關(guān)于函數(shù)值域和函數(shù)奇偶性的問題求解.doc

關(guān)于函數(shù)值域和函數(shù)奇偶性的問題求解時(shí)間：2010-09-02 09:57來源：天天高中學(xué)習(xí)網(wǎng) 點(diǎn)擊: 897次 利用暑假提高成績30-80分的秘訣：高一視頻，高二視頻，高三視頻 年級(jí)課程高一課程推薦初升高新學(xué)期銜接視頻 高一全科強(qiáng)化視頻 高二課程推薦新高二新學(xué)期雙重強(qiáng)化視頻 高二全科強(qiáng)化視頻 高三課程推薦高考分輪次復(fù)習(xí)全科套餐高三全科強(qiáng)化視頻更多高中 輔導(dǎo)課程推薦,點(diǎn)擊進(jìn)入一、知識(shí)點(diǎn)分析 求函數(shù)值域問題放在單調(diào)性之后引出，是希望學(xué)生通過對(duì)于單調(diào)性的深入研究和理解，明白求函數(shù)值域問題跟函數(shù)的單調(diào)性緊密結(jié)合的關(guān)系，從而對(duì)于這兩個(gè)問題都有更為透徹的理解。而函數(shù)奇偶性是繼函數(shù)的單調(diào)性之后的又一函數(shù)重要性質(zhì)，我們研究奇偶性的時(shí)候也要重點(diǎn)把握。所謂函數(shù)性質(zhì)實(shí)際上是在強(qiáng)調(diào)：當(dāng)自變量發(fā)生一個(gè)變化時(shí)相應(yīng)的因變量發(fā)生了變化，我們描述這些變化就成為函數(shù)的性質(zhì)，這里強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)很重要，為今后討論反函數(shù)、周期性等作鋪墊。也幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)。 二、基本知識(shí)體系 1.求函數(shù)值域的方法總結(jié) 求函數(shù)值域是一類很重要的問題，求函數(shù)值域的方法有以下幾種： 1、利用單調(diào)函數(shù)的上、下界 2、利用熟知函數(shù)的值域 3、利用換元法，化為熟知函數(shù) 4、利用配方法或判別式法 5、利用不等式 在應(yīng)用以上求值域的方法時(shí)要注意：弄清每種方法的原理、適用對(duì)象、操作方法、以及應(yīng)注意的問題；每種方法應(yīng)掌握幾個(gè)典型例題，并且把例題深入挖掘，掌握其精髓。 2.函數(shù)的奇偶性 1、定義及其理解： 定義1對(duì)于函數(shù)y=f(x)，xD，若任取xD，都有f(-x)=f(x)，稱f(x)為偶函數(shù)。 定義2對(duì)于函數(shù)y=f(x)，xD，若任取xD，都有f(-x)=-f(x)，稱f(x)為奇函數(shù)。 強(qiáng)調(diào)： (1)整個(gè)定義域上的性質(zhì)(區(qū)別于單調(diào)性)； (2)刻畫了f(x)隨x變化的特征(數(shù)、形)。 2、函數(shù)的奇偶性的判斷： (1)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；按照定義以及定義的等價(jià)形式判斷： 考察f(-x)=f(x)；或f(-x)f(x)=0，或 說明：定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件。因此，在運(yùn)用定義判斷y=f(x)的奇偶性時(shí)，一定要首先看定義域。 (2)函數(shù)的圖象(數(shù)形結(jié)合的思想)。 定理1奇函數(shù)的充要條件是函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 定理2偶函數(shù)的充要條件是函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱 難點(diǎn)：證明函數(shù)奇偶性的定理。 3、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用主要包括以下幾個(gè)方面： (1)判斷； (2)證明； (3)求值； (4)求解析式； (5)作函數(shù)圖象； (6)求函數(shù)值域。 三、典型例題及分析 例1.求函數(shù)的值域 解：第一步先求該函數(shù)的定義域?yàn)?