中考數(shù)學(xué)綜合題系列復(fù)習(xí)講座—方程知識綜合題.doc

中考數(shù)學(xué)綜合題系列復(fù)習(xí)講座方程知識綜合題初中數(shù)學(xué)中學(xué)了一次方程(組)、一元二次方程以及簡單的分式方程、根式方程、二元二次方程。中考中的方程知識綜合題，多以一元二次方程為熱點，且以判別式、韋達(dá)定理的靈活運用為主要考點。這類題，以考查靈活的代數(shù)(整式、分式、根式)變換和轉(zhuǎn)化能力為基礎(chǔ)的。此外，在xx年的中考卷中，還有一些設(shè)計獨特的方程知識探索題頗具新意。一、典型試題選析(本文所有選題均為xx年中考題)例1：(湖北省鄂州市)已知關(guān)于x的方程kx2+(2k-1)x-2=0。(1)若方程有實根，求k的取值范圍。(2)若此方程兩實根為x1、x2且x+x=3，求k的值。解：(1)依題意得：0，(2k-1)2-4k(k-2)0，解得k-，k的取值范圍是k-。(2)依題意得：x+x=(x1+x2)2-2x1x2=3，即：(-)2-2=3，化簡得k2=1，k=1。上面解答有無錯誤？若有指出錯誤之處，并直接寫出正確答案。解：上面兩題均有錯誤。正確解答是：(1)分k=0，k0兩種情況：當(dāng)k=0，方程為一元一次方程-x-2=0，方程有實數(shù)解x=-2；當(dāng)k0，方程為一元二次方程，依題意得0，(2k-1)2-4k(k-2)0，解得k-0，此時k的取值范圍是k-且k0。綜合上述兩種情況，k的取值范圍是k-。(2)解題過程略。解得k=1之后，同時考慮有實根的條件k-，應(yīng)排除k=-1，k=1。說明：本題已知方程未說明是一元二次方程，因此首先要分k=0，k0兩種情況討論，這點，容易忽視；其次，韋達(dá)定理應(yīng)用的前提是有實根，即0，這點，也容易被疏漏，本題既考查方程、韋達(dá)定理、判別式的基本概念，也考查學(xué)生周密思考能力。例2：(山東淄博市)(1)如表，方程1，方程2，方程3，是按照一定規(guī)律排列的一列方程。解方程1，并將它的解填在表中的空白處；(2)若方程-=1(ab)的解是x1=6，x2=10，求a、b的值。該方程是不是(1)中所給出的一列方程中的一個方程？如果是，它是第幾個方程？(3)請寫出這列方程中的第n個方程和它的解，并驗證所寫出的解適合第n個的方程。序號 方程 方程的解 1 =1 x1=_ x2=_ 2 =1 x1=4 x2=6 3 =1 x1=5 x2=8 解：(1)x1=3，x2=4；(2)將x1=6，x2=10代入=1，可得方程組，化簡可得。ab，又可得a=6+2，b=6-2，原方程應(yīng)是=1。這顯然不是表列的系列方程中的一個，因為表中規(guī)律可推知第4個方程是：=1，其解也是x1=6，x2=10。(3)由表中規(guī)律可以猜測第n個方程是：=1(n是自然數(shù))(x)方程的解為：x1=n+2，x2=2(n+1)。驗證：解方程(x)，去分母并整理可得：x2-(n+2)+2(n+1)x+2(n+1)(n+2)=0，x1=n+2，x2=2(n+1)。說明：本題綜合了方程的許多知識：解分式方程；列分式方程組并解答；解一元二次方程等。除此之外，本題提出了較高的綜合素質(zhì)的要求：要會觀察，找出系列方程中的規(guī)律；個例驗證，正確驗證第(2)題；探索一般規(guī)律，完成第(3)題。本題設(shè)計突破了傳統(tǒng)模式。例3：(江蘇南通市)設(shè)x1、x2是關(guān)于x的方程x2-(k+2)x+2k+1=0的兩個實數(shù)根，且x+x=11。(1)求k的值；(2)利用根與系數(shù)的關(guān)系求一個一元二次方程，使它的一個根是原方程兩個根的和，另一根是原方程兩根差的平方。解：(1)由韋達(dá)定理知：x1+x2=k+2，x1x2=2k+1。x+x=(x1+x2)2-2x1x2=(k+2)2-2(2k+1)=k2+2=11，k=3。k=3時，原方程為x2-5x+7=0，此時0，無實根，不合題意，舍去。故k=-3。(2)k=-3，故方程為x2+x-5=0，設(shè)此方程兩根為x1、x2，則可得x1+x2=-1，x1x2=-5。而(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(-1)2-4(-5)=21。所求新方程的兩根分別為x1+x2=-1和(x1-x2)2=21，故新方程是x2-(-1+21)x+(-1)21=0，即x2-20x-21=0。