第7章+圖像重建20110512.ppt

數(shù)字圖像處理學(xué)第7章圖像重建,圖像重建:ImageReconstruction指根據(jù)對場景的投影數(shù)據(jù)獲取場景中物質(zhì)分布的信息分類二維圖像重建一個物體的多個軸向投影圖重建目標(biāo)圖像三維物體重建由物體的圖像重建三維物體模型,由物體截面投影來重建該截面圖象是近年來發(fā)展起來工獲得廣泛應(yīng)用的圖像處理技術(shù)。圖像重建的最典型應(yīng)用是醫(yī)學(xué)上的計算斷層攝影技術(shù)（ComputerizedTomography,CT）。它用于人體頭部、腹部等內(nèi)部器官的無損傷診斷，其基本方法就是根據(jù)人體截面投影，經(jīng)過計算機(jī)處理來重建截面圖象。問題：能否從投影中恢復(fù)原圖？答復(fù)是肯定的。,例如：斷層攝影圖像的獲取,基本方法如圖所示，從線性并排著的X線源發(fā)射一定強(qiáng)度的X線，把通過身體的X線用與X線源平行排列的X線檢測器接收。然后把X線源和檢測器組以體軸為中心一點一點的旋轉(zhuǎn)，反復(fù)進(jìn)行同樣的操作。利用這樣求得的在各個角度上的投影數(shù)據(jù)，就可得到了垂直于體軸的斷面圖像。,A,B,C,D,E,F,6,15,12,9,12,9,解聯(lián)立方程組,得,三維重建,為了測出三維物體的形狀，一方面可以一點點地移動位置，一方面求出多個垂直于通過物體中心線的斷面，然后把它們依次連接起來，即根據(jù)一系列二維圖像的位置變化構(gòu)成三維圖像。一旦這樣的物體三維信息被恢復(fù)，就可以求出關(guān)于具有任意傾斜度平面的斷面，或者可以由三維的任意方向來看物體，從而使對物體形狀的判讀變得非常容易。從多個斷面恢復(fù)三維形狀的方法有Voxel法（體素法）、分塊的平面近似法。,7.1概述,圖像處理一個重要研究分支是物體圖像的重建，被廣泛應(yīng)用于檢測和觀察，而重建方法一般是根據(jù)物體一些橫截面部分的投影而進(jìn)行的。在一些應(yīng)用中，某個物體的內(nèi)部結(jié)構(gòu)圖像的檢測只能通過這種重建才不會有任何物理上的損傷。例如：醫(yī)療放射學(xué)、核醫(yī)學(xué)、電子顯微、無線和雷達(dá)天文學(xué)、光顯微和全息成像學(xué)及理論視覺等等領(lǐng)域都多有應(yīng)用。,在醫(yī)學(xué)影像處理中重建是醫(yī)學(xué)圖像獲取的重要方法。如醫(yī)療放射學(xué)，核醫(yī)學(xué)，電子顯微等領(lǐng)域是必不可少的技術(shù)，在工業(yè)生產(chǎn)中的無損檢測技術(shù)圖像重建也扮演重要角色。,假設(shè)兩個嵌在內(nèi)部的物體只能從外邊觀察，如何才能達(dá)到檢測目的：將物體切開是一種顯而易見的解決方法。但多數(shù)情況下這樣做不實際，如醫(yī)療檢查，天文觀察，工業(yè)中的無損檢測，光傳導(dǎo)中的測量等一些應(yīng)用都不能采用這種破壞性方法。,圖7-1圖像重建的透射、反射、發(fā)射三種模式示意圖,在三維重建處理中研究的主要問題及不同的重建方案有三種透射模型建立于能量通過物體后有一部分能量會被吸收的基礎(chǔ)之上，透射模型經(jīng)常用于X射線、電子射線及光線和熱輻射的情況下，它們都遵從一定的吸收規(guī)則發(fā)射模型可用來確定物體的位置。這種方法已經(jīng)廣泛用于正電子檢測，通過在相反的方向分解散射的兩束伽馬射線，則這兩束射線的度越時間可用來確定物體的位置反射模型可以用來測定物體的表面特征，例如光線、電子束、雷達(dá)，激光或超聲波等都可以用來進(jìn)行這種測定,圖像重建多年來已經(jīng)取得巨大進(jìn)展，有許多有效算法，如：代數(shù)法、迭代法、傅里葉反投影法、卷積反投影法等。