動點最值基本模型

.動點最值基本模型原創(chuàng)： 向北 向北數(shù)學 2018-05-14從合肥各區(qū)的?？季韥砜?，最值問題仍是2018中考第10或14題的熱門。本文以瑤海蜀山廬陽二模卷中最值問題為例，對最值問進行簡要分類和例析，歡迎指正。一、最值類型1.飲馬型：即將軍飲馬型，通常為兩條線段之和的最值問題，利用對稱性質(zhì)將其中一條線段進行轉(zhuǎn)換，再利用兩點之間線段最短（或三角形三邊關(guān)系）得到結(jié)果。（本公眾號有“【解題模型】將軍飲馬”）2.小垂型：即小垂回家型，通常為一條線段的最值問題，即動點的軌跡為直線，利用垂線段最短的性質(zhì)得到結(jié)果。3.穿心型：即一箭穿心型，通常為一條線段的最值問題，即動點的軌跡為圓或弧，利用點與圓的位置關(guān)系得到結(jié)果。（本公眾號有“一箭穿心，圓來如此一文”）4.轉(zhuǎn)換型：即一加半型，通常為一條線段與另一條線段一半的和的最值問題，即將那半條線段利用三角形中位線或30的對邊等知識進行轉(zhuǎn)換，再利用飲馬或小垂或穿心。5.三邊型：即三角形三邊關(guān)系關(guān)系型，通常利用兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊求其最大（?。┲怠?.結(jié)合型：即以上類型的綜合運用，大多為飲馬+小垂【如包河一模20題】【瑤海一模第10題】、小垂+穿心【如廬陽二模第10題】、飲馬+穿心【如瑤海二模第10題】飲馬+轉(zhuǎn)換【如蜀山二模第10題】等二、分類例析一、飲馬型例1：如圖，在正方形ABCD中，點E在CD上，CE=3, DE=1, 點P在AC上，則PE+PD的最小值是_ .解析：如圖例2：如圖所示，正方形ABCD的面積為12，ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點P，使PD+PE的和最小，則這個最小值為_.解析：如下圖二、小垂型例3：如圖，在RtABC中，C90，AC8，BC6，點P是AB上的任意一點，作PDAC于點D，PECB于點E，連接DE，則DE的最小值為_.解析：如下圖三、穿心型例4：如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，ABC=120，M是AD邊的中點，N是AB邊上一動點，將AMN沿MN翻折得到AMN，連接AC，則AC長度的最小值是_. 解析：如下圖四、轉(zhuǎn)換型例5:如圖，P為菱形ABCD內(nèi)一點，且P到A、B兩點的距離相等，若C=60，CD=4，則的最小值為_解析：因為P到A、B兩點的距離相等，所以P 在AB的垂直平分線上，又因菱形ABCD中C為60，所以ABD為等邊三角形，AB的垂直平分線經(jīng)過點D,如下圖由ADP=30度，可將PD的一半進行轉(zhuǎn)換，即過點P作AD的垂線。如圖，即B、P、F三點共線，且BFAD時最短 五、三邊型例6：如圖，MON=90，矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM，ON上，當B在邊ON上運動時，A隨之在邊OM上運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2，BC=1，運動過程中，點D到點O的最大距離為_解析：如下圖因為AB為定長，所以取其中點E，則OE為定值，在ODE中，DE為定值，OE為定值，根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得到OD的最大值。例7：如圖，已知ABC中，ACB=90，BC=4，AC=8，點D在AC上，且AD=6，將線段AD繞點A旋轉(zhuǎn)至AD，F(xiàn)為BD的中點，連結(jié)CF，則線段CF的取值范圍.解析： 解法一：瓜豆原理，點F的軌跡為圓，一箭穿心便可以求出其取值范圍。解法二：如下圖，取AB的中點M，連接FM,CM，由斜邊上的中線等于斜邊的一半得CM為定值，由三角形中位線得FM為定值，所以在CFM中，三邊關(guān)系可得到CF的取值范圍.例8：如圖，BA=1，BC=2，以AC為一邊做正方形AEDC，使E，B兩點落在直線AC的兩側(cè)，當ABC變化時，求BE的最大值.解析：將AEB以點A中心順時針旋轉(zhuǎn)90，得到ACB,如下圖所示，連接BB，所以BC=BE，在BBC中，BB為定值，BC為定值，三角形三邊關(guān)系即可得到BC的最大值，即BE的值.6. 結(jié)合型例9：如圖，正方形ABCD中，AB=4, E為CD邊的中點，F(xiàn)、G為AB、AD邊上的點，且AF=2GD, 連接E、DF相交于點P，當AP為最小值時，DG=_解析：由AF=2GD，AD=2DE，得AFDDGE.如下圖GEDF, 那么線段AP中，A點為定點，P為動點，由DPE為直角，所以P的軌跡為一以DE中點為圓心的一段弧。如下圖由一箭穿心可得到AP的最小值為A,P,M三點共線，而此時，由DMPFAP可得到AP=AF即可得到結(jié)果.三、?？挤治觥緩]陽二模第10題】如圖，在平面直角坐標系中，A(6,0),B(0,8),點C在y軸正半軸上，點D在x的正半軸上，且CD=6，以CD為直徑在第一象限作半圓，交線段AB于點E、F，則線段EF的最大值為_如圖，在平面直角坐標系中，A(6,0),B(0,8),點C在y軸正半軸上，點D在x的正半軸上，且CD=6，以CD為直徑在第一象限作半圓，交線段AB于點E、F，則線段EF的最大值為_解析：線段EF由于半圓的變化而變化，所以應將其作為弦的變化來看，而弦長又與弦心距存在變量之間的關(guān)系，所以首先作出弦心距.如下動圖，所以當PQ最小時，EF最大。方法一：穿心小垂（P點為以O點圓心，OP為半徑的弧上）求出OQ的最值，即PQ的最小值，再由勾股定理和垂徑定理可求得EF.方法二：三邊+小垂（三角形OPQ）求出OQ的最值解析：由拋物線解析式可求出點A、B的坐標分別為，所以OAP=30，如下圖【瑤海二模第10題】如圖，矩形ABCD中，AB=2,AD=3,點E,F分別為AD,DC邊上的點，且EF=2,點G為EF的中點，點P為BC上一動點.則PA+PG的最小值為（ ）A.3 B.4 C.25 D.5解析：因為G為EF的中點，EF=2，所以點G的軌跡為以D為圓心DG為半徑的弧， 【飲馬+穿心】即A，P，G，D四點共線時，PA+PG最小（PA+PG=PA+PG