2019_2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章概率3_2_1古典概型學(xué)案新人教A版必修3.docx

32.1古典概型1了解基本事件的定義，能寫出一次試驗所出現(xiàn)的基本事件2理解古典概型的特征和計算公式，會判斷古典概型，培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng)3會求古典概型中事件的概率，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)1基本事件(1)定義：在一次試驗中，所有可能出現(xiàn)的基本結(jié)果中不能再分的最簡單的隨機事件稱為該次試驗的基本事件(2)特點：一是任何兩個基本事件是互斥的；二是任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和2古典概型(1)定義：如果一個概率模型滿足試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等那么這樣的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型(2)計算公式：對于古典概型，任何事件的概率為P(A).1擲一枚不均勻的骰子，求出現(xiàn)點數(shù)為偶數(shù)點的概率，這個概率模型還是古典概型嗎？提示不是因為骰子不均勻，所以每個基本事件出現(xiàn)的可能性不相等2“在區(qū)間0, 10上任取一個數(shù)，這個數(shù)恰為2的概率是多少？”這個概率模型屬于古典概型嗎？提示不是因為在區(qū)間0,10上任取一個數(shù)，其試驗結(jié)果有無限個，故其基本事件有無限個，所以不是古典概型3判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)任何兩個基本事件是互斥的()(2)任何事件都可以表示成基本事件的和()(3)一次試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個，則這個試驗是古典概型()(4)古典概型中每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等()提示(1)(2)(3)(4)題型一基本事件的計數(shù)問題【典例1】將一枚質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲兩次，觀察兩次出現(xiàn)的點數(shù)情況，則：(1)一共有幾個基本事件？(2)“出現(xiàn)的點數(shù)之和大于8”包含幾個基本事件？思路導(dǎo)引先列出所有的基本事件，再確定個數(shù)解解法一： (1)用(x，y)表示結(jié)果，其中x表示第1次骰子出現(xiàn)的點數(shù)，y表示第2次骰子出現(xiàn)的點數(shù)，則試驗的所有結(jié)果為：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6), (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6), (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6), (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6), (5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6), (6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6). 共36個基本事件. (2)“出現(xiàn)的點數(shù)之和大于8”包含以下10個基本事件：(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6). 解法二：如下圖所示，坐標(biāo)平面內(nèi)的數(shù)表示相應(yīng)兩次拋擲后出現(xiàn)的點數(shù)的和，基本事件與所描點一一對應(yīng). (1)由圖知，基本事件的總數(shù)為36. (2)“出現(xiàn)的點數(shù)之和大于8”包含10個基本事件(已用虛線圈出). 解法三：一枚骰子先后拋擲兩次的所有可能結(jié)果用樹形圖表示如下圖所示. (1)由圖知，共36個基本事件. (2)“出現(xiàn)的點數(shù)之和大于8”包含10個基本事件(已用“”標(biāo)出). (1)在列出基本事件時，應(yīng)先確定基本事件是否與順序有關(guān)寫基本事件時，一定要按一定順序?qū)?，這樣不容易漏寫. (2)求基本事件總數(shù)的常用方法列舉法：適合于較簡單的問題. 列表法：適合求較復(fù)雜問題中的基本事件數(shù). 樹形圖法：適合較復(fù)雜問題中基本事件的探求針對訓(xùn)練1一個口袋內(nèi)裝有大小相同的5個球，其中2個白球，3個黑球，寫出按下列要求的基本事件. (1)一次摸兩個；(2)先摸一個不放回，再摸一個；(3)先摸一個放回后，再摸一個. 