其中以卷積反投影法運用最廣泛，因其運算量小、速度快；又以傅里葉反投影算法最為基礎(chǔ)。,7.2傅里葉變換重建,傅里葉變換是最簡單的重建方法。一個三維(或二維)物體，它的二維(或一維)投影的傅里葉變換恰與此物體的傅里葉變換的主體部分相等,而傅里葉變換重建方法也正是以此為基礎(chǔ)的。,通過將投影進(jìn)行旋轉(zhuǎn)和部分傅里葉變換可以首先構(gòu)造整個的傅里葉變換的平面，然后只須再通過傅里葉反變換就可以得到重建后的物體。,傅里葉變換重建的原理如下：1974年SheppandLogan,令f(x,y)代表一圖像函數(shù)，則此二維函數(shù)的傅里葉變換為：,而圖像在x軸上的投影為：,投影的一維傅氏變換為：,恰與二維傅氏變換的表達(dá)式一致。即：,二維圖像之一維投影的傅里葉變換，等于該二維圖像傅里葉變換之中心剖面.,問題由F(u,0)無法從已知投影gy(x)重建原圖像f(x,y)如果投影不在x軸或y軸上，而在和x軸夾一角的方向,現(xiàn)在假設(shè)將函數(shù)投影到一條經(jīng)過旋轉(zhuǎn)的直線上，該直線的旋轉(zhuǎn)角度為。,新投影軸坐標(biāo)系和原坐標(biāo)系間的關(guān)系：,圖72投影幾何關(guān)系,定義旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)為：,而將函數(shù)投影的直線選為x軸。投影點通過對距離t軸為處的一平行線進(jìn)行函數(shù)積分，因此，該投影可如下表示：,這里,積分路徑是沿著直線進(jìn)行。此投影的一維傅氏變換為:,展開后為:,對比函數(shù)的二維傅里葉變換:,有,即令(u,v)點是在一條和u軸成角的直線上，并且與原點的距離為r，則對,即當(dāng)頻率變量u，v和r，滿足條件時，二維圖像f(x,y)在與x軸夾角的射線s上的投影的傅立葉變換，恰好等于該圖像函數(shù)之二維傅立葉變換。,o,v,u,(r,),r,為使展開式與投影的二維傅里葉變換相等，把指數(shù)項做某種代換得到下式：,若投影變換中的所有及值都是已知的，則圖像的二維變換也是可以確定的。為得到圖像函數(shù)，我們須進(jìn)行反變換運算，即：,這就是重建技術(shù)的基礎(chǔ)，要準(zhǔn)確地重建原圖像，必須向足夠多的射線進(jìn)行投影,這些結(jié)論很容易推廣到三維情形中。令:,表示一物體,這里f可為實數(shù)或復(fù)數(shù)。它的三維傅氏變換由下式給出它的三維傅氏變換由下式給出,而變換的核心部分是,通過定義，縱剖面或在面上的投影是：,注意到的二維傅里葉變換正好等于上述三維變換的核心部分。,這也說明如果投影在平面上旋轉(zhuǎn)了角度，相應(yīng)的傅里葉變換部分正好也將在變換域內(nèi)的平面內(nèi)轉(zhuǎn)過角。這樣，投影可以采用不同的方向角插入到三維變換域中。,建立一個傅里葉變換空間需要很多的投影。最后,通過傅里葉反變換重建圖像。既然在三維空間中的任意平面都可以被重建，那么，一個二維圖像的重建也不失一般性。,我們可重寫二維投影方程，定出及投影平面：,這里是光線幾何路徑中的微分長度。,傅里葉變換的結(jié)論由下面給出：,如圖73所示。圖中（a）是投影數(shù)據(jù)，(b)是傅里葉變換的組合。若已知無數(shù)的投影，從極坐標(biāo)中計算得到的投影變換推出在矩形平面中的傅里葉變換并不困難。,圖73傅里葉變換的幾何原理,但是，若只有有限個投影是有效的，則可能需要在變換中插入一些數(shù)據(jù)。另外需要注意的是，雖然只須一維傅里葉變換的投影數(shù)據(jù)就可構(gòu)成變換空間，但圖像重建則需要二維反變換。由此，我們得出一個推論，即：三維圖像不能在得到部分投影數(shù)據(jù)過程中局部地重建，而必須延遲到所有投影數(shù)據(jù)都獲得之后才能重建。