四川省眉山市2015-2016學年高二下期末數學文科試卷含答案解析

第 1 頁（共 17 頁） 2015年四川省眉山市高二（下）期末數學試卷（文科） 一、選擇題（共 12 小題，每小題 5 分，滿分 60 分） 1復數 z= +i 為虛數單位）的共軛復數為（ ） A 1+2i B i 1 C 1 i D 1 2i 2設函數 f（ x）在定義域內可導， y=f（ x）的圖象如圖所示，則導函數 y=f（ x）可能為（ ） A B C D 3已知拋物線的頂點為坐標原點，焦點是圓 y 3） 2=4 的圓心，則拋物線的方程是（ ） A x B y C 2x D 2y 4已知 ， A=30， B=60，求證 a b證明 ： A=30， B=60， A B， a b，畫線部分是演繹推理的是（ ） A大前提 B小 前提 C結論 D三段論 5已知兩直線 y= 和 y=（ a+2） x+1 互相垂直，則 a 等于（ ） A 2 B 1 C 0 D 1 6函數 y= 單調遞減區(qū)間為（ ） A（ 1， 1 B（ 0， 1 C 1， +） D（ 0， +） 7若橢圓 和雙曲線 有相同的焦點 是兩曲線的交點，則 | 值是（ ） A B C b n D a m 8設點 P 是曲線 y= 2 4 ） x 上任意一點， P 點處切線的傾斜角為 ，則 的取值范圍是（ ） A ， ） B（ ， C 0， ） ， ） D 0， ） ， ） 9已知 P 是拋物線 x 上的一個動點， Q 是圓（ x 3） 2+（ y 1） 2=1 上的一個動點， N（ 1， 0）是一個定點，則 |最小值為（ ） A 3 B 4 C 5 D +1 第 2 頁（共 17 頁） 10設 三邊長分別為 a、 b、 c， 面積為 S，內切圓半徑為 r，則 ，類比這個結論可知：四面體 S 四個面的面積分別為 切球半徑為 R，四面體 S 體積為 V，則 R=（ ） A B C D 11定義在 R 上的函數 f（ x）滿足： f（ x） +f（ x） 2 0， f（ 0） =3， f（ x）是 f（ x）的導函數，則不等式 x） 2（其中 e 為自然對數的底數）的解集為（ ） A（ ， 0） （ 3， +） B（ 0， +） C（ ， 0） （ 1， +） D（ 3，+） 12如圖，已知橢圓 + =1（ a b 0），點 P 是橢圓上位于第一象限的點，點 F 為橢圓的右焦點，且 |設 且 ， ，則橢圓離心率的取值范圍為（ ） A 1， B 2 ， C 1， D 2 ， 二、填空題（共 4 小題，每小題 5 分，滿分 20 分） 13設函數 f（ x） = f（ x）的最小值為 14過 P（ 8， 3）作雙曲線 91644 的弦 P 為弦 點，那么直線 方程為 15如果 拋物線 C： x 上的點，它們的橫坐標依次為 F 是拋物線 C 的焦點，若 x1+x2+0，則 | 16對于三次函數 f（ x） =cx+d（ a 0），定義 f（ x）是函數 y=f（ x）的導函數 y=f（ x）的導數，若方程 f（ x） =0 有實數解 稱點（ f（ 為函數 y=f（ x）的圖象的 “拐點 ”，可以證明，任何三次函數的圖象都有 “拐點 ”，任何三 次函數的圖象都有對稱中心，且 “拐點 ”就是對稱中心請你根據這一結論判斷下列命題： 任意三次函數都關于點（ ， f（ ）對稱； 存在三次函數 y=f（ x）， f（ x） =0 有實數解 稱點（ f（ 為函數 y=f（ x）的圖象的對稱中心； 存在三次函數的圖象不止一個對稱中心； 若函數 g（ x） = ，則 g（ ） +g（ ） +g（ ） +g（ ）= 1008 第 3 頁（共 17 頁） 其中正確命題的序號為 （寫出所有正確命題的序號） 三、解答題（共 6 小題，滿分 70 分） 17已知橢圓 C 的兩個焦點分別為 ， 0）， ， 0），短軸的兩個端點分別為 1）若 等邊三角形，求橢圓 