解2個白球分別記為A，B,3個黑球分別記為a，b，c. (1)列舉法：基本事件有(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共10個. (2)樹形圖法：基本事件有(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，A)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(a，A)，(a，B)，(a，b)，(a，c)，(b，A)，(b，B)，(b，a)，(b，c)，(c，A)，(c，B)，(c，a)，(c，b)，共20個. (3)列表法：ABabcA(A，A)(A，B)(A，a)(A，b)(A，c)B(B，A)(B，B)(B，a)(B，b)(B，c)a(a，A)(a，B)(a，a)(a，b)(a，c)b(b，A)(b，B)(b，a)(b，b)(b，c)c(c，A)(c，B)(c，a)(c，b)(c，c)基本事件共有25個題型二簡單的古典概型的概率計算【典例2】甲、乙兩校各有3名教師報名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女. (1)若從甲校和乙校報名的教師中各任選1名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師性別相同的概率；(2)若從報名的6名教師中任選2名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師來自同一所學(xué)校的概率. 思路導(dǎo)引(1)要求2名教師性別相同的概率，應(yīng)先寫出所有可能的結(jié)果，可以采用列舉法求解；(2)要求選出的2名教師來自同一所學(xué)校的概率，應(yīng)先求出2名教師來自同一所學(xué)校的基本事件. 解(1)甲校2名男教師分別用A，B表示，1名女教師用C表示；乙校1名男教師用D表示，2名女教師分別用E，F(xiàn)表示. 從甲校和乙校報名的教師中各任選1名的所有可能的結(jié)果為：(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，共9種. 從中選出2名教師性別相同的結(jié)果有：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，共4種，所以選出的2名教師性別相同的概率為P.(2)從甲校和乙校報名的6名教師中任選2名的所有可能的結(jié)果為：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))，共15種. 從中選出2名教師來自同一所學(xué)校的結(jié)果有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))，共6種，所以選出的2名教師來自同一所學(xué)校的概率為P.求解古典概型“四步法”針對訓(xùn)練2某校夏令營有3名男同學(xué)A，B，C和3名女同學(xué)X，Y，Z，其年級情況如下表：一年級二年級三年級男同學(xué)ABC女同學(xué)XYZ現(xiàn)從這6名同學(xué)中隨機選出2人參加知識競賽(每人被選到的可能性相同)(1)用表中字母列舉出所有可能的結(jié)果；(2)設(shè)M為事件“選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)”，求事件M發(fā)生的概率解(1)從6名同學(xué)中隨機選出2人參加知識競賽的所有可能結(jié)果為A，B，A，C，A，X，A，Y，A，Z，B，C，B，X，B，Y，B，Z，C，X，C，Y，C，Z，X，Y，X，Z，Y，Z，共15種(2)選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)的所有可能結(jié)果為A，Y，A，Z，B，X，B，Z，C，X，C，Y，共6種因此，事件M發(fā)生的概率P(M).題型三較復(fù)雜的古典概型的概率計算【典例3】袋子中裝有除顏色外其他均相同的編號為a，b的2個黑球和編號為c，d，e的3個紅球，從中任意摸出2個球(1)寫出所有不同的結(jié)果；(2)求恰好摸出1個黑球和1個紅球的概率；(3)求至少摸出1個黑球的概率思路導(dǎo)引(1)可以利用初中學(xué)過的樹狀圖寫出；(2)找出恰好摸出1個黑球和1個紅球的基本事件，利用古典概型的概率計算公式求出；(3)找出至少摸出1個黑球的基本事件，利用古典概型的概率計算公式求出解(1)用樹狀圖表示所有的結(jié)果為所以所有不同的結(jié)果是ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.(2)記“恰好摸出1個黑球和1個紅球”為事件A，則事件A包含的基本事件為ac，ad，ae，bc，bd，be，共6個基本事件，所以P(A)0.6，即恰好摸出1個黑球和1個紅球的概率為0.6.(3)記“至少摸出1個黑球”為事件B，則事件B包含的基本事件為ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，共7個基本事件，所以P(B)0.7，即至少摸出1個黑球的概率為0.7.