,7.3卷積法重建,首先看下極坐標(biāo)中的傅里葉反變換表達(dá)式,笛卡爾坐標(biāo)系和極坐標(biāo)的關(guān)系,由對稱共軛特性可得到：,令,這里:,則，,此表達(dá)式亦可寫成下列形式：,此處，*號代表卷積運算。此卷積表達(dá)式可直接寫成：,這里，過的積分可以解釋為在對求偏導(dǎo)的變換式。這種解釋的重要性在于：若取樣值個數(shù)為有限的，則積分值為有限的，也就是收斂。應(yīng)注意到，前面所寫的含有|的積分表達(dá)式(719)不總是收斂的。,另外，這樣求導(dǎo)也可推出一種很簡便的圖像重建方法。假定將投影數(shù)據(jù)都存放于一等量矩形空間內(nèi)，這種存放數(shù)據(jù)的方式稱為。,對于一恒定值，我們可線性地濾出該投影數(shù)據(jù)，即可在頻域內(nèi)用Rho濾波器乘以|R|得出，也可以在空間域內(nèi)通過一個濾波器沖激響應(yīng)是Rho頻率濾波器的反變換的投影數(shù)據(jù)卷積得出，,此處，積分上下限是無限的，但在實際中一定為有限值。,這一處理就是所謂的方法。為得到最終的重建圖像，只需將對在一特定值作積分，即：,此處,這個處理過程如圖75所示。圖中（a）是投影數(shù)據(jù)卷積，(b)是對于卷積的Rho濾波。,因為這一重建技術(shù)只需用到一維濾波和積分，因而在重建處理中具有極大吸引力。另外，該方法可以很容易產(chǎn)生與極坐標(biāo)中的圖像相對應(yīng)的矩形值。,重建方程的數(shù)字解決方法可以使我們得到一線性方程系統(tǒng)，從而解決確定該圖像的問題。我們可以使用直接、迭代或直接迭代混合算法來使問題近似成為一系列線性方程表示。這樣一來，近似算法就變得很容易了。,7.4代數(shù)重建方法,7.5重建的優(yōu)化問題,圖像重建中的問題也可以通過選擇一合理的準(zhǔn)則函數(shù)來解決。此函數(shù)用來衡量真實圖像與重建圖像之間的差異，并且開發(fā)一種使此準(zhǔn)則函數(shù)最小的解決方案。Kaskyap和Mittal于1975年巧妙地將重建問題轉(zhuǎn)變成最小化(函數(shù))問題，目前已有多種基于該準(zhǔn)則的代數(shù)解決方案。,首先引入向量符號來表示重建投影。令代表一圖像向量，此向量通過將圖像行向量堆成一列向量而形成，即：,考慮到投影射線是以相對于水平角度入射，如圖77所示，還應(yīng)注意到個這樣的投影，其角度分別從，令是角度為時投影的向量值，顯然，可以認(rèn)為它有個分量組成，,圖77角度為的透影元素的賦值,將各角度的投影向量縱向排列,可得到個分量組成的向量，,如果投影值假定為下述圖像值的線性組合，則：,其中，集合由投影組合的所有元素組成。,注意到某個幾何加權(quán)也能夠計算出來。,它是與射線寬度和圖76中所示的元素的圖形單元的交集部分有關(guān)的。為了簡便起見，可不這樣做。比較合適的方法是，如果一條入射角為的射線落在單元內(nèi)任一點，則總有一個元素可以用來組成投影值。,在這種假設(shè)下，有如下所述的過程來得到元素的集合。首先，在圖像元素取一單元，此單元也可以稱為單元，此處,且令元素的中心在現(xiàn)在令為圖像主對角線的投影線，此時軸與水平軸夾角為。如圖77所示，則長度為：,將此長度平均分為等分，。將一元素分配給集合D的原則是：若單元的中心投影落在相應(yīng)的增量范圍內(nèi)，則認(rèn)為此單元是投影的一部分。單元在上的中心投影為,如果單元的投影滿足條件,這里,則對一給定的值，可以認(rèn)為此點在集合內(nèi)。實質(zhì)上，對于每個投影過程來說，每一圖像元素的中心都被投影了，而上述條件則用以確定圖像元素是否被投影了。,以下討論數(shù)學(xué)過程中存在的問題。