬于與中檔題. 求線面角的方法：1、根據(jù)圖形正確作出線面角是解決問題的關(guān)鍵，但這要求學(xué)生必須具有較強(qiáng)的空間想象能力，同時(shí)還應(yīng)寫出必要的作、證、算過程；2、對(duì)于特殊的幾何體，如長方體、正方體等當(dāng)比較容易建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)，也可采用向量法求解.10.已知直線與圓相交于A、B兩點(diǎn)，則大小為A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本題首先可以通過圓的方程得出圓心O的坐標(biāo)以及半徑，然后利用點(diǎn)到直線距離公式求出圓心到直線AB的距離，接下來通過圓心到直線AB的距離以及圓的半徑就可以求出線段AB的長，最后得出的形狀以及大小?！驹斀狻扛鶕?jù)題意，圓的圓心O的坐標(biāo)為，半徑，則圓心到直線AB的距離，因?yàn)橹本€與圓相交于A、B兩點(diǎn)，所以，則有，則為等邊三角形，所以，故選C?！军c(diǎn)睛】本題考查圓的相關(guān)性質(zhì)，主要考查圓與直線相交的相關(guān)性質(zhì)，考查點(diǎn)到直線距離公式，鍛煉了學(xué)生的推理能力與計(jì)算能力，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題。11.已知三棱錐中，且、兩兩垂直，是三棱錐外接球面上一動(dòng)點(diǎn)，則到平面的距離的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】是棱長為1的正方體上具有公共頂點(diǎn)的三條棱,以為原點(diǎn),分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系,三棱錐外接球就是正方體的外接球，由正方體及球的幾何性質(zhì)可得點(diǎn)與重合時(shí)，點(diǎn)到平面的距離最大，求出平面的法向量，由點(diǎn)到直線的距離公式即可得結(jié)果.【詳解】三棱錐，滿足兩兩垂直，且，如圖是棱長為1的正方體上具有公共頂點(diǎn)的三條棱,以為原點(diǎn),分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系,則，設(shè)平面的法向量，則，取，得，三棱錐外接球就是棱長為1的正方體的外接球，是三棱錐外接球上一動(dòng)點(diǎn)，由正方體與球的幾何性質(zhì)可得，點(diǎn)點(diǎn)與重合時(shí)，點(diǎn)到平面的距離最大，點(diǎn)到平面的距離的最大值為.故選C.【點(diǎn)睛】求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.12.已知圓，過圓上一點(diǎn)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別是E、F，則的最小值是A. 6 B. 5 C. 4 D. 3【答案】A【解析】【分析】本題首先可以通過圓的方程得出圓的圓心軌跡，然后畫出圓的圓心軌跡圖像以及圓的圖像，通過圖像可以得出線段的取值范圍以及的解析式，最后通過函數(shù)性質(zhì)即可得出結(jié)果?！驹斀狻坑煽傻茫簣A的圓心在圓的圓周上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，則，由圖可知：，由在上為增函數(shù)可知，當(dāng)時(shí)，取最小值6，故選A?！军c(diǎn)睛】本題考查圓的相關(guān)性質(zhì)，主要考查圓的方程的相關(guān)性質(zhì)以及圓的切線的相關(guān)性質(zhì)，考查推理能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、方程思想以及化歸思想，是難題。二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.若直線：和：平行，則實(shí)數(shù)_【答案】1【解析】【分析】本題可以通過直線與直線的直線方程以及兩直線平行的相關(guān)性質(zhì)列出等式，然后通過計(jì)算即可得出結(jié)果。【詳解】由，解得經(jīng)過驗(yàn)證可得滿足條件，故答案為1。【點(diǎn)睛】本題考查兩直線的位置關(guān)系，主要考查兩直線平行的相關(guān)性質(zhì)，若直線和直線平行，則有，同時(shí)要注意兩直線不能重合，考查計(jì)算能力，是簡單題。14.若直線在x軸上的截距在范圍內(nèi)，則該直線在y軸上的截距大于1的概率是_【答案】【解析】【分析】本題首先可以通過“直線在x軸上的截距在范圍內(nèi)”確定所有的基本事件構(gòu)成的區(qū)間長度，然后確定“直線在y軸上的截距b大于1”包含的基本事件構(gòu)成的區(qū)間長度，最后根據(jù)幾何概型概率公式進(jìn)行計(jì)算即可得出結(jié)果?！