高考數(shù)學(xué)必修知識講解兩角差的余弦公式基礎(chǔ)VIP

兩角差的余弦公式編稿：丁會敏 審稿：王靜偉【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1經(jīng)歷用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式的過程，進一步體會向量方法的作用.2通過簡單運用，使學(xué)生初步理解公式的結(jié)構(gòu)及功能，為建立其它和（差）公式打好基礎(chǔ).3.通過教學(xué)活動，使學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、猜想、論證的數(shù)學(xué)化的過程，并體驗到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的嚴(yán)謹(jǐn)、求實的科學(xué)態(tài)度，逐步培養(yǎng)學(xué)生探索問題的精神?！疽c梳理】要點一：兩角差的余弦公式1兩角差的余弦公式的推導(dǎo)：（1）如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作單位圓，以為始邊作角，它們的終邊與單位圓的交點分別為，則由向量數(shù)量積的概念，有，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，有所以= （*）（2）由以上的推導(dǎo)過程可知，是任意角，則也應(yīng)為任意角，但由兩個向量數(shù)量積的意義，（*）中的。為此，我們討論如下：由于是任意角，由誘導(dǎo)公式，總可以找到一個角，使。若，則。若，則，且由以上的討論可知，對于任意的，都有：= 2公式的記憶右端為的同名三角函數(shù)積，連接符號與左邊角的連接符號相反。要點詮釋：(1)公式中的都是任意角。(2)差角的余弦公式不能按分配律展開，即。(3)要正確地識記公式結(jié)構(gòu)，公式右端的兩部分為同名三角函數(shù)積，左端為兩角差的余弦。要點二：兩角差余弦公式的逆向應(yīng)用和活用1逆用 =要點詮釋：公式使用時不僅要會正用，還要能夠逆用，在很多時候，逆用更能簡捷地處理問題.如：由能迅速地想到。2角變換后使用。3移項運用4特殊化使用5以代即【典型例題】類型一：利用差角的余弦公式進行證明高清課堂：兩角差的余弦公式 401789 例1例1求證：（1）（2）【思路點撥】（1）用代，利用兩角差的余弦公式展開。（2）利用及兩角和的余弦公式可證得。【證明】（1）= = （2） = = = =舉一反三：【變式1】證明： = = = = =類型二：利用兩角差的余弦公式化簡三角函數(shù)式例2化簡：【答案】 0 【解析】原式?！究偨Y(jié)升華】化簡三角函數(shù)式是為了更清楚地顯示式中所含量之間的關(guān)系，以便于應(yīng)用公式。對于三角函數(shù)式的化簡，要求：（1）能求出值的應(yīng)求出值；（2）使三角函數(shù)的種類最少；（3）使項數(shù)盡量少；（4）盡量使分母中不含有三角函數(shù)；（5）盡量使被開方數(shù)不含有三角函數(shù)。對于本題我們看到，化簡前與化簡后相比，化簡后顯然簡潔得多，而且關(guān)系也清晰得多。舉一反三：【變式1】化簡：?！敬鸢浮俊窘馕觥吭? = = = =類型三：利用差角的余弦公式求值例3求值：（1）（2）（3）cos(35)cos(25+)+sin(35)sin(25+)；【思路點撥】（1）利用求解（2）利用兩角差的余弦公式（3）把35和25+看作一個整體，利用兩角差的余弦公式?！敬鸢浮浚?）（2）（3）【解析】（1） = =（2）原式（3）原式?！究偨Y(jié)升華】兩角差的余弦公式中，可以是單個角，也可以是兩個角的和或差，在運用公式時常將兩角的和或差視為一個整體，如（3）中的（）可視為一個整體。分析題目特點，構(gòu)造兩角的差，然后應(yīng)用兩角差的余弦公式，是常見題型。 舉一反三：【變式1】求值：cos15cos105+sin15sin105【解析】原式=cos(15105)=cos(90)=0【變式2】求值：【解析】原式= = = = = 例4已知【思路點撥】若展開，又由，從而可得出關(guān)于的方程求解.經(jīng)觀察：，故又可直接由代入求解.【答案】【解析】由由故【總結(jié)升華】 仔細分析角與角之間的關(guān)系是利用兩角差的余弦公式求值的關(guān)系，解這類題時要“一看角、二看名、三看結(jié)構(gòu)”。舉一反三：【變式1】已知，求?！敬鸢?