投影方程的集合可以寫成,這里是一個大小為、個元素的二元矩陣,注意到方程的解是：當(dāng)且僅當(dāng)時，有唯一解；當(dāng)時，無解；當(dāng)時，有多個解?，F(xiàn)在圖像重建問題已經(jīng)簡化為解線性方程組的問題。下一個要考慮的問題是準(zhǔn)則函數(shù)的選擇。,第一個準(zhǔn)則與局部是否平坦的或在一個局部一個元素與其鄰點間的強(qiáng)度是否有差別有關(guān)。這時叫做非均勻函數(shù)，其表達(dá)式如下,其中是8鄰域平滑矩陣。矩陣是結(jié)構(gòu)半正定的。注意到，對于均勻圖像。因此，需要使用約束條件來解決最小化問題。這可能會使不確定系統(tǒng)得不到唯一解。所以，考慮準(zhǔn)則函數(shù)：,的第一項與圖像的能量有關(guān)，也與樣本方差有關(guān)。由于,此處，常量可用實驗方法來確定，可以獲得最好的重建圖像的那一個值便是常量。,現(xiàn)在，圖像重建的問題就可歸結(jié)為最小化的問題了，這是由前述約束條件推導(dǎo)出來的。,而有約束的最小化問題可以通過引入一個的拉格朗日（Lagrange）乘數(shù)向量“”加以解決。我們引入一新的準(zhǔn)則函數(shù),它可被直接最小化，在考慮到的情況下，為了最小化，我們來計算偏導(dǎo)數(shù),令偏導(dǎo)數(shù)為零，則得到：,由于是一半正定矩陣，是一非奇矩陣，因此，我們可以解出:,其中，的值可以通過上式乘以加以確定：,這個結(jié)果與約束條件,相同。如果時，可能是非奇異的，就可能得到一個假答案。如：,這里，表示偽逆，對于重建圖像可以寫成：,這里，,注意到矩陣僅與下列因素有關(guān)：參數(shù)，圖像幾何結(jié)構(gòu)以及約束條件。所以可以預(yù)先計算出來。因為矩陣尺寸很大，并且需要采用逆矩陣的方法計算，則就計算方法來說，最優(yōu)化重建方法并非是最簡便的一種。,7.6圖像重建中的濾波器設(shè)計,為說明濾波器設(shè)計中的問題，我們先復(fù)習(xí)最簡單的解決方案即卷積算法的步驟，即：1)、收集投影數(shù)據(jù),并將數(shù)據(jù)存放于一矩形空間，即所謂的layergram。,2)、對于一固定值，從方向線性地過濾layergram，即用|R|的逆變換對數(shù)據(jù)卷積：,3）、在一特定值，通過Rho-濾波，對layergram以為積分變量作積分，計算出反投影。即：,這里，,圖像重建主要包括三個步驟。第一步，數(shù)據(jù)采集；將投影數(shù)據(jù)收集并存放于layergram中。第二步，濾波；濾波對重建圖像的質(zhì)量至關(guān)重要。圖像的質(zhì)量依賴于濾波器。第三步，反向投影；這是一個積分過程，此過程需要對每一個圖像元素進(jìn)行計算，因此計算量很大。,幾種濾波器的設(shè)計如下：由Ramachandran和Lakshiminarayanan（1971）定義的濾波器空間脈沖響應(yīng)如下式：,這個濾波器當(dāng)時用線性內(nèi)插,這個濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)是,這里項來自于取樣間的線性內(nèi)插的結(jié)果。,Shapp和Logan(1974)用相同的線性內(nèi)插改進(jìn)了上面濾波器函數(shù)，即：,其相應(yīng)的頻率響應(yīng)為：,為解決噪音的問題，Shapp和Logan提出了一種噪音平滑濾波器,濾波器的頻率響應(yīng)為：,通用的Reed-Kwoh濾波器組的頻率響應(yīng)沒有線性內(nèi)插形式，即：,這里，被稱為抑制因子，它可以決定截止頻率，是一個滾降參數(shù)，它決定濾波器的尖銳性。由于濾波器的數(shù)字特性，被認(rèn)為具有周期為的周期性。