排列的綜合應(yīng)用.ppt

第3課時(shí)排列的綜合應(yīng)用,1.掌握常見的幾種有限制條件的排列問題2.能應(yīng)用排列與排列數(shù)公式解決簡單的實(shí)際應(yīng)用問題.,1.本節(jié)重點(diǎn)是解決常見的排列問題.2.本節(jié)難點(diǎn)是與數(shù)字有關(guān)的排列問題.,(1)特殊元素優(yōu)先法對于有特殊元素的排列問題，一般應(yīng)先考慮_元素，再考慮其他元素.(2)特殊位置優(yōu)先法對于有特殊位置的排列問題，一般先考慮_位置，再考慮其他位置.,特殊,特殊,(3)相鄰問題捆綁法對于要求某幾個(gè)元素相鄰的排列問題，可將相鄰的元素“捆綁”起來，看作一個(gè)“大”元素，與其他元素一起排列，然后再對_元素內(nèi)部進(jìn)行排列.(4)不相鄰問題插空法對于要求有幾個(gè)元素不相鄰的排列問題，可先將其他元素排好，然后將_的元素插入在已排好的元素之間及兩端空隙處.,捆綁,不相鄰,1.甲、乙、丙三人排成一排，你能寫出甲必須站在乙左側(cè)的全部排法嗎？提示：甲乙丙，甲丙乙，丙甲乙.實(shí)際上排法共有=3種.2.用1，2，3三個(gè)數(shù)排成三位數(shù)，使1，2兩個(gè)數(shù)相鄰的三位數(shù)有=2個(gè)，對嗎？提示：不對.由于數(shù)字比較少，可以一一列出，123，312，321，213，若采用捆綁法會(huì)更簡單，即=4個(gè).,3在數(shù)字1，2，3與符號(hào)，五個(gè)元素的所有全排列中，任意兩個(gè)數(shù)字都不相鄰的全排列個(gè)數(shù)是_.【解析】符號(hào)，只能在兩個(gè)數(shù)之間，這是間隔排列，排法有=12種答案：12,4.有四位司機(jī)，四個(gè)售票員組成四個(gè)小組，每一組一位司機(jī)和一位售票員，則不同的分組方案共有_種.【解析】先把四位司機(jī)固定好，再把四個(gè)售票員分給四個(gè)司機(jī)，共有=4321=24種.答案：24,1應(yīng)用排列與排列數(shù)公式求解實(shí)際問題中的計(jì)數(shù)問題的基本步驟,實(shí)際問題中每一類、每一步中的計(jì)數(shù)問題,排列問題,求排列數(shù),化歸,（建模）,求數(shù)學(xué)模型,的解,得實(shí)際問,題的解,2有限制條件的排列問題的類型及解題策略(1)首先要分清是分類還是分步，這是一個(gè)大的原則，一般情況下，對于較為復(fù)雜的問題，多是先分類，再在每一類中分步解決.(2)其次要分清題型，可將題目大體分為諸如特殊位置(元素)類、相鄰問題類、插空問題類等，再利用相應(yīng)方法計(jì)算.(3)最后注意應(yīng)用正難則反的解題思想，即間接法.,數(shù)字的排列問題【技法點(diǎn)撥】數(shù)字排列問題的解題原則、常用方法及注意事項(xiàng)(1)解題原則：排列問題的本質(zhì)是“元素”占“位子”問題，有限制條件的排列問題的限制條件主要表現(xiàn)在某元素不排在某個(gè)位子上，或某個(gè)位子不排某些元素，解決該類排列問題的方法主要是按“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子，若一個(gè)位子安排的元素影響到另一個(gè)位子的元素個(gè)數(shù)時(shí)，應(yīng)分類討論,(2)常用方法：直接法、間接法.(3)注意事項(xiàng)：解決數(shù)字問題時(shí)，應(yīng)注意題干中的限制條件，恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行分類和分步，尤其注意特殊元素“0”的處理.,【典例訓(xùn)練】1.用1，2，3組成沒有重復(fù)數(shù)字的整數(shù)，可以組成整數(shù)的個(gè)數(shù)為()(A)27個(gè)(B)15個(gè)(C)12個(gè)(D)6個(gè)2.用0，1，2，3，4五個(gè)數(shù)可以組成_個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù).3.用0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)符合下列條件的無重復(fù)的數(shù)字？,(1)六位奇數(shù)；(2)個(gè)位數(shù)字不是5的六位數(shù)；(3)不大于4310的四位偶數(shù)【解析】1.選B.