C 的方程； （ 2）在（ 1）的條件下，過點 直線 l 與橢圓 C 相交于 P， Q 兩點，且 l 的斜率為 1，求|長 18設函數 f（ x） = x+a （ 1）當 a= 時，求函數 y=f（ x）圖象上在點（ 3， f（ 3）處的切線方程； （ 2）若方程 f（ x） =0 有三個不等實根，求實數 a 的取值范圍 19已知圓 C：（ x 1） 2+（ y 2） 2=25，直線 l：（ 2m+1） x+（ m+1） y=7m+4（ m R） （ 1）求證：直線 l 過定點 A（ 3， 1），且直線 l 與圓 C 相交； （ 2）求直線 l 被圓 C 截得的弦長最短時的方程 20某商場銷售某種商品的經驗表明，該商品每日的銷售量 y（單位：千克）與銷售價格 x（單位：元 /千克）滿足關系式： y= +10（ x 6） 2，其中 3 x 6， a 為常數，已知銷售的價格為 5 元 /千克時，每日可以售出該商品 11 千克 （ 1）求 a 的值； （ 2）若該商品的成本為 3 元 /千克，試確定銷售價格 x 的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大，并求出最大值 21已知橢圓 C 經過點（ 1， ）和（ 2， ），求 （ 1）橢圓 C 的標準方程； （ 2）過橢圓 C 的上頂點 B 作兩條互相垂直的直線分別與橢圓 C 相交于點 P、 Q，試問直線否經過定點，若經過定點請求出定點并說明理由 22已知函數 f（ x） =x+1， x （ 0， +）， g（ x） =3 a 0） （ 1）求 f（ x）的最大值； （ 2）若對 （ 0， +），總存在 1， 2使得 f（ g（ 立，求 a 的取值范圍 第 4 頁（共 17 頁） 2015年四川省眉山市高二（下）期末數學試卷（文科） 參考答案與試題解析 一、選擇題（共 12 小題，每小題 5 分，滿分 60 分） 1復數 z= +i 為虛數單位）的共軛復數為（ ） A 1+2i B i 1 C 1 i D 1 2i 【考點】 復數代數形式的乘除運算 【分析】 利用復數的運算法則、共軛復數的定義即可得出 【解答】 解： z= + i=（ i 1） i=1 2i， 其共軛復數為 1+2i， 故選： A 2設函數 f（ x）在定義域內可導， y=f（ x）的圖象如圖所示，則導函數 y=f（ x）可能為（ ） A B C D 【考點】 函數的圖象；導數的運算 【分析】 先從 f（ x）的圖象判斷出 f（ x）的單調性，根據函數的單調性與導函數的符號的關系判斷出導函數的符號，判斷出導函數的圖象 【解答】 解：由 f（ x）的圖象判斷出 f（ x）在區(qū)間（ ， 0）上遞 增；在（ 0， +）上先增再減再增 在區(qū)間（ ， 0）上 f（ x） 0，在（ 0， +）上先有 f（ x） 0 再有 f（ x） 0 再有 f（ x） 0 故選 D 3已知拋物線的頂點為坐標原點，焦點是圓 y 3） 2=4 的圓心，則拋物線的方程是（ ） A x B y C 2x D 2y 【考點】 拋物線的簡單性質 【分析】 結合題目所給條件，得出拋物線的焦準距，即可得出答案 【解答】 解： 拋物線的焦點是圓 y 3） 2=4 的圓心， 拋物線的焦點為（ 0， 3）， 第 5 頁（共 17 頁） 又拋物線 的頂點為坐標原點， =3， p=6， 拋物線的方程為 2y 故選： D 4已知 ， A=30， B=60，求證 a b證明 ： A=30， B=60， A B， a b，畫線部分是演繹推理的是（ ） A大前提 B小前提 C結論 D三段論 【考點】 演繹推理的意義 【分析】 首先把求證： a b 寫成三段論形式，即可看出證明畫線部分是演繹推理的小前提 【解答】 解： “求證： a b”寫成三段論是： 大前提：因為在三 角形中，大角對大邊， 小前提：而 