自動控制原理 控制系統(tǒng)靈敏度分析.ppt

第五節(jié)控制系統(tǒng)靈敏度分析,控制系統(tǒng)在參數(shù)變化時的靈敏度是一個非常重要的概念。在開環(huán)系統(tǒng)中，所有的變化都會導(dǎo)致系統(tǒng)的輸出產(chǎn)生偏差，并且系統(tǒng)自身沒有能力消除這一偏差，這是由于開環(huán)系統(tǒng)沒有反饋的緣故。但是，閉環(huán)系統(tǒng)能夠察覺到輸出所產(chǎn)生的偏差，并試圖修正輸出，這正是閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)的一個主要好處，就是具有減少系統(tǒng)靈敏度的能力。,對于閉環(huán)系統(tǒng)的情況，如果在所關(guān)心的復(fù)數(shù)域內(nèi)，都有：(3.71)成立，則可得到：(3.72)那么，輸出僅受到H(s)的影響，而且H(s)有可能是一個常數(shù)。如果H(s)=1，得到的結(jié)果正是期望的輸入值，那就是，輸出等于輸入。但是，在對閉環(huán)控制系統(tǒng)應(yīng)用式(3.72)這樣一個近似之前，必須注意式(3.71)這一前提條件，可能會導(dǎo)致系統(tǒng)的響應(yīng)為劇烈振蕩，甚至于不穩(wěn)定。盡管如此，增加開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)的大小會導(dǎo)致G(s)對輸出影響減少的事實是一個極有用的概念。因此，反饋控制系統(tǒng)的最重要優(yōu)勢就是被控過程參數(shù)G(s)變化的影響被減少了。,|G(s)H(s)|1,為描述參數(shù)變化的影響，假設(shè)被控過程G(s)發(fā)生變化，新被控過程就是G(s)+G(s)。那么，在開環(huán)情況下，輸出的變化為(3.73)在閉環(huán)系統(tǒng)中，有(3.74)考慮到,則輸出的改變就是：(3.75)通常情況下，有G(s)H(s)G(s)H(s)，于是：(3.76),C(s)=G(s)R(s),觀察式(3.76)可以看出，由于1+G(s)H(s)在所關(guān)心的復(fù)數(shù)域范圍內(nèi)常常遠(yuǎn)大于1，因此閉環(huán)系統(tǒng)輸出的變化減少了。因子1+G(s)H(s)在反饋控制系統(tǒng)的特征中起到了非常重要的作用。系統(tǒng)靈敏度定義為系統(tǒng)傳遞函數(shù)的變化率與被控過程傳遞函數(shù)變化率的比值。如果系統(tǒng)傳遞函數(shù)為則，靈敏度定義為(3.77)取微小增量的極限形式，則式(3.77)成為(3.78),GB(s)=C(s)/R(s),很明顯，從式(3.73)可以看出，開環(huán)系統(tǒng)的靈敏度等于1。閉環(huán)系統(tǒng)靈敏度可以從式(3.78)容易得到。設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)傳遞函數(shù)為因此反饋系統(tǒng)關(guān)于G(s)的靈敏度為即(3.79),再次可以看到，在所關(guān)心的復(fù)數(shù)域范圍內(nèi)GH(s)增加時，閉環(huán)系統(tǒng)的靈敏度將會低于開環(huán)系統(tǒng)的靈敏度。同樣道理，可以考察閉環(huán)系統(tǒng)對反饋環(huán)節(jié)H(s)改變時的系統(tǒng)靈敏度，令(3.80)即(3.81)當(dāng)G(s)H(s)很大時，靈敏度約為1，也就是H(s)的變化將直接影響到系統(tǒng)的輸出。因此，使用不隨環(huán)境改變或基本恒定的反饋器件是很重要的。由此可見，控制系統(tǒng)引入反饋環(huán)節(jié)后能減少因參數(shù)變化而造成的影響，尤其是因被控過程參數(shù)變化所造成的影響，這是反饋控制系統(tǒng)的一個重要優(yōu)點。,下面介紹一個利用反饋減少靈敏度的簡單例子。運算放大器是一種被廣泛使用在電子線路上的集成電路器件，它的基本應(yīng)用電路是圖3-36（a）所示的反相放大器電路。通常，運算放大器的增益A遠(yuǎn)大于104。