都是單調(diào)遞增函數(shù)，并且沒有上界 是單調(diào)遞增函數(shù)，并且沒有上界 ； 小結(jié)：利用單調(diào)函數(shù)的上下界求值域，原理簡明，操作簡便，且普適性強(qiáng)，是求值域的首選方法。 例2.求函數(shù)的值域 解： 向右平移3個(gè)單位得到的； 值域相同； 小結(jié)：這道小題明顯利用熟知函數(shù)的值域求未知函數(shù)值域。需要補(bǔ)充說明的是我們已經(jīng)學(xué)過一些函數(shù)圖像的幾何變換，這個(gè)例子給我們啟示是：對(duì)于結(jié)構(gòu)復(fù)雜的函數(shù)，若能把它看做是有某種基本函數(shù)經(jīng)過某些幾何變換所得，則根據(jù)基本函數(shù)的值域和幾何變換的性質(zhì)就能直觀的求出該函數(shù)的值域。 例3.求 解：設(shè)，則原函數(shù)可化為 而函數(shù) 由圖像分析得到函數(shù)值域?yàn)?小結(jié)：這是典型利用換元法，化為熟知函數(shù)，這類問題的難點(diǎn)是能夠認(rèn)清函數(shù)本質(zhì)上的函數(shù)形式，從而能順利地轉(zhuǎn)化，也就是說問題轉(zhuǎn)化成為在指定區(qū)間上求基本函數(shù)的值域。易錯(cuò)點(diǎn)是在轉(zhuǎn)化過程中，附加了新變量t的范圍，這個(gè)范圍往往容易丟掉，要引起注意。另外要強(qiáng)調(diào)的是在化基本函數(shù)過程中，注意數(shù)形結(jié)合。 例4.求函數(shù)的值域。 解：設(shè) 原函數(shù)可化為 原函數(shù)的值域?yàn)?小結(jié)：這道題方法和思路基本同上，而基本函數(shù)模型是二次函數(shù)。 例5.求函數(shù)的值域。 分析：對(duì)于分子、分母都為x的二次式的分式函數(shù)，分別配方后也易處理，因此需要探討新的方法。 解：首先考察定義域，由分母，則函數(shù)定義域D=R。 由可得：(y-1)x2+(y+1)x+(y-1)=0 當(dāng)y=1時(shí)，上式變成2x=0，x=0Dy=1是值域中的一個(gè)元素。 當(dāng)y1時(shí)，上式可以看作是關(guān)于x的二次方程，因其根x為實(shí)數(shù)， =(y+1)2-4(y-1)(y-1)0，解之得 綜上，y的取值范圍(也就是函數(shù)的值域)為 小結(jié)：這道題應(yīng)用判別式法(俗稱法)主要用來解分式函數(shù)求值域的問題，但在使用判別式法時(shí)要注意：由 y=f(x)變?yōu)閍(y)x2+b(y)x+c(y)=0后，對(duì)于x2的系數(shù)a(y)應(yīng)按a(y)=0與a(y)0分情況討論。 例6.已知定義在(-，+)上的函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)=x2-2x+2，求函數(shù)f(x)的解析式。 分析：由圖像的對(duì)稱性可知，f(x)是奇函數(shù)，因而可根據(jù)奇函數(shù)的定義求解。但既然說是定義在全體實(shí)數(shù)上的函數(shù)，因而x=0時(shí)，f(x)有定義。不能忘了求f(0)。 解：當(dāng)x0，故 f(-x)=(-x)2-2(-x)+2=x2+2x+2 因函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，于是f(-x)=-f(x)，從而f(x)=-f(-x)= -(x2+2x+2)=-x2-2x-2 又當(dāng)x=0時(shí)，f(0)=f(-0)=-f(0)，從而f(0)=0， 因此f(x)在(-，+)上的解析式是 小結(jié)： (1)若x=0在奇函數(shù)的定義域內(nèi)，即其圖像必過原點(diǎn)； (2)由奇偶函數(shù)在原點(diǎn)一側(cè)的解析式，必能求得它在原點(diǎn)另一側(cè)的解析式，基本思想是通過“-x”實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化； (3)容易漏求當(dāng)x=0時(shí)的解析式。 例7.已知f(x)=x5+ax3+bx-8，且f(-2)=10，求f(2) 解：觀察函數(shù)，可知f(x)+8=x5+ax3+bx為奇函數(shù)， 令F(x)=f(x)+8，有F(-x)=-F(x) F(2)=-F(-2)=-f(-x)+8=-(10+8)=-18F(