A=30， B=60，則 A B 結論：所以 a b 故證明畫線部分是演繹推理的小前提 故選： B 5已知兩直線 y= 和 y=（ a+2） x+1 互相垂直，則 a 等于（ ） A 2 B 1 C 0 D 1 【考點】 直線的一般式方程與直線的垂直關系 【分析】 先求出求出兩直線的斜率，利用兩直線垂直，斜率之積等于 1 求得 a 值 【解答】 解：直線 y= 的斜率等于 a， y=（ a+2） x+1 的斜率為 （ a+2）， 兩條直線 y= 和 y=（ a+2） x+1 互 相垂直， a（ a+2） = 1，解得 a= 1， 故選： D 6函數 y= 單調遞減區(qū)間為（ ） A（ 1， 1 B（ 0， 1 C 1， +） D（ 0， +） 【考點】 利用導數研究函數的單調性 【分析】 由 y= y= ，由 y 0 即可求得函數 y= 單調遞減區(qū)間 【解答】 解： y= 定義域為（ 0， +）， y= ， 由 y 0 得： 0 x 1， 函數 y= 單調遞減區(qū)間為（ 0， 1 故選： B 第 6 頁（共 17 頁） 7若橢圓 和雙曲線 有相同的焦點 是兩曲線的交點，則 |值是（ ） A B C b n D a m 【考點】 雙曲線的簡單性質；橢圓的簡單性質 【分析】 利用橢圓、雙曲線的定義，結合| ，即可得到結論 【解答】 解： 橢圓 和雙曲線 有相同的焦點P 是兩曲線的交點， |2 ， | |=2 ， | =a m 故選 D 8設點 P 是曲線 y= 2 4 ） x 上任意一點， P 點處 切線的傾斜角為 ，則 的取值范圍是（ ） A ， ） B（ ， C 0， ） ， ） D 0， ） ， ） 【考點】 利用導數研究曲線上某點切線方程 【分析】 求得函數的導數，設出切點 P（ m， n），可得切線的斜率，配方可得斜率的最小值，由正切函數的圖象，即可得到所求范圍 【解答】 解： y= 2 4 ） x 的導數為 y=4x+4 =（ x 2） 2 ， 設 P（ m， n）， 可得切線 的斜率為 k= m 2） 2 ， 即有 ， 可得 0， ） ， ） 故選： D 9已知 P 是拋物線 x 上的一個動點， Q 是圓（ x 3） 2+（ y 1） 2=1 上的一個動點， N（ 1， 0）是一個定點，則 |最小值為（ ） A 3 B 4 C 5 D +1 【考點】 圓與圓錐曲線的綜合 第 7 頁（共 17 頁） 【分析】 由題意畫出圖形，根據 N 為拋物線的焦點，可過圓（ x 3） 2+（ y 1） 2=1 的圓心M 作拋物線的準線的垂線 圓于 Q 交拋物線于 P，則 |最小值等于 | 1 【解答】 解：如圖， 由拋物線方程 x，可得拋物線的焦點 F（ 1， 0）， 又 N（ 1， 0）， N 與 F 重合 過圓（ x 3） 2+（ y 1） 2=1 的圓心 M 作拋物線的準線的垂線 圓于 Q 交拋物線于 P， 則 |最小值等于 | 1=3 故選： A 10設 三邊長分別為 a、 b、 c， 面積為 S，內切圓半徑為 r，則 ，類比這個結論可知：四面體 S 四個面的面積分別為 切球半徑為 R，四面體 S 體積為 V，則 R=（ ） A B C D 【考點】 類比推理 【分析】 根據平面與空間之間的類比推理，由點類比點或直線，由直線 類比 直線或平面，由內切圓類比內切球，由平面圖形面積類比立體圖形的體積，結合求三角形的面積的方法類比求四面體的體積即可 【解答】 解：設四面體的內切球的球心為 O， 則球心 O 到四個面的距離都是 R， 所以四面體的體積等于以 O 為頂點， 分別以四個面為底面的 4 個三棱錐體積的和 則四面體的體積為 R= 故選 C 第 8 頁（共 17 頁） 11定義在 R 上的函數 f（ x）滿足： f（ x） +f（ x） 2 0， f（ 0） =3， f（ x）是 f（ x）的導函數，則不等式 x） 2（其中 e 