第4章 線性方程組

.,4.1消元法4.2矩陣的秩線性方程組可解的判別法4.3線性方程組的公式解4.4結(jié)式和判別式,線性方程組第四章,.,4.1消元法,線性方程組的一般形式,線性方程組的初等變換,矩陣、矩陣的初等變換、系數(shù)矩陣與增廣矩陣,用消元法解線性方程組,一.線性方程組的一般形式,(m個方程n個未知數(shù)(m,n0),解線性方程組的例子（例1）,線性方程組的三種初等變換：,交換兩個方程的位置；,2.用一個不為零的數(shù)乘以某一方程；,3.用一個數(shù)乘以某一個方程后加到另一個方程。,定理4.1.1初等變換把一個線性方程組變?yōu)榱硪粋€與,它同解的線性方程組。,二.線性方程組的初等變換,三.矩陣、矩陣的初等變換、系數(shù)矩陣與增廣矩陣,系數(shù),常數(shù)項,系數(shù)矩陣,增廣矩陣,線性方程組的系數(shù)與常數(shù)項,表），叫做一個s行t列的矩陣，叫這個矩陣的元素。,1.矩陣的定義,定義1由st個數(shù)排成的一個s行t列的表（下,矩陣的表示：A，B，C，.、等,2.矩陣初等變換,定義2：矩陣的三種行(列)初等變換指的是對一個矩陣,施行的下列變換：,交換矩陣的兩行(列)；,2.用一個不為零的數(shù)乘；,3.用一個數(shù)乘矩陣的某一行(列)后加到另一行(列)。,幾個問題：,1.初等變換能把矩陣化為什么形式？,2.如何用矩陣的初等變換法解線性方程組？,3.線性方程組的解有哪幾種情況？,四.用消元法解線性方程組,定理4.1.2設(shè)A是一個m行n列的矩陣,通過行初等變換和第一種列初等變換能把A化為以下形式,進(jìn)而化為以下形式：,這里r0，rm，rn。,消元法及線性方程組解的三種情況,（A,）可以化為（常數(shù)項列不前移）,由定理4.1.2知線性方程組的一般形式的增廣矩陣,相應(yīng)的線性方程組為,相應(yīng)的線性方程組為,由上頁方程組可以看出：,情形1：當(dāng)rm，而不全為零時，方程組無解。,情形2：當(dāng)r=m或rm而全為零時，方程組有,解。此時，原方程組與方程組(1)同解。,1.當(dāng)r=n時，方程組有唯一解,i=1,2,n。,2.當(dāng)rn時，方程組有無窮多解，稱為一般解(2)，其中,稱為自由未知量，對其任意取一組值代入方程組(2)都,能得到方程組(2)也是原方程組的一個特殊的解。,消元法解線性方程組的步驟：,1.寫出增廣矩陣；,2.做行初等變換，化為行最簡形。,具體解線性方程組時，一般不交換其增廣矩陣的,3.判斷解的情況，有解的給出其唯一解或一般解。,此方法以及階梯形矩陣和行最簡型矩陣參見例2，例3題,列，定理中其所以這樣做，是為了使結(jié)果容易敘述，有關(guān),.,4.2矩陣的秩線性方程組可解的判別法,矩陣的秩,線性方程組可解的判別法,上一節(jié)解線性方程組（1）時的幾個問題：,1.把（1）的系數(shù)矩陣（2）化為矩陣,（3）時，r與（2）究竟有什么關(guān)系？,它是否依賴于所做的初等變換？因為,一般來說不同的初等變換把（2）化為,不同的形如（3）的矩陣。,2.線性方程組（1）有解時，它的系數(shù)應(yīng),滿足什么條件？,3.線性方程組（1）有沒有公式解？,k階子式矩陣的秩,定義1在一個m行n列的矩陣中任意取k行k列（km,kn）。位于這些行列交點處的元素所構(gòu)成的k階行列式叫做,這個矩陣的一個k階子式,定義2一個矩陣中不等于零的子式的最大階數(shù)叫做這個,矩陣的秩。