線性內(nèi)插通過因子來修改濾波器。,對于=1的情況，Reed-Kwoh濾波器的沖激響應(yīng)如下：,并且,對于有,當(dāng)1，可用數(shù)字方式來得到?jīng)_激響應(yīng)圖78給出了幾種濾波器頻響特性的比較。,圖78幾種濾波器的響應(yīng),77重建圖像的顯示,圖像重建的目的是對目標(biāo)進(jìn)行測量和觀察，因此，重建圖像中大量信息的直觀顯示是圖像重建的任務(wù)之一。人只能觀察某些物體的表面特性。早期，常用的三維實體顯示裝置是用時間序列描述第三維信息，即用二維顯示方法顯示三維附加信息。采用這種方法的主要問題是單個切片的總信息不能在一幅圖像中顯示，而是需要一個圖像的序列。這種顯示方法的直觀性是很差的。,7.7.1重建圖像的顯示,在重建圖像中，首先考慮圖像的信息密度問題。如果一幅圖像是N*N矩陣，每一個像素包含種可能種可能的灰度，圖像的總比特數(shù)為：,要求圖像顯示的數(shù)目為：,如果，則，。這樣一來，每幅圖像像素包含的最大信息為：,所以，具有1024級灰度的圖像每像素可包含10比特的信息量。,由于像素之間的相關(guān)性，實際的信息量將比這一最大信息量小得多。我們可以用計算每一像素的水平直方圖的方法估計在一幅圖像中的一階熵，即：,還要考慮到分辨率N和每像素比特數(shù)之間并不是線性關(guān)系，某些心理視覺資料表明對于相同的圖像質(zhì)量，M與N之間的關(guān)系必須加以修正。同時在重建圖像的顯示方法中必須考慮人的視覺系統(tǒng)對灰度范圍和精確度的限制。,盡管定量描述有些困難，但實驗表明，在最好的觀察條件下，人類僅能分辨幾十種灰度、幾千種不同的顏色和幾秒的弧度，而大多數(shù)情況下視覺條件都難于達(dá)到最佳條件，因此，人眼能分辨的灰度級和顏色都是有限的。,7.7.2單色顯示,三維重建圖像的單色顯示有：飛點掃描、CRT、平板顯示器、機(jī)械微光圖像密度計或打印機(jī)輸出設(shè)備等。實際應(yīng)用中陰極射線管(CRT)及液晶等平板顯示器是典型的輸出設(shè)備。在圖像顯示中的線性、量化、開窗口和增強(qiáng)（如平滑、銳化、高通濾波）處理是提高顯示質(zhì)量的必要技術(shù)。,線性處理是首先考慮的預(yù)處理技術(shù)。給定一幅數(shù)字重建圖像，數(shù)據(jù)和顯示器灰度間具有非線性特性，為了獲得數(shù)據(jù)與灰度之間的線性關(guān)系，必須考慮視覺條件和人的視覺系統(tǒng)。,把人的視覺系統(tǒng)特性也考慮在內(nèi)的話，數(shù)字圖像與實際感覺的灰度也是非線性的。這就說明如果沒有校正步驟在兩種觀察條件下都不可能得到最佳圖像質(zhì)量。,在CRT的觀察條件下，一給定點的發(fā)光強(qiáng)度與電壓的關(guān)系可近似為:指數(shù)大小與對比度有關(guān)若電壓值與圖像數(shù)N成比例，則,發(fā)光強(qiáng)度與圖像數(shù)N成指數(shù)關(guān)系：,如果圖像用負(fù)冪數(shù)來表示，則圖像可用表示,于是，在發(fā)光強(qiáng)度和圖像之間就可以得到一個線性關(guān)系:,對于一個給定的CRT的值很容易測得。,7.7.3重建對象的顯示,重建信息三維矩陣的顯示本身就是一個復(fù)雜的問題。其中最基本的方法是顯示密度信息和表面信息。在大多數(shù)應(yīng)用中，由重建算法所得到的密度信息可以直接在收集了投影數(shù)據(jù)的幾何薄片上顯示。第三維信息可以用一組二維圖像簡單描述顯示出來。,1真實感顯示近年來，計算機(jī)圖形學(xué)的發(fā)展極大的促進(jìn)了圖像三維重建技術(shù)的發(fā)展。圖像三維重建技術(shù)與計算機(jī)圖形學(xué)的結(jié)合使得重建的三維圖像極具真實感。