利用事件間的關(guān)系求概率在求解較復(fù)雜事件的概率時，可將其分解為幾個互斥的簡單事件的和事件，由公式P(A1A2A3An)P(A1)P(A2)P(An)求得，或采用正難則反的原則，轉(zhuǎn)化為求其對立事件，再用公式P(A)1P()(為A的對立事件)求得針對訓(xùn)練3先后擲兩枚大小相同的骰子(1)求點數(shù)之和出現(xiàn)7點的概率；(2)求出現(xiàn)兩個4點的概率；(3)求點數(shù)之和能被3整除的概率解如圖所示，從圖中容易看出基本事件與所描點一一對應(yīng)，共36個(1)記“點數(shù)之和出現(xiàn)7點”為事件A，從圖中可以看出，事件A包含的基本事件共6個：(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)故P(A).(2)記“出現(xiàn)兩個4點”為事件B，從圖中可以看出，事件B包含的基本事件只有1個，即(4,4)故P(B).(3)記“點數(shù)之和能被3整除”為事件C，則事件C包含的基本事件共12個：(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6)故P(C).課堂歸納小結(jié)1古典概型是一種最基本的概型解題時要緊緊抓住古典概型的兩個基本特征，即有限性和等可能性在應(yīng)用公式P(A)時，關(guān)鍵是正確理解基本事件與事件A的關(guān)系，從而求出m、n.2.求某個隨機事件A包含的基本事件的個數(shù)和試驗中基本事件的總數(shù)常用的方法是列舉法(畫樹狀圖和列表)，注意做到不重不漏3對于用直接方法難以解決的問題，可以先求其對立事件的概率，再求所求概率.1同時投擲兩顆大小完全相同的骰子，用(x，y)表示結(jié)果，記A為“所得點數(shù)之和小于5”，則事件A包含的基本事件數(shù)是()A3 B4 C5 D6解析事件A包含的基本事件有6個：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)故選D.答案D2下列關(guān)于古典概型的說法中正確的是()試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；每個事件出現(xiàn)的可能性相等；每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等；基本事件的總數(shù)為n，隨機事件A若包含k個基本事件，則P(A).A B C D解析根據(jù)古典概型的特征與公式進行判斷，正確，不正確，故選B.答案B3下列試驗中，屬于古典概型的是()A種下一粒種子，觀察它是否發(fā)芽B從規(guī)格直徑為250 mm0.6 mm的一批合格產(chǎn)品中任意抽一根，測量其直徑dC拋擲一枚硬幣，觀察其出現(xiàn)正面或反面D某人射擊中靶或不中靶解析依據(jù)古典概型的特點判斷，只有C項滿足：試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；每個基本事件出現(xiàn)的可能性相同答案C4設(shè)a是擲一枚骰子得到的點數(shù)，則方程x2ax20有兩個不相等的實根的概率為()A. B. C. D.解析基本事件總數(shù)為6，若方程有兩個不相等的實根則a280，滿足上述條件的a為3,4,5,6，故P.答案A5一枚硬幣連擲3次，有且僅有2次出現(xiàn)正面向上的概率為()A. B. C. D.解析所有的基本事件是(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，共有8個，僅有2次出現(xiàn)正面向上的有：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，共3個則所求概率為.答案A弄錯基本事件而致誤【典例】任意投擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，求“出現(xiàn)的點數(shù)之和為奇數(shù)”的概率. 錯解任意投擲兩枚骰子，點數(shù)之和可能是2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，共有11個基本事件，設(shè)出現(xiàn)的點數(shù)之和為奇數(shù)的事件為A，則事件A包含3,5,7,9,11，共5個基本事件，故P(A)，即出現(xiàn)的點數(shù)之和為奇數(shù)的概率為.錯解分析出現(xiàn)點數(shù)之和為奇數(shù)與偶數(shù)的11種情況不是等可能事件，如“點數(shù)之和為2”只出現(xiàn)一次，即(1,1)；“點數(shù)之和為3”則出現(xiàn)兩次，即(2,1)，(1,2)，因此以點數(shù)之和為基本事件不屬于古典概型，不能應(yīng)用古典概型概率公式計算. 