為自然對數的底數）的解集為（ ） A（ ， 0） （ 3， +） B（ 0， +） C（ ， 0） （ 1， +） D（ 3，+） 【考點】 導數的運算；利用導數研究函數的單調性 【分析】 令 F（ x） =x） 21，從而求導 F（ x） =f（ x） +f（ x） 2） 0，從而由導數求解不等式 【解答】 解：解：令 F（ x） =x） 21 則 F（ x） =exf（ x） +f（ x） 2 0， 故 F（ x）是 R 上的單調增函數， 而 F（ 0） =0） 21=0， 故不等式 x） 2（其中 e 為自然對數的底數）的解集為（ 0， +） 故選： B 12如圖，已知橢圓 + =1（ a b 0），點 P 是橢圓上位于第一象限的點，點 F 為橢圓的右焦點，且 |設 且 ， ，則橢圓離心率的取值范圍為（ ） A 1， B 2 ， C 1， D 2 ， 【考點】 橢圓的簡單性質 【分析】 通過設橢圓的左焦點為 F，作點 P 關于原點對稱的點 B，連接 造矩形 用 的三角函數值表示 | |進而利用離心率公式計算即得結論 【解答】 解：設橢圓的左焦點為 F，作點 P 關于原點對稱的點 B， 連接接 則四邊形 矩形 因此 |=2c， |2a， |2|2 2a， 第 9 頁（共 17 頁） e= = ， 又 ， ， + ， ， + ） ， ， = + ） ， ， e 1， ， 故選： C 二、填空題（共 4 小題，每小題 5 分，滿分 20 分） 13設函數 f（ x） = f（ x）的最小值為 【考點】 利用導數求閉區(qū)間上函數的最值 【分析】 求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區(qū)間，從而求出函數的最小值即可 【解答】 解： f（ x） = 令 f（ x） 0，解得： x 2， 令 f（ x） 0，解得： x 2， f（ x）在（ ， 2）遞減，在（ 2， +）遞增， f（ x） f（ 2） = 故答案為： 14過 P（ 8， 3）作雙曲線 91644 的弦 P 為弦 點，那么直線 方程為 3x 2y 18=0 【考點】 雙曲線的簡單性質 【分析】 設出 A， B 的坐標，代入雙曲線方程，兩式相減，根據中點的坐標可知 x1+ y1+而求得直線 斜率，根據點斜式求得直線的方程 【解答】 解：設 A（ B（ 由 P 為弦 點， 可得 x1+6， y1+， 又 91644， 91644， 相減可得， 9（ x1+ 16（ y1+ =0， 第 10 頁（共 17 頁） 即為 9（ 6（ =0， 可得 = ， 則直線的方程為 y 3= （ x 8），即 3x 2y 18=0 故答案為： 3x 2y 18=0 15如果 拋物線 C： x 上的點，它們的橫坐標依次為 F 是拋物線 C 的焦點，若 x1+x2+0，則 | 16 【考點】 拋物線的簡單性質 【分析】 由拋物線性質得 |=，由此能求出結果 【解答】 解： 拋物線 C： x 上的點，它們的橫坐標依次為 是拋物線 C 的焦點， x1+x2+0， |=（ ） +（ ） +（ ） =x1+x2+ =16 故答案為： 16 16對于三次函數 f（ x） =cx+d（ a 0），定義 f（ x）是函數 y=f（ x）的導函數 y=f（ x）的導數，若方程 f（ x） =0 有實數解 稱點（ f（ 為函數 y=f（ x）的圖象的 “拐點 ”，可以證明，任何三次函數的圖象都有 “拐點 ”，任何三次函數的圖象都有對稱中心，且 “拐點 ”就是對稱中心請你根據這一結論判斷下列命題： 任意三次函數都關于點（ ， f（ ）對稱； 存在三次函數 y=f（ x）， f（ x） =0 有實數解 稱點（ f（ 為函數 y=f（ x）的圖象的對稱中心； 存在三次函數的圖象不止一個 對稱中心； 若函數 g（ x） = ，則 g（ ） +g（ ） +g（ ） +g（ ）= 1008 其中正確命題的序號為 （寫出所有正確命題的序號） 【考點】 導數的運算；函數的值 【分析】 根據函數 f（ x）的解析式求出 f（ x）和 f（ x），令 f（ x） =0，求得 x 的值，由此求得三次函數 f（ x） =cx+d（ a 0）的對稱中心； 利用三次函數對稱中心的定義和性質進行判斷； 由函數 g（ x）的對稱中心是（ ， ），得 g（ x） +（ g（ 1 x） = 1，由此能求出答案 【解答】 解： f（ x） =cx+d（ a 0）， f（ x） =3bx+c， f（ x） =6b， 第 11 頁（共 17 頁） f（ x） =6a （ ） +2b=0， 任意三次函數都關于點（ ， f（ ）對稱，即 正確； 任何三次函數都有對稱中心，且 “拐點 ”就是對稱中心， 存在三次函數 f（ x） =0 有實數解 （ f（ 為 y=f（ x）的對稱中心，即 正確 ； 任何三次函數都有且只有一個對稱中心，故 不正確； g（ x） =x， g（ x） =2x 1， 令 g（ x） =0，可得 x= ， g（ ） = ， g（ x） = 對稱中 心為（ ， ）， g（ x） +g（ 1 x） = 1， g（ ） +g（ ） +g（ ） +g（ ） = = 1 1008= 1008，故 正確 故答案為： 三、解答題（共 6 小題 ，滿分 70 分） 17已知橢圓 C 的兩個焦點分別為 ， 0）， ， 0），短軸的兩個端點分別為 1）若 等邊三角形，求橢圓 C 的方程； （ 2）在（ 1）的條件下，過點 直線 l 與橢圓 C 相交于 P， Q 兩點，且 l 的斜率為 1，求|長 【考點】 橢圓的簡單性質 【分析】 （ 1）利用橢圓的幾何性質得出 a， b， c 之間的關系解出 a， b， c 即可； （ 2）聯(lián)立直線方程與橢圓方程得出 P， Q 坐標的關系，代入弦長公式計算 【解答】 解：（ 1）設橢圓方程為 ，（ a b 0） 橢圓焦點坐標為 ， 0）， ， 0）， c= ， 由橢圓的定義得 a， b， 等邊三角形， ，解得 a=2， b=1 橢圓的方程為 （ 2）直線 l 的方程為 y=x 聯(lián)立方程組 ，得 58 x+8=0 第 12 頁（共 17 頁） 設 P（ Q（ 則 x1+， | = = 18設函數 f（ x） = x+a （ 1）當 a= 時，求函數 y=f（ x）圖象上在點（ 3， f（ 3）處的切線方程； （ 2）若方程 f（ x） =0 有三個不等實根，求實數 a 的取值范圍 【考點】 利用導數研究曲線上某點切線方程；利用導數研究函數的單調性 【分析】 （ 1）求得 f（ x）的導數，運用導數的幾何意義，可得切線的斜率，求得切點坐標，運用點斜式方程可得切線的方程； （ 2）求得 f（ x）的導數，可得單調區(qū)間和極值，由題意可得 f（ x）的極大值大于 0，極小值小于 0，解不等式即可得到所求 a 的范圍 【解答】 解：（ 1）當 a= 時， f（ x） = x ， 導數 f（ x） =3x+2， 可得在點（ 3， f（ 3）處的切線斜率為 k=9 9+2=2， 切點為（ 3， 0）， 可得函數 y=f（ x）圖象上在點（ 3， f（ 3）處的切線方程為 y=2（ x 3）， 即為 2x y 6=0； （ 2）函數 f（ x） = x+a 的導數為 f（ x） =3x+2， 當 1 x 2 時， f（ x） 0， f（ x）遞減； 當 x 2 或 x 1 時， f（ x） 0， f（ x）遞增 可得 f（ x）在 x=1 處取得極大值，且為 +a； f（ x）在 x=2 處取得極小值，且為 +a 由方程 f（ x） =0 有三個不等實根， 可得 +a 0，且 +a 0， 解得 a 則 a 的取值范圍是（ ， ） 19已知圓 C：（ x 1） 2+（ y 2） 2=25，直線 l：（ 