說明：已知一元二次方程根的對稱式求待定系數(shù)時，不僅要逆用韋達(dá)定理，更要注意判別式的檢驗；求作新的一元二次方程x2+px+q=0時，關(guān)鍵在于確定兩個數(shù)值p=-(x1+x2)，q=x1x2，其x1，x2是新方程的兩根。例4：(山東聊城市)已知關(guān)于x的方程x2+2x+=0，其中m為實數(shù)。(1)當(dāng)m為何值時，方程沒有實數(shù)根？(2)當(dāng)m為何值時，方程恰有三個互不相等的實數(shù)根？求出這三個實數(shù)根。解：(1)令x2+2x-2m=y，則原方程化為y2+2my+m2-1=0，解得：y1=-m+1，y2=-m-1(顯然m=1時，原方程有實數(shù)根)。由此得x2+2x-m-1=0或x2+2x-m+1=0 對于由1=22-4(-m-1)0得，m-2；對于由2=22-4(-m+1)0得，m0，當(dāng)m-2，原方程沒有實數(shù)根。(2)由(1)可得：當(dāng)m=-2時，方程有兩個相等的實數(shù)根，但此時，方程沒有實數(shù)根，不合題意；當(dāng)m=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根x=-1，此時方程有兩個不相等的實數(shù)根x=-1，當(dāng)m=0時，原方程有三個互不相等的實數(shù)根x1=-1，x2=-1+，x3=-1-。說明：本題綜合了分式方程、一元二次方程根的判別式等知識點，換元法是本題的主要數(shù)學(xué)思想方法。例5：(大連市)閱讀下列材料：=(1-)，=(-)，=(-)，=(-)，+=(1-)+(-)+(-)+(-)=(1-+-+-+-)=(1-)=。解答問題：(1)在上式+中，第五項中_，第n項為_，上述求和的想法是：通過逆用_法則，將上式中各分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為兩個實數(shù)之差，使得除首末兩項外的中間各項可以_，從而達(dá)到求和目的。(2)解方程+=。解：(1)分別填入，分?jǐn)?shù)減法，互相抵消。(2)原方程可化為(-+-+-)=，即(-)=。-=，=，(+10)=24，(+12)(-2)=0，=-12(舍去)，由=2得，x=4。經(jīng)檢驗，x=4是原方程的根。說明：本題從求數(shù)列之和到解一個特殊的根式方程，介紹的是一類分式裂項求和的數(shù)學(xué)方法及其應(yīng)用。二、小結(jié)方程知識綜合題涉及有關(guān)方程的基礎(chǔ)概念、解法，判別式及韋達(dá)定理是一元二次方程中應(yīng)用較廣、充滿活力的知識點；判別式及韋達(dá)定理的靈活運用解題又涉及整式、分式、根式及不等式的許多的知識、技能；以上例題中，一些創(chuàng)意較新的試題還涉及到其他多方面的知識，應(yīng)該引起大家的注意。三、練習(xí)題(均選自xx年中考卷)1、(北京朝陽區(qū))(1)解下列方程：x2-2x-2=0 ；2x2+3x-1=0 ；2x2-4x+1=0 ；x2+6x+3=0 。(2)上面的四個方程中，有三個方程的一次項系數(shù)有共同特點，請你用代數(shù)式表示這特點，并推導(dǎo)出具有這個特點的一元二次方程的求根公式。2、(青島市)先閱讀下列解方程()2-+6=0的過程，然后填空：解：(第一步)設(shè)y=，則原方程可化為y2-5y+6=0。(第二步)解這個方程得：y1=2，y2=3。(第三步)當(dāng)y1=2時，=2，則x1=2；當(dāng)y2=3時，=3，則x2=。(第四步)原方程的根為x1=2，x2=。以上解題過程中的第一步用的是_法：上述解題過程不完整，缺少的一步是_。3、(湖北潛江市)使關(guān)于x的分式方程a2-產(chǎn)生增根的a的值是：(A)2(B)-2(C)2(D)與a無關(guān)4、(安徽省)一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的二元二次方程組的解是和，試寫出符合要求的方程組_。(只要填寫一個即可)。5、(蘭州市)已知三角形兩邊長分別為2和9，第三邊的長是二次方程x2-14x+48=0的根，則這個三角形的周長為( )(A)11 (B)17 (C)17或19 (D)196、(湖北省天門市)關(guān)于x的方程kx2-6x+3=0有實數(shù)根，則k的非負(fù)整數(shù)值是( )(A)0,1,2(B)1,2(C)1.2,3(D)0,1,2,37、(湖北省天門市)已知關(guān)于x的方程x2+(a2+2a-)x+a=0有兩實數(shù)根，且互為相反數(shù)，求a的值。