驹斀狻克械幕臼录?gòu)成的區(qū)間長度為，因?yàn)橹本€在y軸上的截距b大于1，所以直線橫截距小于，所以“直線在y軸上的截距b大于1”包含的基本事件構(gòu)成的區(qū)間長度為，由幾何概型概率公式可得“直線在y軸上的截距b大于1”的概率為，故答案為。【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型的相關(guān)性質(zhì)，主要考查幾何概型中的長度型的相關(guān)性質(zhì)，解決本題的重點(diǎn)在于找到所有的基本事件構(gòu)成的區(qū)間長度以及滿足題目條件的基本事件構(gòu)成的區(qū)間長度，考查推理能力，是簡單題。15.已知命題：，為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】分兩種情況討論，結(jié)合拋物線的圖象，列不等式求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，為真命題，符合題意；當(dāng)時(shí)，要使，為真命題，則對(duì)應(yīng)的拋物線開口向上且與軸沒有交點(diǎn)，可得，綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查全稱命題的定義，以及一元二次不等式恒成立問題，屬于簡單題. 一元二次不等式恒成立問題主要方法：（1）若實(shí)數(shù)集上恒成立，考慮判別式小于零即可；（2）若在給定區(qū)間上恒成立，則考慮運(yùn)用“分離參數(shù)法”轉(zhuǎn)化為求最值問題.16.正三角形邊長為，其所在平面上有點(diǎn)、滿足：，則的最大值為_【答案】【解析】【分析】如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)的軌跡方程為，令，又，可得，代入，即可得出結(jié)果.【詳解】如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，滿足，點(diǎn)的軌跡方程為，令，又， 則， ，的最大值是.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算以及換元法的應(yīng)用、三角函數(shù)求最值，屬于難題. 求與三角函數(shù)有關(guān)的最值常用方法有以下幾種：化成的形式利用配方法求最值；形如的可化為的形式利用三角函數(shù)有界性求最值；型，可化為求最值 .三、解答題（本大題共6小題，共70.0分）17.已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，求AC邊所在直線方程；求線段BC的中垂線所在直線方程【答案】（1）（2）【解析】【分析】可通過兩點(diǎn)坐標(biāo)以及直線的截距式方程即可求出AC邊所在直線方程；首先可通過兩點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算出BC中點(diǎn)坐標(biāo)，然后通過直線BC的斜率計(jì)算出線段BC的中垂線斜率，最后通過直線的點(diǎn)斜式方程即可得出結(jié)果?！驹斀狻坑伞⒅本€AC所在直線方程為，即；由、可知BC中點(diǎn)為，又因?yàn)?，所以線段BC的中垂線斜率為，所以線段BC的中垂線所在直線方程為，即?！军c(diǎn)睛】本題考查的是直線的相關(guān)性質(zhì)，主要考查的是直線的截距式方程、直線的點(diǎn)斜式方程、兩直線垂直的相關(guān)性質(zhì)，考查計(jì)算能力，考查對(duì)直線的基礎(chǔ)性質(zhì)的理解，是簡單題。18.半期考試后，班長小王統(tǒng)計(jì)了50名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績，繪制頻率分布直方圖如圖所示根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這50名同學(xué)的數(shù)學(xué)平均成績；用分層抽樣的方法從成績低于115的同學(xué)中抽取6名，再在抽取的這6名同學(xué)中任選2名，求這兩名同學(xué)數(shù)學(xué)成績均在中的概率【答案】（1）（2）【解析】【分析】用頻率分布直方圖中的每一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)乘以對(duì)應(yīng)的概率并求和即可得出結(jié)果；首先可通過分層抽樣確定6人中在分?jǐn)?shù)段以及分?jǐn)?shù)段中的人數(shù)，然后分別寫出所有的基本事件以及滿足題意中“兩名同學(xué)數(shù)學(xué)成績均在中”的基本事件，最后兩者相除，即可得出結(jié)果?！驹斀狻坑深l率分布表，估計(jì)這50名同學(xué)的數(shù)學(xué)平均成績?yōu)椋?；由頻率分布直方圖可知分?jǐn)?shù)低于115分的同學(xué)有人，則用分層抽樣抽取6人中，分?jǐn)?shù)在有1人，用a表示，分?jǐn)?shù)在中的有5人，用、表示，則基本事件有、，共15個(gè)，滿足條件的基本事件為、，共10個(gè)，所以這兩名同學(xué)分?jǐn)?shù)均在中的概率為?！