由題意知可分成三類：第一類，組成的整數(shù)為一位數(shù)，有3個(gè)；第二類，組成的整數(shù)為兩位數(shù)，有=6個(gè)；第三類，組成的整數(shù)為三位數(shù)，有=6個(gè)；所以，組成沒有重復(fù)數(shù)字的整數(shù)共有3+6+6=15個(gè).,2.先排萬位，從1，2，3，4中任選一個(gè)有4種填法，其余四個(gè)位置的四個(gè)數(shù)共有種填法，故共有4=96個(gè)滿足條件的五位數(shù).答案：963.(1)第一步，排個(gè)位，有種排法；第二步，排十萬位，有種排法；第三步，排其他位，有種排法故共有288個(gè)六位奇數(shù),(2)方法一(直接法)：十萬位數(shù)字的排法因個(gè)位上排0與不排0而有所不同，因此需分兩類第一類，當(dāng)個(gè)位排0時(shí)，有個(gè)；第二類，當(dāng)個(gè)位不排0時(shí)，有個(gè)故符合題意的六位數(shù)共有504(個(gè)),方法二(排除法)：0在十萬位和5在個(gè)位的排列都不對應(yīng)符合題意的六位數(shù)，這兩類排列中都含有0在十萬位和5在個(gè)位的情況故符合題意的六位數(shù)共有504(個(gè)),(3)當(dāng)千位上排1,3時(shí)，有個(gè)當(dāng)千位上排2時(shí)，有個(gè)當(dāng)千位上排4時(shí)，形如40，42的各有個(gè)；形如41的有個(gè)；形如43的只有4310和4302這兩個(gè)數(shù).故共有,【互動(dòng)探究】若題3的條件不變，(1)能被5整除的五位數(shù)有多少個(gè)；(2)能被3整除的五位數(shù)有多少個(gè)；(3)若所有的六位數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)數(shù)列an，則240135是第幾項(xiàng)？【解題指南】能被5整除的數(shù)字必須是個(gè)位為0或5，能被3整除的條件是各位上數(shù)字之和能被3整除，明確這點(diǎn)是解決此題的關(guān)鍵.,【解析】(1)個(gè)位上的數(shù)字必須是0或5.個(gè)位上是0，有個(gè)；個(gè)位上是5，若不含0，則有個(gè)；若含0，但0不作首位，則0的位置有種排法，其余各位有種排法，故共有216(個(gè))能被5整除的五位數(shù)(2)能被3整除的條件是各位上數(shù)字之和能被3整除，則5個(gè)數(shù)可能有1,2,3,4,5和0,1,2,4,5兩種情況，能夠組成的五位數(shù)分別有個(gè)和個(gè).故能被3整除的五位數(shù)有216(個(gè)),(3)由于是六位數(shù)，首位數(shù)字不能為0，首位數(shù)字為1有個(gè)數(shù)，首位數(shù)字為2，萬位上為0,1,3中的一個(gè)有3個(gè)數(shù)，240135的項(xiàng)數(shù)是31193,即240135是數(shù)列的第193項(xiàng),【思考】組數(shù)問題中能被2，3，4，5，6整除的數(shù)的特征分別是什么？提示：能被2整除的數(shù)的特征：末位是偶數(shù)；能被3整除的數(shù)的特征：各位上數(shù)字之和為3的倍數(shù)；能被4整除的數(shù)的特征：末兩位是4的倍數(shù)；能被5整除的數(shù)的特征：末位是0或5；能被6整除的數(shù)的特征：各位上數(shù)字之和是3的倍數(shù)的偶數(shù).,排隊(duì)、排節(jié)目順序問題【技法點(diǎn)撥】排隊(duì)、排節(jié)目問題的解題策略(1)合理歸類，要將題目大致歸類，常見的類型有特殊元素、特殊位置、相鄰問題、不相鄰問題等，再針對每一類采用相應(yīng)的方法解題.(2)恰當(dāng)結(jié)合，排列問題的解決離不開兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，解題過程中要恰當(dāng)結(jié)合兩個(gè)計(jì)數(shù)原理.(3)正難則反，這是一個(gè)基本的數(shù)學(xué)思想，巧妙應(yīng)用排除法可起到事半功倍的效果.,【典例訓(xùn)練】1.某臺(tái)小型晚會(huì)由6個(gè)節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前兩位，節(jié)目乙不能排在第一位，節(jié)目丙必須排在最后一位該臺(tái)晚會(huì)節(jié)目演出順序的編排方案共有()(A)36種(B)42種(C)48種(D)54種,2.