由于輸入阻抗很高，所以運算放大器的輸入電流可以忽略不計，因此在節(jié)點n，可寫出電流關(guān)系式如下(3.82)由于放大器的增益是A，并且是反相接法，所以uc=-Aun，因此(3.83)將(3.83)代入(3.82)，得到(3.84),解出輸出電壓uc，有(3.85)可重寫式(3.85)如下,(a)電路原理圖(b)結(jié)構(gòu)圖圖3-36反相放大器,當(dāng)A1時，可忽略R1/Rf項，則(3.86)其中，k=R1/Rf。反相放大器電路結(jié)構(gòu)圖如圖3-36（b），圖中反饋環(huán)節(jié)是H(s)=k，前向通道的傳遞函數(shù)是G(s)=-A。進(jìn)一步，當(dāng)A1時，反相放大器電路的傳遞函數(shù)為(3.87)當(dāng)運算放大器處于開環(huán)狀態(tài)（即無反饋電阻Rf）時，相對于增益A的開環(huán)靈敏度為1。在閉環(huán)時，相對于增益A的閉環(huán)靈敏度為(3.88),如果A=104而且k=0.1，有(3.89)則靈敏度接近于0.001，是開環(huán)靈敏度的千分之一。再來考慮閉環(huán)時相對于因子k（或者反饋電阻Rf）的靈敏度。處理方法同上，得(3.90)相對于k的閉環(huán)靈敏度接近于1。,第六節(jié)應(yīng)用MATLAB分析控制系統(tǒng)的性能,這一節(jié)將用兩個例子描述反饋控制的優(yōu)點，同時說明如何利用MATLAB來分析控制系統(tǒng)。系統(tǒng)分析的主要內(nèi)容包括如何抑制干擾、如何減小穩(wěn)態(tài)誤差、如何調(diào)節(jié)瞬態(tài)響應(yīng)以及如何減少系統(tǒng)對參數(shù)變化的影響等。,第一個例子是帶有負(fù)載轉(zhuǎn)矩干擾信號的電樞控制直流電動機。開環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-37(a)所示，為了改善系統(tǒng)性能，加入速度反饋如圖3-37(b)所示。系統(tǒng)的各元器件參數(shù)值在表3.6中給出。從圖中可以看出，系統(tǒng)有Ua(s)（或Vr(s)）和ML(s)兩個輸入。由于這是一個線性系統(tǒng)，按疊加定理可以分別考慮兩個輸入的獨立作用結(jié)果。為了研究干擾對系統(tǒng)的作用，可令Ua(s)=0（或Vr(s)=0），此時只有干擾ML(s)起作用。相反地，為了研究參考輸入對系統(tǒng)的響應(yīng)，可令ML(s)=0。如果系統(tǒng)具有很好的抗干擾能力，則干擾信號ML(s)對輸出w(s)的影響就應(yīng)該很小，下面就來驗證此結(jié)論。,圖3-37速度控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖,首先，考慮圖3-37(a)所示的開環(huán)系統(tǒng)，從ML(s)到wo(s)(此處的下標(biāo)“o”表示開環(huán))的傳遞函數(shù)為假設(shè)干擾信號為單位階躍信號，即ML(s)=1/s。利用MATLAB可以計算系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)如圖3-38(a)所示，而用于分析此開環(huán)控制系統(tǒng)的MATLAB程序文本opentach.m示于圖3-38(b)。在輸入信號Ua(s)=0的情況下，穩(wěn)態(tài)誤差就是干擾響應(yīng)wo(t)的終值。在圖3-38(a)的曲線中，干擾響應(yīng)wo(t)在t=7秒后已近似不變，所以近似穩(wěn)態(tài)誤差值為wo()-0.663(弧度/秒),同樣，通過計算從ML(s)到wc(s)(此處下標(biāo)“c”表示閉環(huán))的閉環(huán)傳遞函數(shù)可分析圖3-37(b)所示閉環(huán)系統(tǒng)的抗干擾性能。