真實感顯示的關(guān)鍵技術(shù)是濃淡層次和光照模型的運用。,三維重建中的光照模型主要有二個主要成分，重建物體的表面特性與照明特性。表面特性又包括物體的表面反射特性和透明特性。反射特性確定照射到物體表面的光有多少被反射，當(dāng)物體表面對不同波長的光具有不同的反射系數(shù)時，就會出現(xiàn)不同的顏色。,透明性確定有多少光線從物體中透射過去，對于透明物體，其顏色由透射光決定。照明特性在濃淡處理中與物體表面特性有同等的重要性。如果照明光源是來自各個方向的均勻光，該種光源稱之為漫反射光。如果光源是點光源，物體表面會出現(xiàn)高光效應(yīng)。除此之外，在照明效果中還會出現(xiàn)光線被遮擋的陰影效應(yīng)。,光照模型包括局部光照模型和整體光照模型。局部光照模型只考慮光源的漫反射和鏡面反射，而整體光照模型要考慮物體間的相互影響，光在物體間的多重吸收，以及反射和透射。,較為著名的局部光照模型有Torrance和Sparrow于1967年提出的TorranceSparrow光照模型，BuiTuongPhong于1973年提出的Phong光照模型，Cook和Torrance于1981年提出的CookTorrance光照模型等。,實用的整體光照模型有Whitted光照模型、Hall光照模型、雙向光線跟蹤和分布式光線跟蹤等。,2簡單的光照模型光線照射到物體表面時，它可以被吸收、反射或透射。被吸收的光能轉(zhuǎn)化為熱能，而被反射或透射的光能才能使物體可見并呈現(xiàn)顏色。反射光決定于光的成分、光源的幾何性質(zhì)以及物體表面的方向和表面的性質(zhì)。,反射光分為漫反射光和鏡面反射光。漫反射光是光穿過物體表面被吸收后重新發(fā)射出來的光，它均勻地分布在各個方向，因此，觀察者的觀察位置是無關(guān)緊要的。鏡面反射光由物體的外表面反射所產(chǎn)生。,Lambert余弦定律總結(jié)了點光源照射在完全漫反射體上的光的反射規(guī)則，根據(jù)這一定律，一個完全的漫反射體上反射出來的光強(qiáng)度同入射光與物體表面法線間夾角的余弦成正比。即：,式中，為反射光的強(qiáng)度，為從一點光源發(fā)出的入射光的光強(qiáng)，為漫反射系數(shù)（），為指向光源方向與表面法向量之間的夾角。,圖718漫反射示意圖圖719鏡面反射示意圖,如圖718所示：當(dāng)時，光源位于物體后面，無意義。漫反射系數(shù)取決于物體表面材料。反射光強(qiáng)是光波長的函數(shù)，在簡單光照模型中，通常假定與光波長無關(guān)。,根據(jù)Lambert漫反射光照模型繪制的物體表面顯得比較暗淡，在實際環(huán)境中，物體還會受到從周圍景物散射光的影響，這是一種亮度均勻的光線，它由光線經(jīng)過多個面多重反射形成的。通常在在應(yīng)用中，把它作為一種常數(shù)漫反射項與Lambert漫反射分量相加處理。,為了反映出物體離光源的遠(yuǎn)近，還須加入距離修正因子，這樣一來，可得到一個簡單的光照模型于下：,式中為入射光的環(huán)境光線強(qiáng)度，為環(huán)境的漫反射系數(shù)，為物體表面上的一點到光源的距離。,對于平行投影來說，光源在無窮遠(yuǎn)處，無窮大；而對于透射投影，由于視點較靠近物體，就可能出現(xiàn)很大的值，為了使處于一個較合適的范圍而又簡化運算，可用來替換,這里為常數(shù)，是實體表面上的一點到點光源（）的距離。,由此，可得到一個改進(jìn)的光照模型：,如果物體是帶有顏色的，可用該光照模型對紅、綠、藍(lán)三基色分別計算。,在任何有光澤的表面都會有鏡面反射，其光強(qiáng)決定于入射光的角度、入射光的波長及反射表面材料的性質(zhì)。鏡面反射可用菲涅爾公式描述：,其中，為反射率曲線，它是入射角和光波長的函數(shù)，為冪次，用以模擬反射光的空間分布。