應(yīng)用貝氏網(wǎng)絡(luò)診斷國(guó)小四年級(jí)學(xué)童「面積」錯(cuò)誤類型之研究.doc

應(yīng)用貝氏網(wǎng)絡(luò)診斷國(guó)小四年級(jí)學(xué)童面積錯(cuò)誤類型之研究李俊儀1 許雅菱2 施淑娟3 郭伯臣4 劉湘川5 1臺(tái)中縣光隆國(guó)小 2臺(tái)中市賴厝國(guó)小 3 國(guó)立臺(tái)中師范學(xué)院數(shù)學(xué)教育學(xué)系 4國(guó)立臺(tái)中師范學(xué)院教育測(cè)驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)研究所 5臺(tái)中健康暨管理學(xué)院心理學(xué)系暨生物信息研究所聯(lián)絡(luò)電話：(04)22263181-225傳真：0422200818e-mail:.tw摘要本研究的主要目的在探討以國(guó)小四年級(jí)面積單元為例，以面積計(jì)算錯(cuò)誤類型為診斷單位，嘗試采用以機(jī)率推理為基礎(chǔ)的貝氏網(wǎng)絡(luò)作為分析工具，來探討應(yīng)用貝氏網(wǎng)絡(luò)于診斷學(xué)生錯(cuò)誤類型的可行性。并希望在了解學(xué)生在學(xué)習(xí)該單元后可能產(chǎn)生的錯(cuò)誤類型的同時(shí)，也能提供教師在實(shí)際教學(xué)上了解學(xué)童缺少哪些子技能而造成這些錯(cuò)誤類型的產(chǎn)生，進(jìn)而積極且省時(shí)的提供主要的補(bǔ)救教學(xué)。研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)貝氏網(wǎng)絡(luò)能有效將子技能、錯(cuò)誤類型做適當(dāng)?shù)姆诸?。關(guān)鍵詞：貝氏網(wǎng)絡(luò) 面積 學(xué)習(xí)診斷第一節(jié) 緒論貝氏網(wǎng)絡(luò)是近年來在一些專業(yè)領(lǐng)域相當(dāng)熱門的判斷方法，舉凡是信息科學(xué)的人工智能，醫(yī)學(xué)的疾病診斷，體育的足球得分預(yù)測(cè)，都能利用貝氏網(wǎng)絡(luò)來達(dá)成。在國(guó)小數(shù)學(xué)教學(xué)上，研究者為了了解學(xué)生學(xué)習(xí)該單元的迷思所在，以利教師進(jìn)行后續(xù)的補(bǔ)救教學(xué)，過去多半是以質(zhì)的分析方式為主，例如：對(duì)個(gè)別學(xué)生進(jìn)行訪談、原案分析等等的方式。這類方式雖然可以比較深入地了解學(xué)生的想法及其錯(cuò)誤在哪里，但是會(huì)因個(gè)案的不同而有不同的處理方式，且非常耗時(shí)耗力，對(duì)于教學(xué)工作繁重的國(guó)小教師而言，上述方式不太容易在實(shí)際教學(xué)中實(shí)行。在本研究中，研究人員針對(duì)國(guó)小學(xué)童在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)單元時(shí)，利用貝氏網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)和診斷學(xué)童具有的錯(cuò)誤概念和技能，做較接近真實(shí)的分類及診斷，并期望其結(jié)果，能提供教學(xué)者及學(xué)習(xí)者充足的診斷信息。因此，本研究企圖建立一個(gè)以錯(cuò)誤類型為診斷單位，并同時(shí)診斷成份的量化分析模式，是我們想去研究嘗試的地方?；谏鲜?，本研究擬以國(guó)小四年級(jí)面積知識(shí)為例，并以面積計(jì)算錯(cuò)誤類型為診斷單位，并嘗試采用以機(jī)率推理為基礎(chǔ)的貝氏網(wǎng)絡(luò)作為分析工具，來探討應(yīng)用貝氏網(wǎng)絡(luò)于診斷學(xué)生錯(cuò)誤類型的可行性。同時(shí)，了解學(xué)生在學(xué)習(xí)該單元后，可能產(chǎn)生的錯(cuò)誤類型;更希望了解教師在實(shí)際教學(xué)上，究竟是哪些子技能的缺乏，造成這些錯(cuò)誤類型的產(chǎn)生。因此，本研究之貝氏網(wǎng)絡(luò)亦將子技能納入分析。根據(jù)以上的想法，本研究之目的如下：1. 探討貝氏網(wǎng)絡(luò)模式應(yīng)用于診斷國(guó)小四年級(jí)學(xué)童面積錯(cuò)誤類型之可行性。