對于干擾輸入的閉環(huán)傳遞函數(shù)為,(a)開環(huán)速度系統(tǒng)對階躍干擾的響應(yīng)曲線,%開環(huán)速度控制系統(tǒng)對干擾信號的單位階躍應(yīng):opentach.mRa=1;Km=10;J=2;B=0.5;Ke=0.1;num1=1;den1=JB;num2=Km*Ke/Ra;den2=1;num,den=feedback(num1,den1,num2,den2);%干擾信號為負(fù)num=-num;printsys(num,den)%wo為輸出,“o”表示開環(huán)wo,x,t=step(num,den);plot(t,wo)xlabel(Timesec),ylabel(Speed),grid%顯示穩(wěn)態(tài)誤差，即wo的最后一個值wo(length(t),閉環(huán)系統(tǒng)對單位階躍干擾輸入的響應(yīng)曲線w(t)和MATLAB程序文本closedtach.m分別示于圖3-39(a)(b)。同前，穩(wěn)態(tài)誤差就是w(t)的終值，穩(wěn)態(tài)誤差的近似值為在本例中，閉環(huán)系統(tǒng)與開環(huán)系統(tǒng)對單位階躍干擾信號的輸出響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值之比為可見通過引入負(fù)反饋已明顯減小了干擾對輸出的影響，這說明閉環(huán)反饋系統(tǒng)具有抑制噪聲特性。,(a)閉環(huán)系統(tǒng)對階躍干擾的響應(yīng)曲線,(b)MATLAB程序文本:closetach.m圖3-39閉環(huán)速度控制系統(tǒng)分析,%閉環(huán)速度控制系統(tǒng)對干擾信號的單位階躍響應(yīng):closetach.mRa=1;Km=10;J=2;B=0.5;Ke=0.1;Ka=54;Ks=1num1=1;den1=JB;num2=Ka*Ks;den2=1;num3=Ke;den3=1;num4=Km/Ra;den4=1;numa,dena=parallel(num2,den2,num3,den3);numb,denb=series(numa,dena,num4,den4);num,den=feedback(num1,den1,numb,denb);%干擾信號為負(fù)num=-num;printsys(num,den)%wc為輸出,“c”表示閉環(huán)wc,x,t=step(num,den);plot(t,wc)xlabel(Timesec),ylabel(Speed),grid%顯示穩(wěn)態(tài)誤差，即wc的最后一個值wc(length(t),第二個例子是分析閉環(huán)控制系統(tǒng)的控制器增益K對瞬態(tài)響應(yīng)的影響。圖3-40是閉環(huán)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。在參考輸入R(s)和干擾輸入N(s)同時作用下系統(tǒng)的輸出為,圖3-40反饋控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖,如果單純考慮增益K對參考輸入產(chǎn)生的瞬態(tài)響應(yīng)的影響，可以預(yù)計增加K將導(dǎo)致超調(diào)量增加、調(diào)整時間減少和響應(yīng)速度提高。在增益K=20和K=100時，系統(tǒng)對參考輸入的單位階躍響應(yīng)曲線以及相應(yīng)的MATLAB程序文本gain_kr.m示于圖3-41。對比兩條響應(yīng)曲線，可以看出上述預(yù)計的正確性。盡管在圖中不能明顯看出增大K能減少調(diào)整時間，但是這一點可以通過觀察MATLAB程序的運行數(shù)據(jù)得以驗證。這個例子說明了控制器增益K是如何改變系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的。根據(jù)以上分析，選擇K=20可能是一個比較好的方案。盡管如此，在做出最后決定之前還應(yīng)該考慮其他因素。,(a)階躍響應(yīng)曲線(b)MATLAB程文本:gain_kr.m圖3-41單位階躍輸入的響應(yīng)分析,%K=20和K=100時，參考輸入的單位階躍響應(yīng)：gain_kr.mnumg=1;deng=110;K1=100;K2=20;num1=11K1;num2=11K2;den=01;%簡化結(jié)構(gòu)圖na,da=series(num1,den,numg,deng);nb,db=series(num2,den,numg,deng);numa,dena=cloop(na,da);numb,denb=cloop(nb,db);%選擇時間間隔t=0:0.01:2.0;c1,x,t=step(numa,dena,t);c2,x,t=step(numb,denb,t);plot(t,c1,-,t,c2)xlabel(Timesec),ylabel(Cr(t),grid,在對K做出最后選擇之前，非常重要的是要研究系統(tǒng)對單位階躍干擾的響應(yīng)，有關(guān)結(jié)果和相應(yīng)的MATLAB程序文本如圖3-42所示。