為視線與反射光線間的夾角。,圖718漫反射示意圖圖719鏡面反射示意圖,函數(shù)較為復(fù)雜，在實際使用中，常常根據(jù)美學(xué)觀點或?qū)嶒灁?shù)據(jù)用一常數(shù)來代替，從而得到一個簡化的光照模型。,對于多個點光源，可將它們的效果線性疊加，即：,式中，m為點光源數(shù)目，其中：,由于高速處理器對除法運算比較費時，而上式要做開方和除法運算，因此，開銷較大，為了克服這一缺點，對上述模型可作如下修正，其條件是把點光源視為在軸無窮遠(yuǎn)處的透視投影，設(shè)實體所有頂點Z的分量的最小值為，,式中是常數(shù)比例因子，以保證計算出的濃淡值限定在顯示灰度范圍內(nèi)。,則當(dāng)觀察點位于Z軸正向時，的變化趨勢與的變化趨勢是一致的。這樣，利用相空間中的深度信息來修正光強(qiáng)，可得到實際使用的光照模型：,3曲面法向量的計算重建圖像表面法線的方向代表了表面的局部彎曲性，因此，它決定了鏡面反射的方向。如果已知重建物體表面的解析表達(dá)式，表面法線可直接計算出來。,但是，一般情況下，僅知道多邊形的近似表示，所以，對每一個多邊形小片根據(jù)其所在的平面方程的系數(shù)決定該小片的法線，并取其外法線方向。通過這樣的方法可用多邊形的頂點或棱邊信息近似求得該頂點的法線。如果每一個多邊形的平面方程已知，則多邊形頂點的法線取包圍該頂點的各多邊形的法線的平均值。,圖722頂點法矢量的近似值,頂點的近似法線方向為：,式中，是包圍的三個三角形，的平面方程系數(shù)。,(7123),如果各多邊形的平面方程未知，頂點處的法線可取交于此頂點的各棱邊的平均值。如圖722所示：頂點處的近似法線取為：,(7124),由于只求法線方向，所以，在式（7123）和式（7124）中沒有將各矢量之和除以包圍該點的多邊形的個數(shù)。,4明暗處理算法,在圖像重建處理中，光滑表面常用多邊形予以近似表示，由于平面上所有點的法向量相同，不同的平面塊之間存在著不同的法向量跳躍，從而引起不連續(xù)的光亮度跳躍。這樣一來，必然會出現(xiàn)相鄰的明暗度差別，從而導(dǎo)致(馬赫)效應(yīng)。,為消除亮度的不連續(xù)性，1971年，Gourand提出了亮度插值明暗處理法，使這種亮度的不連續(xù)性有所改善。Gourand明暗處理法是首先求出各面頂點處的法向量（即求包圍該點的各平面的法向量的平均值），同時計算其濃淡值。,多邊形面內(nèi)的濃淡值通過對頂點的濃淡值進(jìn)行雙線性內(nèi)插求得。如圖723所示的多邊形，掃描線與其邊界交于L和R，L處的濃淡值是A、B處濃淡值的線性插值。R處的濃淡值是C、D處濃淡值的線性插值。即：,圖723Gourand法處理示意圖,其中，,分別為圖723中對應(yīng)各點的光強(qiáng)度值。,分別為下列值：,Gourand法處理方法簡單，但它無法模擬高光效果，只實用于簡單的漫反射。另一種有效的明暗處理方法是Phong法（法向量插值明暗法）。該方法是先計算多邊形各頂點處的法向量，再用雙線性插值的方法求得每個像素處的法向量，最后對每個像素所得到的法向量用Phong光照模型求出明暗值。即：,式中：最后一項用于模擬鏡面反射光，以便能再現(xiàn)高光。由于插值是基于描述物體表面朝向的法向量，所以，Phong方法可較好地在局部范圍內(nèi)模擬表面的彎曲性，可得到較好的曲面的繪制結(jié)果，鏡面反射模擬高光的效果顯得更加真實。,在具體計算中，一般不用，而使用點積。其中N是物體表面法向量，H是L和E的平均向量再單位化，即：。Phong模型所涉及的幾何向量如圖所示。,當(dāng)物體是透明的時候，不但會有反射光，而且還有透射光。會透過物體看到后面的東西。一般光通過不同的介質(zhì)表面時，會發(fā)生折射，也就是會改變傳播方向。,為了模擬折射，需要較大的計算量。如果忽略