军c(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖以及古典概型的相關(guān)性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是對(duì)頻率分布直方圖的理解以及對(duì)古典概型概率的計(jì)算公式的使用，考查推理能力，是簡單題。19.如圖，四棱錐中，底面ABCD，底面ABCD中，又，E為PC中點(diǎn)求證：平面PAD；求異面直線PA與CB所成角【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】(1)首先可以取的中點(diǎn)為并連接、，然后利用三角形中位線的相關(guān)性質(zhì)證明出四邊形為平行四邊形以及，即可得出結(jié)果；(2)首先可以取中點(diǎn)并連接，然后通過證明得出異面直線PA與CB所成角即，最后利用三邊長即可得出結(jié)果?！驹斀狻?1)取的中點(diǎn)為，連接、，則在中，且，因?yàn)榍?，所以且，所以四邊形為平行四邊形，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?2)取中點(diǎn)，連接，因?yàn)榍遥詾槠叫兴倪呅?，所以或其補(bǔ)角為PA與CB所成角，由題意得，所以，與所成角為?！军c(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明以及異面直線所成角的求解，線面平行可以通過線線平行來證明，而異面直線所成角則可以通過線線平行將其轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的直線所成角并求解，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題。20.對(duì)某城市居民家庭年收入（萬元）和年“享受資料消費(fèi)”（萬元）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得數(shù)據(jù)如表所示.6810122356（1）請(qǐng)根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程.（2）若某家庭年收入為18萬元，預(yù)測該家庭年“享受資料消費(fèi)”為多少？（參考公式：，）【答案】（1）（2）10.3萬元【解析】【分析】(1)根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，做出變量的平均數(shù)，求出最小二乘法所需要的數(shù)據(jù)，可得線性回歸方程的系數(shù),再根據(jù)樣本中心點(diǎn)一定在線性回歸方程上，求出的值，寫出線性回歸方程； (2)根據(jù)上一問做出的線性回歸方程和家庭年收入為18萬元,代入線性回歸方程求出對(duì)應(yīng)的的值，即可預(yù)測該家庭年“享受資料消費(fèi)”.【詳解】（1）由數(shù)據(jù)求得， ，故y關(guān)于x的線性回歸方程為：.（2）當(dāng)x=18時(shí)，由線性回歸方程求得，故家庭年收入為18萬元時(shí)，預(yù)測該家庭年“享受資料消費(fèi)”為10.3萬元【點(diǎn)睛】本題主要考查線性回歸方程的求解與應(yīng)用，屬于中檔題.求回歸直線方程的步驟：依據(jù)樣本數(shù)據(jù)確定兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系；計(jì)算的值；計(jì)算回歸系數(shù)；寫出回歸直線方程為； 回歸直線過樣本點(diǎn)中心是一條重要性質(zhì)，利用線性回歸方程可以估計(jì)總體，幫助我們分析兩個(gè)變量的變化趨勢(shì).21.如圖，在以、為頂點(diǎn)的五面體中，是平行四邊形，平面平面，.（1）求證：；（2）若，與平面所成角為，求該五面體的體積.【答案】（1）詳見解析（2）【解析】【分析】（1）過作于，連接，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可證明平面，可得，利用全等三角形以及等腰直角三角形的性質(zhì)可得即，由線面垂直的判定定理可得平面，從而可得結(jié)果；（2）由（1）知為與平面所成角，可得，由可得結(jié)果.【詳解】（1）過作，連接，平面平面，且交線為 平面，而 ，又 ， ，而 ，又 ，而 .（2）由知，而 由（1）知為等腰直角三角形，而，又由（1）知為與平面所成角，0而， 【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的判定與性質(zhì)及空間幾何體的體積，屬于中檔題. 空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略：（1）求簡單幾何體的體積時(shí)若所給的幾何體為柱體錐體或臺(tái)體，則可直接利用公式求解(2)求組合體的體積時(shí)若所給定的幾何體