從中可以看到，增加K減少了單位干擾響應(yīng)的幅值。對于K=20和K=100，響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值分別為0.05和0.01。對干擾輸入的穩(wěn)態(tài)值可按終值定理求得如果僅從抗干擾的角度考慮，選擇K=100更合適。在本例中所求出的穩(wěn)態(tài)誤差、超調(diào)量和調(diào)整時間（2%誤差）歸納于表3.7。,(a)階躍響應(yīng)曲線(b)MATLAB程序文本:gain_kn.m圖3-42單位階躍干擾的響應(yīng)分析,%K=20和K=100時，干擾輸入的單位階躍響應(yīng)：gain_kn.mnumg=1;deng=110;K1=100;K2=20;num1=11K1;num2=11K2;den=01;%簡化結(jié)構(gòu)圖numa,dena=feedback(numg,deng,num1,den);numb,denb=feedback(numg,deng,num2,den);%選擇時間間隔t=0:0.01:2.5;c1,x,t=step(numa,dena,t);c2,x,t=step(numb,denb,t);plot(t,c1,-,t,c2)xlabel(Timesec),ylabel(Cn(t),grid,表3.7K=20和K=100時，控制系統(tǒng)的響應(yīng)特性,(a)被控對象變化時系統(tǒng)的靈敏度,%系統(tǒng)靈敏度分析K=20;num=110;den=112K;%取s=jw,w的范圍為10-1103，共取200點w=logspace(-1,3,200);s=w*j;%S為靈敏度，S2為靈敏度的近似值n=s.2+s;d=s.2+12*s+K;S=n./d;n2=s;d2=K;S2=n2./d2;subplot(211),plot(real(S),imag(S)xlabel(Real(S),ylabel(imag(S),gridsubplot(212),loglog(w,abs(S),w,abs(S2)xlabel(wrad/sec),ylabel(abs(S),(b)MATLAB程序文本圖3-43系統(tǒng)的靈敏度分析,最后來分析被控對象變化時系統(tǒng)的靈敏度。在本例中，被控對象的傳遞函數(shù)和閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為系統(tǒng)的靈敏度可由式(3.78)得出利用上式可計算不同s值所對應(yīng)的靈敏度SG，并繪制出頻率靈敏度曲線。圖3-43(a)中給出的是K=20，s=jw，w=10-110-4時，系統(tǒng)的靈敏度相對于頻率w的變化曲線，圖3-43(b)是相應(yīng)的MATLAB程序文本。在低頻段，系統(tǒng)的靈敏度可近似為可見，增大K值，可以減少系統(tǒng)的靈敏度。,第七節(jié)設(shè)計實例(一)英吉利海峽海底隧道鉆機,連接法國和英國的英吉利海峽海底隧道于1987年12月開工建造，1990年11月，從兩個國家分頭開鉆的隧道首次對接成功。隧道長23.5英里，位于海平面以下200英尺。隧道于1992年完工，共花費14億美元，每天能通過50趟列車。這個工程把英國同歐洲大陸連接起來，將倫敦到巴黎的火車行車時間縮短為3個小時,鉆機分別從海峽兩端向中間推進(jìn)，并在海峽的中間對接。為了使對接達(dá)到必要的精度，施工時使用了一個激光導(dǎo)引系統(tǒng)以保持鉆機的直線方向。鉆機的控制模型如圖所示，其中Y（s）是鉆機向前的實際角度，R（S）是預(yù)期的角度，負(fù)載對機器的影響用干擾D（S）表示。