8、(湖北黃岡市)先閱讀下列第(1)題的解答過程，然后再解答第(2)題。(1)已知實數(shù)a，b滿足a2=2-2a，b2=2-2b，且ab，求的值。解法1：由已知得a2+2a-2=0，b2+2b-2=0，且ab。a，b是方程x2+2x-2的兩個不相等的實數(shù)根。由根與系數(shù)的關(guān)系，得a+b=-2，ab=-2。=-2=-2=-4。解法2：由已知a2=2-2a b2=2-2b-，得(a2-b2)+2(a-b)=0，即(a-b)(a+b+2)=0。ab，a+b+2=0，a+b=-2。，得a2b2=(2-2a)(2-2b)，即(ab)2-4ab-12=0，ab=6或ab=-2。顯然無實數(shù)解，a+b=-2，ab=-2。=-2=-2=-4。(2)已知p2-2p-5=0.5q2+2q-1=0，其中p、q為實數(shù)，求p2+的值。9、(湖北孝感市)已知m、n是一元二次方程x2+5x-3=0的兩根，求代數(shù)式的值。10、(湖北鄂州市)x1、x2為兩實數(shù)，且滿足條件2x+4x1-3=0，2x+4x2-3=0，則+的值為( )(A)2或-4(B)2或(C)(D)-411、(湖北黃石市)已知a、b滿足a2-2a-1=0，b2-2b-1=0，則=_。12、(湖北潛江市)若一元二次方程x2-ax-4a=0的兩實根之和為4a2-3，則兩根之積為( )(A)-4 (B)3或-4(C)3(D)-3或413、(浙江紹興市)若方程(x-1)(x2+8x-3)=0的三根分別為x1、x2、x3，則x1x2+x2x3+x3x1的值是( )(A)5(B)-5 (C)11 (D)-1114、(湖北天門市)若方程x2-2x-3=0的兩根是x1、x2，則代數(shù)式x+x-2x1-2x2的值是_。15、(遼寧省)已知、是方程x2+2x-5=0的兩個實數(shù)根，則2+2的值為_。16、(廣東省)設(shè)x1、x2是方程x2-5x+3=0的兩個根，不解這個方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求(x1-x2)2的值。17、(寧波市)已知方程x2+2x-3k=0的兩個根分別是x1和x2，且滿足(x1+1)(x2+1)=-4，求k的值。18、(蘇州市)已知關(guān)于x的方程x2+(m-2)x+m-3=0。(1)求證：無論m取什么實數(shù)值，這個方程總有兩個不相等的實數(shù)根；(2)若這個方程的兩個實數(shù)根x1、x2滿足2x1+x2=m+1，求m的值。19、(北京市海淀區(qū))已知：關(guān)于x的方程x2+3x+a=0的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于3，關(guān)于x的方程(k-1)x2+3x-2a=0有實數(shù)且k為正整數(shù)，求代數(shù)式的值。20、(山東濟南市)已知關(guān)于x的方程x2-2(m-2)x+m2=0。問：是否存在實數(shù)m，使方程的兩個實數(shù)根的平方和等于56，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由。21、(上海市)已知關(guān)于x的一元二次方程mx2-(2m-1)x+m-2=0(m0)(1)求證：這個方程有兩個不相等的實數(shù)根；(2)如果這個方程的兩個實數(shù)根分別為x1、x2，且(x1-3)(x2-3)=5m，求m的值。22、(江蘇泰州市)已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2px-p2-1=0的兩個實數(shù)根為x1和x2。(1)若此方程的兩根之和不大于兩根之積，求p的值；(2)若p=-1，求x+2x+2x2的值。23、(江蘇宿遷市)設(shè)a,b的方程x2+5x+2=0的兩根，則以、為根的一元二次方程是( )(A)21x2-4x+1=0(B)4x2-21x+1=0(C)21x2-4x-1=0(D)4x2-21x-1=024、(貴州省黔東南州)一次函數(shù)y=-2x+3圖象與坐標(biāo)軸交點分別為(a,0)和(0,b)，則以a、b為兩根的一元二次方程是_。25、(廣州市壓軸題)已知：關(guān)于x的方程x2+4x+2t=0有兩個實數(shù)根。(1)求t的取值范圍；(2)設(shè)方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)的和為S，求S關(guān)于t的函數(shù)的解析式；(3)畫出(2)中所得到的函數(shù)的圖象。