正解任意投擲兩枚骰子，可看成等可能事件，其結(jié)果即基本事件可表示為數(shù)組(i，j)(i，j1,2，6)，其中兩個數(shù)i，j分別表示這兩枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)，則有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6), (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6), (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6), (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6), (5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6), (6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6), 共有36個基本事件. 設(shè)“出現(xiàn)的點數(shù)之和為奇數(shù)”為事件A，則包含(1,2)，(1,4)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,3)，(6,5)，共有18個基本事件，故P(A).即“出現(xiàn)的點數(shù)之和為奇數(shù)”的概率為.首先確定是不是古典概型，然后注意基本事件總數(shù)是什么，事件A是什么，包含的基本事件有哪些. 針對訓(xùn)練從1,2,3,4,5這5個數(shù)字中任取三個不同的數(shù)字，求下列事件的概率(1)事件A三個數(shù)字中不含1和5；(2)事件B三個數(shù)字中含1或5. 解這個試驗的基本事件為：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，所以基本事件總數(shù)n10. (1)因為事件A(2,3,4), 所以事件A包含的事件數(shù)m1. 所以P(A).(2)因為事件B(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5), 所以事件B包含的基本事件數(shù)m9. 所以P(B).課后作業(yè)(十九) (時間45分鐘)學(xué)業(yè)水平合格練(時間25分鐘)1下列概率模型中，是古典概型的個數(shù)為()從區(qū)間1,10內(nèi)任取一個數(shù)，求取到1的概率；從110中任意取一個整數(shù)，求取到1的概率；在一個正方形ABCD內(nèi)畫一點P，求P剛好與點A重合的概率；向上拋擲一枚不均勻的硬幣，求出現(xiàn)反面朝上的概率A1 B2 C3 D4解析古典概型的概率特點是基本事件是有限個，并且每個基本事件發(fā)生的概率是等可能的，故是古典概型，由于硬幣質(zhì)地不均勻，故不是古典概型，故選A.答案A2一只螞蟻在如圖所示的樹枝上尋覓食物，假定螞蟻在每個岔路口都會隨機地選擇一條路徑，則它能獲得食物的概率為()A.B.C.D.解析該樹枝的樹梢有6處，有2處能找到食物，所以獲得食物的概率P.答案C3現(xiàn)有2名女教師和1名男教師參加說題比賽，共有2道備選題目，若每位選手從中有放回地隨機選出一道題進行說題，其中恰有一男一女抽到同一道題的概率為()A. B. C. D.解析設(shè)兩道題分別為A，B，所以抽取情況共有：AAA，AAB，ABA，ABB, BAA，BAB，BBA，BBB，其中第1個，第2個分別表示兩個女教師抽取的題目，第3個表示男教師抽取的題目，一共有8種；其中滿足恰有一男一女抽到同一題目的事件有：ABA，ABB，BAA，BAB，共4種；故所求事件的概率為.故選C.答案C4從邊長為1的正方形的中心和頂點這五點中，隨機(等可能)取兩點，則該兩點間的距離為的概率是()A. B. C. D.解析若使兩點間的距離為，則為對角線的一半，選擇點必含中心，設(shè)中心為G，四個頂點為A，B，C，D，基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，G)，(B，C)，(D，G)，共10個，所求事件包含的基本事件有(A，G)，(B，G)，(C，G)，(D，G)，共4個，所求概率為.答案B54張卡片上分別寫有數(shù)字1,2,3,4，從這4張卡片中隨機抽取2張，則取出的卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為()A. B. C. D.解析從4張卡片中隨機取2張，共有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3), (2,4)，(3,4)，6種基本事件，其數(shù)字之和為奇數(shù)的有(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)故所求概率為P.答案C6古代“五行”學(xué)說認(rèn)為：物質(zhì)分“金、木、水、火、土”五種屬性，“金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”從五種不同屬性的物質(zhì)中隨機抽取兩種，則抽到的兩種物質(zhì)不相克的概率為_解析試驗所含的基本事件為金，木、金，水、金，火、金，土、木，水、木，火、木，土、水，火、水，土、火，土共10種“金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”之外的都不相克，共有5種，故抽取到的兩種物質(zhì)不相克的概率為.