,3.44鉆機控制系統(tǒng)框圖,設(shè)計的目標(biāo)是選擇增益K使得對輸入角度的響應(yīng)滿足工程要求，并且使干擾引起的誤差最小。應(yīng)用Mason信號流圖增益公式，對兩個輸入的輸出為：,為減少干擾的影響，我們希望增益大于10。當(dāng)設(shè)置增益K=100，并令D（T）=0時，可得到系統(tǒng)對單位階躍輸入R（T）的響應(yīng)，如圖所示。令r(t)=0則可以確定系統(tǒng)對單位階躍干擾的響應(yīng)y(T),如圖所示。由此可見，干擾的影響是很少的。如果設(shè)置增益K=20，可得到系統(tǒng)對單位階躍r(t)和d(t)的響應(yīng)曲線如圖所示。由于此時系統(tǒng)響應(yīng)的超調(diào)量較小（小于4%），且在2s之內(nèi)即達(dá)到穩(wěn)態(tài)，所以我們選擇K=20。為便于比較，特將上述結(jié)果同時列于表中。,表3.8鉆機系統(tǒng)在兩種增益情況下的響應(yīng),系統(tǒng)對單位階躍輸入R（s）=1/s的穩(wěn)態(tài)誤差為：當(dāng)干擾為單位階躍D（s)=1/s,輸入r(t)=0時，y(t)的穩(wěn)態(tài)值為：,于是當(dāng)K=100和200時，干擾響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值分別為0.01和0.05。最后考慮系統(tǒng)對G（s）的變化的靈敏度，得：,在低頻頻段（），靈敏度近似為：,其中K20?？梢姰?dāng)增益K增加時，系統(tǒng)的靈敏度會降低，因此我們選擇K=20是一種合理的折中。,(二)火星漫游車,圖所示的是以太陽能作動力的“逗留者號”火星漫游車。由于地球上發(fā)出的路徑控制信號r(t)能對該裝置實施遙控。本例中我們將斜坡信號r(t)=t,t0用作輸入信號。該裝置既能以開環(huán)方式工作（不帶反饋），,圖3.45火星漫游車,又能夠以閉環(huán)方式工作（帶反饋），分別如圖所示。本例設(shè)計的目的是使漫游車受干擾（如巖石）的影響較小，而且對增益K變化的靈敏度也較小。開環(huán)的傳遞函數(shù)是：,閉環(huán)的傳遞函數(shù)是,K=2時，,這時我們可對開環(huán)系統(tǒng)和閉環(huán)系統(tǒng)的靈敏度進(jìn)行比較。開環(huán)系統(tǒng)的靈敏度為：,圖3.46漫游車的控制系統(tǒng),閉環(huán)系統(tǒng)的靈敏度為：,為了考察系統(tǒng)在低頻時的靈敏度，令s=j，得：,圖3.47火星漫游車閉環(huán)系統(tǒng)的靈敏度幅值,對K=2，在頻率0時，由上式可得：,由單位階躍干擾引起的穩(wěn)態(tài)誤差為-1/K，可見增大K可以減少由單位階躍干擾引起的瞬態(tài)響應(yīng)。因此，我們要尋找一個較大的K和較大的K/K1，以保證系統(tǒng)對斜坡輸入信號具有較小的穩(wěn)態(tài)誤差。同時我們還要保持前面已經(jīng)確定的=0.6，以減少超調(diào)量。為了完成設(shè)計，我們需要選擇K。系統(tǒng)的特征方程為（=0.6）：,于是，,由式的分母可知，應(yīng)同時有,故,或,的比值為：,由此可見，當(dāng)選取K=100時，得到的是一個很好的系統(tǒng)。,如果選擇K=25，將有k1=6,k/k1=4.17.如果選擇K=100，則有K1=12,k/k1=8.33.在實際系統(tǒng)中，我們還必須限制K，以使系統(tǒng)工作在線性區(qū)。當(dāng)取K=100時，我們得到的系統(tǒng)如圖所示。該系統(tǒng)對單位階躍輸入和單位階躍干擾的響應(yīng)如圖所示，可以看出干擾的影響并不明顯。最后，我們可以得到系統(tǒng)對斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為：,(四)循序漸進(jìn)設(shè)計示例：磁盤驅(qū)動讀取系統(tǒng),現(xiàn)代磁盤在每厘米寬度內(nèi)有多達(dá)5000個磁道，每個磁道的典型寬度僅為1um，因此磁盤讀取系統(tǒng)對磁頭的定位精度和磁頭在磁道間移動的精度有嚴(yán)格的要求。本章將考慮彈性支架的影響，并在此情況下，建立磁盤驅(qū)動系統(tǒng)的狀態(tài)