若一個矩陣沒有不等于零的子式，就認(rèn)為這個矩陣,矩陣的秩為零。,矩陣A的秩表示為：秩A或R(A)。(rank),幾個問題：,1.矩陣的秩的范圍？（r0，rm，rn）,2.若矩陣的秩為r，則有沒有一個r+1（或r-1）階的不,為零的子式？有沒有可能所有的r-1階子式都等于零？,3.討論用定義求一般矩陣的秩的可行性？,初等變換與矩陣的秩,定理4.2.1初等變換不改變矩陣的秩。,此定理使矩陣求秩問題變得簡單，我們先把想要求秩的矩陣,化為階梯形，它的秩就等于不全為零的行的行數(shù)。,看下列階梯形矩陣,它有一個3階子式不等于零，4階子式全為零，故秩是3。,線性方程組可解的判別法解的個數(shù),定理4.2.2（線性方程組可解的判別法）線性方程組,（1）有解的充分必要條件是：它的系數(shù)矩陣與增廣矩陣有相同,的秩。,定理4.2.3設(shè)線性方程組（1）的系數(shù)矩陣與增廣矩陣有相同,的秩r，那么當(dāng)r等于方程組所含未知量的個數(shù)n時，方程組,有唯一解；當(dāng)rn時，方程組有無窮多解。,.,4.3線性方程組的公式解,線性方程組的公式解,齊次線性方程組及其有關(guān)結(jié)論,m個方程可以歸結(jié)為r個方程,線性方程組（1）的公式解就是由它的系數(shù)和常數(shù)項表示,而用初等變換化簡方程組時，系數(shù)和常數(shù)項都發(fā)生了變化，,因而此方法不能得到公式解。,同樣，若方程組（1）的m個方程（設(shè)為）,中某一個方程是其他t個方程（不妨設(shè)為)的,結(jié)果，即存在t個數(shù)使,則方程組（1）舍去所得方程組與（1）同解。,定理4.3.1設(shè)方程組（1）有解，它的系數(shù)矩陣A和增廣矩陣,的秩都為r0。那么可以在（1）的m個方程中選出r個方程，,使得剩下的m-r個方程中的每一個都是這r個方程的結(jié)果，因而,解方程組（1）可以歸結(jié)為解由這r個方程所組成的線性方程組。,線性方程組的公式解,左上角的r階子式不為零（線性方程組（1）。則線性方程組,（1）與線性方程組（2）同解。把當(dāng)成未知量，,把當(dāng)成常數(shù)，將其寫成下列形式：,方程組（2）適合克拉默規(guī)則的條件，所以有公式解。,在公式解中，為自由未知量。,齊次線性方程組,定義若線性方程組的常數(shù)項都等于零，則此方程組叫做,齊次線性方程組。,齊次線性方程組系數(shù)矩陣與增廣矩陣的一定相等，所以,它一定有解，至少有零解（）若還有其他解，,則稱為非零解。,齊次線性方程組的有關(guān)結(jié)論,定理4.3.2齊次線性方程組有非零解的充分必要條件,是：其系數(shù)矩陣的秩r小于未知量的個數(shù)n。,推論4.3.3含有n個未知量n個方程的齊次線性方程組有,非零解的充分必要條件是：方程組的系數(shù)行列式等于零。,推論4.3.4若齊次線性方程組中，方程的個數(shù)小于未知量,的個數(shù)，那么這個方程組一定有非零解。,注：以上討論的是求線性方程組的精確解的理論和方法，,在實際問題中常常只需求近似解，它還有相應(yīng)的另一套方法，,參閱有關(guān)計算數(shù)學(xué)的書。,.,4.4結(jié)式和判別式,關(guān)于結(jié)式和判別式的幾個定理,定理4.4.1如果