答案7設(shè)a，b隨機取自集合1,2,3，則直線axby30與圓x2y21有公共點的概率是_解析將a，b的取值記為(a，b)，則有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共9種可能當(dāng)直線與圓有公共點時，可得1，從而符合條件的有(1,3)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共5種可能，故所求概率為.答案8某興趣小組有2名男生和3名女生，現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參加活動，則恰好選中2名女生的概率為_解析設(shè)2名男生為a，b,3名女生為A，B，C，從中選出2人的情況有(a，b)，(a，A)，(a，B)，(a，C)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)，共10種，而都是女生的情況有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3種，故所求概率為.答案9在一次“知識競賽”活動中，有A1，A2，B，C共4道題，其中A1，A2為難度相同的容易題，B為中檔題，C為較難題現(xiàn)甲、乙兩位同學(xué)均需從4道題目中隨機抽取一題作答(1)求甲所選題目的難度大于乙所選題目的難度的概率；(2)求甲、乙兩位同學(xué)所選的題目難度相同的概率解由題意可知，甲、乙兩位同學(xué)分別從4道題中隨機抽取一題，所有可能的結(jié)果有16個，分別是：(A1，A1)，(A1，A2)，(A1，B)，(A1，C)，(A2，A1)，(A2，A2)，(A2，B)，(A2，C)，(B，A1)，(B，A2)，(B，B)，(B，C)，(C，A1)，(C，A2)，(C，B)，(C，C)(1)用N表示事件“甲所選題目的難度大于乙所選題目的難度”，則N包含基本事件為：(B，A1)，(B，A2)，(C，A1)，(C，A2)，(C，B)所以P(N).(2)用M表示事件“甲、乙兩位同學(xué)所選的題目難度相同”，則M包含的基本事件為：(A1，A1)，(A1，A2)，(A2，A1)，(A2，A2)，(B，B)，(C，C)所以P(M).10設(shè)甲、乙、丙三個乒乓球協(xié)會的運動員人數(shù)分別為27,9,18.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這三個協(xié)會中抽取6名運動員組隊參加比賽(1)求應(yīng)從這三個協(xié)會中分別抽取的運動員的人數(shù)(2)將抽取的6名運動員進行編號，編號分別為A1，A2，A3，A4，A5，A6.現(xiàn)從這6名運動員中隨機抽取2人參加雙打比賽用所給編號列出所有可能的結(jié)果；設(shè)A為事件“編號為A5和A6的兩名運動員中至少有1人被抽到”，求事件A發(fā)生的概率解(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個協(xié)會中抽取的運動員人數(shù)分別為3,1,2.(2)從6名運動員中隨機抽取2人參加雙打比賽的所有可能結(jié)果為A1，A2，A1，A3，A1，A4，A1，A5，A1，A6，A2，A3，A2，A4，A2，A5，A2，A6，A3，A4，A3，A5，A3，A6，A4，A5，A4，A6，A5，A6，共15種編號為A5和A6的兩名運動員中至少有1人被抽到的所有可能結(jié)果為A1，A5，A1，A6，A2，A5，A2，A6，A3，A5，A3，A6，A4，A5，A4，A6，A5，A6，共9種因此，事件A發(fā)生的概率P(A).應(yīng)試能力等級練(時間20分鐘)11有5支彩筆(除顏色外無差別)，顏色分別為紅、黃、藍、綠、紫從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為()A. B. C. D.解析從5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，有10種不同取法：紅，黃，紅，藍，紅，綠，紅，紫，黃，藍，黃，綠，黃，紫，藍，綠，藍，紫，綠，紫而取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的取法有紅，黃，紅，藍，紅，綠，紅，紫，共4種，故所求概率P.答案C12有3個興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個小組，每位同學(xué)參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個興趣小組的概率為()A. B. C. D.解析記三個興趣小組分別為1、2、3，甲參加1組記為“甲1”，則基本事件為“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9個記事件A為“甲、乙兩位同學(xué)參加同