(2012舟山高二檢測)記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一行，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有()(A)1440種(B)960種(C)720種(D)480種,3.三個(gè)女生和五個(gè)男生排成一排，(1)如果女生全排在一起，有多少種不同排法？(2)如果女生互不相鄰，有多少種不同排法？(3)如果女生不站兩端，有多少種不同排法？(4)如果甲、乙兩人必須站兩端，有多少種不同的排法？(5)如果甲不站左端，乙不站右端，有多少種不同排法？,【解析】1.選B.先排丙：只有一種排法；若甲排第一位，則其余4個(gè)節(jié)目共有24種排法若甲排第二位，乙有3種排法，其余3個(gè)節(jié)目共有種排法318,共有241842種編排方案,2.選B.先將5名志愿者排好，有種方法.由于2位老人相鄰但不排在兩端，必須將他們排在5名志愿者之間的4個(gè)空位上，有4種方法，最后把2位老人進(jìn)行全排列有種方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知不同的排法有4=4254321=960(種).,3.(1)(捆綁法)由于女生排在一起，可把她們看成一個(gè)整體，這樣同五個(gè)男生合在一起有6個(gè)元素，排成一排有種排法，而每一種排法中，三個(gè)女生間又有種排法，因此共有4320種不同排法.(2)(插空法)先排5個(gè)男生，有種排法，這5個(gè)男生之間和兩端有6個(gè)位置，從中選取3個(gè)位置排女生，有種排法，因此共有14400種不同排法.,(3)方法一(位置分析法)：因?yàn)閮啥瞬慌排?，只能?個(gè)男生中選2人排列，有種排法，剩余的位置沒有特殊要求，有種排法，因此共有14400種不同排法.方法二(元素分析法)：從中間6個(gè)位置選3個(gè)安排女生，有種排法，其余位置無限制，有種排法，因此共有14400種不同排法.,方法三(間接法)：3個(gè)女生和5個(gè)男生排成一排共有種不同的排法，從中扣除女生排在首位的種排法和女生排在末位的種排法，但這樣兩端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情況時(shí)被扣去一次，在扣除女生排在末位的情況時(shí)又被扣去一次，所以還需加回來一次，由于兩端都是女生有種不同的排法，所以共有-214400種不同的排法.,(4)甲、乙為特殊元素，先將他們排在兩頭位置，有種，其余6人全排列，有種所以共有1440種不同的排法.(5)甲、乙為特殊元素，左、右兩邊為特殊位置方法一(特殊元素法)：甲在最右邊時(shí)，其他的可全排，有種,甲不在最右邊時(shí)，可從余下6個(gè)位置中任選一個(gè)，有種；而乙可排在除去最右邊位置后剩余的6個(gè)中的任一個(gè)上，有種，其余人全排列，共有種由分類加法計(jì)數(shù)原理得：30960種.,方法二(特殊位置法)：先排最左邊，除去甲外，有種，余下7個(gè)位置全排列，有種，但應(yīng)剔除乙在最右邊時(shí)的排法種所以共有-30960種.,方法三(間接法)：8個(gè)人全排，共種.其中，不符合條件的有甲在最左邊時(shí)種，乙在最右邊時(shí)種，其中都包含了甲在最左邊，同時(shí)乙在最右邊的情形，有種所以共有-230960種.,【想一想】對于題3中的(5)解答時(shí)應(yīng)注意什么？如何解決排隊(duì)問題？提示：(1)通過對題3中的(5)利用的三種不同的方法，前兩種在思維上較復(fù)雜，第三種方法利用間接法，比較方便，但要注意不重不漏.(2)處理排隊(duì)和節(jié)目順序安排問題時(shí)，元素“相鄰”、“不相鄰”問題應(yīng)遵循“先整體后局部”的原則，元素相鄰問題一般用“捆綁法”，元素不相鄰問題一般用“插空法”,【變式訓(xùn)練】某校為慶祝2012年國慶節(jié)，安排了一場文藝演出，其中有3個(gè)舞蹈節(jié)目和4個(gè)小品節(jié)目，按下面要求安排節(jié)目單，有多少種方法：(1)3個(gè)舞蹈節(jié)目互不相鄰；(2)3個(gè)舞蹈節(jié)目和4個(gè)小品節(jié)目彼此相間,【解析】(1)先安排4個(gè)小品節(jié)目，有種排法，4個(gè)小品節(jié)目中和兩頭共5個(gè)空，將3個(gè)舞蹈節(jié)目插入這5個(gè)空中，共有種排法，所以共有1440種排法(2)由于舞蹈節(jié)目與小品節(jié)目彼此相間，故小品只能排在1,3,5,7位，舞蹈排在2,4,6位，安排時(shí)可分步進(jìn)行先安排4個(gè)小品節(jié)目在1,3,5,7位，共種排法；再安排舞蹈節(jié)目在2,4,6位，有種排法，故共有144種排法,固定順序的排列問題【技法點(diǎn)撥】固定順序的排列問題的求解方法這類問題的解法是采用分類法n個(gè)不同元素的全排列有種排法，m個(gè)元素的全排列有種排法.