吉林省東北師范大學(xué)附屬中學(xué)2020年高中數(shù)學(xué) 3.3幾何概型教案 新人教A必修3

3.3 幾何概型3.3.13.3.2幾何概型及均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生一、教學(xué)目標(biāo)：1、 知識(shí)與技能：（1）正確理解幾何概型的概念；（2）掌握幾何概型的概率公式：P（A）=；（3）會(huì)根據(jù)古典概型與幾何概型的區(qū)別與聯(lián)系來(lái)判別某種概型是古典概型還是幾何概型；（4）了解均勻隨機(jī)數(shù)的概念；（5）掌握利用計(jì)算器（計(jì)算機(jī)）產(chǎn)生均勻隨機(jī)數(shù)的方法；（6）會(huì)利用均勻隨機(jī)數(shù)解決具體的有關(guān)概率的問(wèn)題2、 過(guò)程與方法：（1）發(fā)現(xiàn)法教學(xué)，通過(guò)師生共同探究，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成，學(xué)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，培養(yǎng)邏輯推理能力；（2）通過(guò)模擬試驗(yàn)，感知應(yīng)用數(shù)字解決問(wèn)題的方法，自覺(jué)養(yǎng)成動(dòng)手、動(dòng)腦的良好習(xí)慣。3、 情感態(tài)度與價(jià)值觀：本節(jié)課的主要特點(diǎn)是隨機(jī)試驗(yàn)多，學(xué)習(xí)時(shí)養(yǎng)成勤學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)習(xí)慣。二、重點(diǎn)與難點(diǎn)：1、幾何概型的概念、公式及應(yīng)用；2、利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生均勻隨機(jī)數(shù)并運(yùn)用到概率的實(shí)際應(yīng)用中三、學(xué)法與教學(xué)用具：1、通過(guò)對(duì)本節(jié)知識(shí)的探究與學(xué)習(xí)，感知用圖形解決概率問(wèn)題的方法，掌握數(shù)學(xué)思想與邏輯推理的數(shù)學(xué)方法；2、教學(xué)用具：投燈片，計(jì)算機(jī)及多媒體教學(xué)四、教學(xué)設(shè)想：1、創(chuàng)設(shè)情境：在概率論發(fā)展的早期，人們就已經(jīng)注意到只考慮那種僅有有限個(gè)等可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)是不夠的，還必須考慮有無(wú)限多個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的情況。例如一個(gè)人到單位的時(shí)間可能是8：00至9：00之間的任何一個(gè)時(shí)刻；往一個(gè)方格中投一個(gè)石子，石子可能落在方格中的任何一點(diǎn)這些試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果都是無(wú)限多個(gè)。2、基本概念：（1）幾何概率模型：如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）成比例，則稱(chēng)這樣的概率模型為幾何概率模型；（2）幾何概型的概率公式：P（A）=；（3）幾何概型的特點(diǎn)：1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）有無(wú)限多個(gè)；2）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等1、 例題分析：課本例題略例1 判下列試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概度是古典概型，還是幾何概型。（1）拋擲兩顆骰子，求出現(xiàn)兩個(gè)“4點(diǎn)”的概率；（2）如課本P132圖33-1中的(2)所示，圖中有一個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)，甲乙兩人玩轉(zhuǎn)盤(pán)游戲，規(guī)定當(dāng)指針指向B區(qū)域時(shí)，甲獲勝，否則乙獲勝，求甲獲勝的概率。分析：本題考查的幾何概型與古典概型的特點(diǎn)，古典概型具有有限性和等可能性。而幾何概型則是在試驗(yàn)中出現(xiàn)無(wú)限多個(gè)結(jié)果，且與事件的區(qū)域長(zhǎng)度有關(guān)。解：（1）拋擲兩顆骰子，出現(xiàn)的可能結(jié)果有66=36種，且它們都是等可能的，因此屬于古典概型；（2）游戲中指針指向B區(qū)域時(shí)有無(wú)限多個(gè)結(jié)果，而且不難發(fā)現(xiàn)“指針落在陰影部分”，概率可以用陰影部分的面積與總面積的比來(lái)衡量，即與區(qū)域長(zhǎng)度有關(guān)，因此屬于幾何概型例2 某人欲從某車(chē)站乘車(chē)出差，已知該站發(fā)往各站的客車(chē)均每小時(shí)一班，求此人等車(chē)時(shí)間不多于10分鐘的概率分析：假設(shè)他在060分鐘之間任何一個(gè)時(shí)刻到車(chē)站等車(chē)是等可能的,但在0到60分鐘之間有無(wú)窮多個(gè)時(shí)刻,不能用古典概型公式計(jì)算隨機(jī)事件發(fā)生的概率.