2m+1） x+（ m+1） y=7m+4（ m R） （ 1）求證：直線 l 過定點 A（ 3， 1），且 直線 l 與圓 C 相交； （ 2）求直線 l 被圓 C 截得的弦長最短時的方程 【考點】 直線與圓的位置關系 【分析】 （ 1）將點 A 的坐標代入直線 l 的方程，得出方程成立即可證明 l 過定點 A；再由 | r，證明直線 l 與圓 C 相交； 第 13 頁（共 17 頁） （ 2）由平面幾何的知識得 l 被圓 C 截得最短的弦是與直徑 直的弦，由此求出直線 【解答】 解：（ 1）證明：將點 A（ 3， 1）代入直線 l 的方程， 得左邊 =3（ 2m+1） +（ m+1） =7m+4=右邊， 所以直線 l 過定點 A； 又 | = 5， 所以點 A 在圓 C 內， 所以對任意的實數 m，直線 l 與圓 C 恒相交； （ 2）由平面幾何的知識可得， l 被圓 C 截得最短的弦是與直徑 直的弦， 因為 = ， 所以直線 l 的斜率為 ， 所以直線 l 的方程為 y 1=2（ x 3）， 即 2x y 5=0 為直線 l 被圓 C 截得的弦長最短時的方程 20某商場銷售某種商品的經驗表明，該商品每日 的銷售量 y（單位：千克）與銷售價格 x（單位：元 /千克）滿足關系式： y= +10（ x 6） 2，其中 3 x 6， a 為常數，已知銷售的價格為 5 元 /千克時，每日可以售出該商品 11 千克 （ 1）求 a 的值； （ 2）若該商品的成本為 3 元 /千克，試確定銷售價格 x 的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大，并求出最大值 【考點】 導數在最大值、最小值問題中的應用 【分析】 （ 1）由 x=5 時， y=11，代入函數的解析式，解關于 a 的方程，可得 a 值； （ 2）商場每日銷售該商品所 獲得的利潤 =每日的銷售量 銷售該商品的單利潤，可得日銷售量的利潤函數為關于 x 的三次多項式函數，再用求導數的方法討論函數的單調性，得出函數的極大值點，從而得出最大值對應的 x 值 【解答】 解：（ 1）因為 x=5 時， y=11， y= +10（ x 6） 2，其中 3 x 6， a 為常數 所以 +10=11，故 a=2； （ 2）由（ 1）可知，該商品每日的銷售量 y= +10（ x 6） 2， 所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤為 f（ x） =（ x 3） +10（ x 6） 2 =2+10（ x 3）（ x 6） 2， 3 x 6 從而， f（ x） =10（ x 6） 2+2（ x 3）（ x 6） =30（ x 6）（ x 4）， 于是，當 x 變化時， f（ x）、 f（ x）的變化情況如下表： x （ 3， 4） 4 （ 4， 6） f（ x） + 0 f（ x） 單調遞增 極大值 42 單調遞減 第 14 頁（共 17 頁） 由上表可得， x=4 是函數 f（ x）在區(qū)間（ 3， 6）內的極大值點，也是最大值點 所以，當 x=4 時，函數 f（ x）取得最大值，且最大值等于 42 答：當銷售價格為 4 元 /千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大 21已知橢圓 C 經過點（ 1， ）和（ 2， ），求 （ 1）橢圓 C 的標準方程； （ 2）過橢圓 C 的上頂點 B 作兩條互相垂直的直線分別與橢圓 C 相交于點 P、 Q，試問直線否經過定點，若經過定點請求出定點并說明理由 【考點】 橢圓的簡單性質 【分析】 （ 1）將兩點坐標代入橢圓的標準方程解方程組得出 a， b； （ 2）設兩條直線方程分別為 y=， y= x+1，分別與橢圓方程聯(lián)立解出 P， Q 坐標得出直線 方程