例談三角代換在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

例談三角代換在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用 陶興紅（安徽省六安二中 237005）摘要： 通過例題，說明三角代換在化簡根式、解方程、解方程組、證明條件等式、求函數(shù)的值域、求條件函數(shù)的最值、比較兩式的大小、證明不等式、求數(shù)列通項(xiàng)公式、復(fù)數(shù)的三角形式、參數(shù)方程和有關(guān)多項(xiàng)式問題等方面的主要應(yīng)用。關(guān)鍵詞： 例談， 三角代換， 解題， 應(yīng)用引言三角代換是一種很重要的代換方法，它在數(shù)學(xué)解題中有著極為廣泛的應(yīng)用。利用三角代換解數(shù)學(xué)題，往往能收到事半功倍之效。本文就介紹三角代換在數(shù)學(xué)解題中的主要應(yīng)用。 一 化簡根式 例1 化簡. 解 由得 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以 .二 解方程例2 解方程.解 由原方程,不難得.因此，可設(shè)，并將它代入原方程，得， 所以 ， 所以 . 因?yàn)?, 所以 , 所以 , 所以 , 所以 . 三 解方程組 例3 解方程組解 不難得出均不等于.故原方程組可化為設(shè), 并將之代入上面方程組,得 所以 , 所以 , 所以 , 所以 其中, .四 證明條件等式例4 已知,且均不等于, 求證.證明 設(shè), 則,故.將分別代入要證的等式的左右兩邊,并化簡得左邊=,右邊=.由得,故.因此原命題得證.五 求函數(shù)的值域例5 求函數(shù)的值域.解 .因此可設(shè), 則,故.所以.因此函數(shù)的值域?yàn)?六 求條件函數(shù)的最值例6 若為實(shí)數(shù)，且，試求的最小值.解 設(shè)，并規(guī)定，代入已知等式可化為，即，故.因此的最小值是.七 比較兩式的大小例7 已知,試比較下列兩個(gè)式子的大小:和.解 由于，故可設(shè)，其中，則，.這樣本題可轉(zhuǎn)化為比較和,其中. 因?yàn)?, 所以 , 所以 , 所以 , 所以 , 所以 .即 .八 證明不等式 例8 設(shè),求證 .證明 設(shè), 則可令.則原不等式等價(jià)于.也等價(jià)于.此不等式顯然成立.九 求數(shù)列通項(xiàng)公式例9 已知數(shù)列中, , , 試求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解 因?yàn)?,所以 由得 , .因此可猜想, 再用數(shù)學(xué)歸納法證明之. 顯然用數(shù)學(xué)歸納法不難證明這一猜想是正確的.故數(shù)列的通項(xiàng)公式是.十 復(fù)數(shù)的三角形式例10 設(shè)復(fù)數(shù)滿足, 求的值.解 由,故可設(shè).因?yàn)?,所以 ,所以 ,所以 ,所以 ,所以 ,所以 ,所以 .十一 參數(shù)方程 例11 過的動(dòng)直線交拋物線于、兩點(diǎn)，求中點(diǎn)的軌跡方程.解 設(shè)過的動(dòng)直線的參數(shù)方程為 將此參數(shù)方程代入, 得,整理得 .設(shè)這個(gè)關(guān)于的一元二次方程的兩根分別為, 則. 這樣中點(diǎn)坐標(biāo)滿足以下參數(shù)方程 將代入, 并化簡得消去參數(shù), 得到中點(diǎn)的軌跡方程為.例12 設(shè)是橢圓上的一動(dòng)點(diǎn), 求的最大值.解 設(shè)橢圓的參數(shù)方程為 , 則.故的最大值是.十二 有關(guān)多項(xiàng)式問題例13 是否存在這樣的實(shí)數(shù), 使得為無理數(shù), 而, ,都是有理數(shù)?解 假設(shè)存在, 令, 則為無理數(shù), 而=,都是有理數(shù).從而, 是無理數(shù).另一方面, 是兩個(gè)有理數(shù)的乘積, 故是有理數(shù), 矛盾. 所以滿足條件的不存在.參考文獻(xiàn)1 陳傳理主編. 高中數(shù)學(xué)競賽名師講座M. 武漢: 華中