可以通過(guò)幾何概型的求概率公式得到事件發(fā)生的概率.因?yàn)榭蛙?chē)每小時(shí)一班,他在0到60分鐘之間任何一個(gè)時(shí)刻到站等車(chē)是等可能的,所以他在哪個(gè)時(shí)間段到站等車(chē)的概率只與該時(shí)間段的長(zhǎng)度有關(guān),而與該時(shí)間段的位置無(wú)關(guān),這符合幾何概型的條件.解:設(shè)A=等待的時(shí)間不多于10分鐘,我們所關(guān)心的事件A恰好是到站等車(chē)的時(shí)刻位于50,60這一時(shí)間段內(nèi),因此由幾何概型的概率公式,得P(A)= =，即此人等車(chē)時(shí)間不多于10分鐘的概率為小結(jié)：在本例中，到站等車(chē)的時(shí)刻X是隨機(jī)的，可以是0到60之間的任何一刻，并且是等可能的，我們稱(chēng)X服從0,60上的均勻分布，X為0,60上的均勻隨機(jī)數(shù)練習(xí)：1已知地鐵列車(chē)每10min一班，在車(chē)站停1min，求乘客到達(dá)站臺(tái)立即乘上車(chē)的概率。2兩根相距6m的木桿上系一根繩子，并在繩子上掛一盞燈，求燈與兩端距離都大于2m的概率解：1由幾何概型知，所求事件A的概率為P(A)= ；2記“燈與兩端距離都大于2m”為事件A，則P(A)= =例3 在1萬(wàn)平方千米的海域中有40平方千米的大陸架儲(chǔ)藏著石油，假設(shè)在海域中任意一點(diǎn)鉆探，鉆到油層面的概率是多少？分析：石油在1萬(wàn)平方千米的海域大陸架的分布可以看作是隨機(jī)的而40平方千米可看作構(gòu)成事件的區(qū)域面積，有幾何概型公式可以求得概率。解：記“鉆到油層面”為事件A，則P(A)= =0.004答：鉆到油層面的概率是0.004例4 在1升高產(chǎn)小麥種子中混入了一種帶麥誘病的種子，從中隨機(jī)取出10毫升，則取出的種子中含有麥誘病的種子的概率是多少？分析：病種子在這1升中的分布可以看作是隨機(jī)的，取得的10毫克種子可視作構(gòu)成事件的區(qū)域，1升種子可視作試驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域，可用“體積比”公式計(jì)算其概率。解：取出10毫升種子，其中“含有病種子”這一事件記為A，則P(A)= =0.01答：取出的種子中含有麥誘病的種子的概率是0.01例5 取一根長(zhǎng)度為3m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長(zhǎng)都不小于1m的概率有多大？分析：在任意位置剪斷繩子，則剪斷位置到一端點(diǎn)的距離取遍0，3內(nèi)的任意數(shù)，并且每一個(gè)實(shí)數(shù)被取到都是等可能的。因此在任意位置剪斷繩子的所有結(jié)果（基本事件）對(duì)應(yīng)0，3上的均勻隨機(jī)數(shù)，其中取得的1，2內(nèi)的隨機(jī)數(shù)就表示剪斷位置與端點(diǎn)距離在1，2內(nèi)，也就是剪得兩段長(zhǎng)都不小于1m。這樣取得的1，2內(nèi)的隨機(jī)數(shù)個(gè)數(shù)與0，3內(nèi)個(gè)數(shù)之比就是事件A發(fā)生的概率。解法1：（1）利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生一組0到1區(qū)間的均勻隨機(jī)數(shù)a1=RAND（2）經(jīng)過(guò)伸縮變換，a=a1*3（3）統(tǒng)計(jì)出1，2內(nèi)隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù)N1和0，3 內(nèi)隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù)N（4）計(jì)算頻率fn(A)=即為概率P（A）的近似值解法2：做一個(gè)帶有指針的圓盤(pán)，把圓周三等分，標(biāo)上刻度0，3（這里3和0重合）轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤(pán)記下指針在1，2（表示剪斷繩子位置在1，2范圍內(nèi)）的次數(shù)N1及試驗(yàn)總次數(shù)N，則fn(A)=即為概率P（A）的近似值小結(jié)：用隨機(jī)數(shù)模擬的關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題中事件A及基本事件總體對(duì)應(yīng)的區(qū)域轉(zhuǎn)化為隨機(jī)數(shù)的范圍。