因此種排法中，關(guān)于m個(gè)元素的不同分法有類，而且每一分類的排法數(shù)是一樣的當(dāng)這m個(gè)元素順序確定時(shí)，共有種排法,【典例訓(xùn)練】1.由1,2,3,4,5五個(gè)數(shù)字組成各位數(shù)字不同的五位數(shù)，使2必須在4的右邊(可以不相鄰)有_種排法.2.7名師生站成一排照相留念，其中老師1人，男學(xué)生4人，女學(xué)生2人.若4名男生身高都不等，按從高到低的順序站不同的站法有_.,3.7人站成一排(1)甲、乙、丙排序一定時(shí)，有多少種排法？(2)甲在乙的左邊(不一定相鄰)有多少種不同的排法？【解析】1.設(shè)所求的排法有x種，這種對于符合條件的每一排法，不改變2，4的位置，只改變2，4的順序，有種排法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，五個(gè)數(shù)字的全排列有x種方法，而五個(gè)數(shù)字的全排列有種方法，所以x=，得x=60種.答案：60,2.7人全排列中，4名男生不考慮身高順序的站法有種，而由高到低有從左到右或從右到左的不同，所以共有不同站法2420種.答案：4203.(1)方法一：7人的所有排列方法有種，其中甲、乙、丙的排序有種，又對應(yīng)甲、乙、丙只有一種排序，所以甲、乙、丙排序一定的排法共有=840種,方法二：(插空法)7人站定7個(gè)位置，只要把其余4人排好，剩下的3個(gè)空位，甲、乙、丙就按他們的順序去站，只有一種站法，故7654840種(2)甲在乙的左邊的7人排列數(shù)與甲在乙的右邊的7人排列數(shù)相等，而7人排列數(shù)恰好是這二者之和，因此滿足條件的有2520種,【易錯(cuò)誤區(qū)】對特殊元素考慮不周導(dǎo)致失誤【典例】4名運(yùn)動(dòng)員參加4100接力賽，根據(jù)平時(shí)隊(duì)員訓(xùn)練的成績，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，則不同的出場順序有()(A)12種(B)14種(C)16種(D)24種,【解題指導(dǎo)】,【解析】選B.用排除法，若不考慮限制條件，4名隊(duì)員全排列共有種排法，除甲跑第一棒有種排法,乙跑第四棒有種排法,再加上甲在第一棒且乙在第四棒有種排法，共有種不同的出場順序.,【閱卷人點(diǎn)撥】通過閱卷后分析，對解答本題的常見錯(cuò)誤及解題啟示總結(jié)如下：(注：此處的見解析過程),【即時(shí)訓(xùn)練】星期一共排六節(jié)不同的課.(1)若第一節(jié)排數(shù)學(xué)或第六節(jié)排體育，不同的排法有_種；(2)若第一節(jié)不排體育，第六節(jié)不排數(shù)學(xué)，不同的排法有_種.【解析】(1)數(shù)學(xué)排在第一節(jié)有種排法，體育排在第六節(jié)有種排法，數(shù)學(xué)排在第一節(jié)且體育排在第六節(jié)有種排法，故第一節(jié)排數(shù)學(xué)或第六節(jié)排體育共有=216種排法.,(2)若不考慮限制條件，六節(jié)課全排列共有種排法，體育排在第一節(jié)有種排法,數(shù)學(xué)排在第六節(jié)有種排法,體育排在第一節(jié)且數(shù)學(xué)排在第六節(jié)有種排法，所以共有-2+=504種不同的排法.答案：(1)216(2)504,1.用數(shù)字1，2，3，4，5組成無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個(gè)數(shù)()(A)8(B)24(C)48(D)120【解析】選C.個(gè)位數(shù)有種排法，十位、百位、千位有種排法，從而共有=48個(gè)不同的四位偶數(shù).,2.某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目，如果將