解法2用轉(zhuǎn)盤(pán)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，這種方法可以親自動(dòng)手操作，但費(fèi)時(shí)費(fèi)力，試驗(yàn)次數(shù)不可能很大；解法1用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，可以產(chǎn)生大量的隨機(jī)數(shù)，又可以自動(dòng)統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)的結(jié)果，同時(shí)可以在短時(shí)間內(nèi)多次重復(fù)試驗(yàn)，可以對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的隨機(jī)性和規(guī)律性有更深刻的認(rèn)識(shí)例6 在長(zhǎng)為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)M，并以線段AM為邊作正方形，求這個(gè)正方形的面積介于36cm2與81cm2之間的概率分析：正方形的面積只與邊長(zhǎng)有關(guān)，此題可以轉(zhuǎn)化為在12cm長(zhǎng)的線段AB上任取一點(diǎn)M，求使得AM的長(zhǎng)度介于6cm與9cm之間的概率解：（1）用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生一組0，1內(nèi)均勻隨機(jī)數(shù)a1=RAND（2）經(jīng)過(guò)伸縮變換，a=a1*12得到0，12內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)（3）統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)總次數(shù)N和6，9內(nèi)隨機(jī)數(shù)個(gè)數(shù)N1（4）計(jì)算頻率記事件A=面積介于36cm2與81cm2之間=長(zhǎng)度介于6cm與9cm之間，則P（A）的近似值為fn(A)=4、課堂小結(jié)：1、幾何概型是區(qū)別于古典概型的又一概率模型，使用幾何概型的概率計(jì)算公式時(shí)，一定要注意其適用條件：每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度成比例；2、均勻隨機(jī)數(shù)在日常生活中，有著廣泛的應(yīng)用，我們可以利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)來(lái)產(chǎn)生均勻隨機(jī)數(shù)，從而來(lái)模擬隨機(jī)試驗(yàn)，其具體方法是：建立一個(gè)概率模型，它與某些我們感興趣的量（如概率值、常數(shù) ）有關(guān)，然后設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)脑囼?yàn)，并通過(guò)這個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果來(lái)確定這些量5、自我評(píng)價(jià)與課堂練習(xí)：1在500ml的水中有一個(gè)草履蟲(chóng)，現(xiàn)從中隨機(jī)取出2ml水樣放到顯微鏡下觀察，則發(fā)現(xiàn)草履蟲(chóng)的概率是（ ）A0.5 B0.4 C0.004 D不能確定2平面上畫(huà)了一些彼此相距2a的平行線，把一枚半徑ra的硬幣任意擲在這個(gè)平面上，求硬幣不與任何一條平行線相碰的概率3某班有45個(gè)，現(xiàn)要選出1人去檢查其他班的衛(wèi)生，若每個(gè)人被選到的機(jī)會(huì)均等，則恰好選中學(xué)生甲主機(jī)會(huì)有多大？4如圖3-18所示，曲線y=-x2+1與x軸、y軸圍成一個(gè)區(qū)域A，直線x=1、直線y=1、x軸圍成一個(gè)正方形，向正方形中隨機(jī)地撒一把芝麻，利用計(jì)算機(jī)來(lái)模擬這個(gè)試驗(yàn)，并統(tǒng)計(jì)出落在區(qū)域A內(nèi)的芝麻數(shù)與落在正方形中的芝麻數(shù)。6、評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：1C（提示：由于取水樣的隨機(jī)性，所求事件A：“在取出2ml的水樣中有草履蟲(chóng)”的概率等于水樣的體積與總體積之比=0.004）2解：把“硬幣不與任一條平行線相碰”的事件記為事件A，為了確定硬幣的位置，由2aroM硬幣中心O向靠得最近的平行線引垂線OM，垂足為M，如圖所示，這樣線段OM長(zhǎng)度（記作OM）的取值范圍就是o,a，只有當(dāng)rOMa時(shí)硬幣不與平行線相碰，所以所求事件A的概率就是P（A）=3提示：本題應(yīng)用計(jì)算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)進(jìn)行模擬試驗(yàn)，請(qǐng)按照下面的步驟獨(dú)立完成。（1）用145的45個(gè)數(shù)來(lái)替代45個(gè)人；（2）用計(jì)算器產(chǎn)生145之間的隨機(jī)數(shù)，并記錄；（3）整理數(shù)據(jù)并填入下表試 驗(yàn)次 數(shù)50100150200250300350400450500600650700750800850900100010501出現(xiàn)的頻數(shù)1出現(xiàn)的頻率（4）利用穩(wěn)定后1出現(xiàn)的頻率估計(jì)恰好選中學(xué)生甲的機(jī)會(huì)。4解：如下表，由計(jì)算機(jī)產(chǎn)生兩例01之間的隨機(jī)數(shù)，它們分別表示隨機(jī)點(diǎn)（x,y）的坐標(biāo)。如果一個(gè)點(diǎn)（x,y）滿(mǎn)足y-x2+1，就表示這個(gè)點(diǎn)落在區(qū)域A內(nèi)，在下表中最