2. 探討比較選擇題多選項(xiàng)二元計(jì)分和單選項(xiàng)二元計(jì)分的作答數(shù)據(jù)輸入值對(duì)貝氏網(wǎng)絡(luò)診斷正確率的影響。3. 探討不同的分類決斷值對(duì)貝氏網(wǎng)絡(luò)診斷正確率的影響。第二節(jié) 文獻(xiàn)探討壹、面積的迷思概念根據(jù)前人的研究，我們將國(guó)小學(xué)童在面積學(xué)習(xí)時(shí)容易產(chǎn)生的迷思概念歸納成以下幾類：1. 以單位面積來覆蓋長(zhǎng)方形面積，學(xué)童容易將前一問題答案的2倍來回答。（高敬文、黃金鐘，民77）2. 正方形的邊長(zhǎng)加倍，面積也會(huì)變大兩倍。(Tierney et al.，1990;Simon & Blume，1994)3. 單位量的轉(zhuǎn)換問題上，(陳鉪逸，民85;陳建誠，民87;Baturo & Nason，1996)4. 誤用面積公式。（陳鉪逸，民85；譚寧君，民87）5. 在解題時(shí)，只以圖形出現(xiàn)的數(shù)字求周長(zhǎng)和面積。（戴政吉，民90）6. 計(jì)算面積時(shí)，學(xué)生對(duì)平方公分的掌握性較佳，對(duì)于較大單位則較缺乏量感。其迷思概念所采取的策略有：探視覺處理利用工具與公式解題。周長(zhǎng)與面積概念相混淆。（譚寧君，民87）7. 五年級(jí)學(xué)童的面積迷思：猜測(cè)（憑經(jīng)驗(yàn)或感覺），普遍單位直接比較，個(gè)別單位比較，分解與重組，數(shù)學(xué)公式策略。（莊維展，民90）8. Hildreth(1983)發(fā)現(xiàn)五、七年級(jí)學(xué)生估測(cè)長(zhǎng)度與面積的迷思（不當(dāng)?shù)拿娣e估測(cè)方式）有長(zhǎng)寬代表面積。以圖形周長(zhǎng)代表面積。單位錯(cuò)誤。中心化（centering）：只考慮一個(gè)維度回答問題。單位旋轉(zhuǎn)（count around）：如使用矩形單位去測(cè)量待測(cè)物長(zhǎng)、寬所需個(gè)數(shù)，均以單位的某一邊長(zhǎng)進(jìn)行。9. 國(guó)小五、六年級(jí)學(xué)生往往以記憶面積公式解決面積問題，但卻常造成公式的誤用。（譚寧君，民87）10. 兒童解題往往習(xí)慣憑直覺，對(duì)題意不求甚解。（譚寧君，民87）11. 戴政吉(民90)研究發(fā)現(xiàn)：國(guó)小四年級(jí)有些學(xué)童在計(jì)算面積與周長(zhǎng)時(shí)，會(huì)將兩個(gè)公式互相混淆。例如：將正方形邊長(zhǎng)4當(dāng)做面積公式，將長(zhǎng)寬當(dāng)作長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，學(xué)童大多數(shù)都以面積公式解周長(zhǎng)問題?？偨Y(jié)以上各點(diǎn)，可綜合學(xué)童學(xué)習(xí)面積單元會(huì)產(chǎn)生的一些錯(cuò)誤概念：?jiǎn)挝幻娣e計(jì)數(shù)錯(cuò)誤；對(duì)題意不求甚解；單位換算錯(cuò)誤；缺乏對(duì)面積公式意義的了解，造成誤用公式。根據(jù)以上的錯(cuò)誤類型，另外，參考國(guó)小老師的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)為在學(xué)習(xí)面積概念時(shí)，乘法計(jì)算錯(cuò)誤也是造成錯(cuò)誤的原因，因此在本研究的貝氏網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)中，我們將采用此五項(xiàng)錯(cuò)誤類型作為分析的節(jié)點(diǎn)，希望能得到更精準(zhǔn)的分類結(jié)果。貳、解決面積問題時(shí)所需的基本能力為求進(jìn)一步了解學(xué)生所犯的錯(cuò)誤類型背后，是因?yàn)槿狈κ裁茨芰?以利后續(xù)的補(bǔ)救教學(xué)，本研究之貝氏網(wǎng)絡(luò)亦將推估學(xué)生是否具備，解決面積問題時(shí)所需的幾項(xiàng)相關(guān)基本能力。根據(jù)先前的研究，我們將國(guó)小學(xué)童在解決面積問題時(shí)常用解題策略整理如下：1. 先估測(cè)長(zhǎng)寬，再以面積公式求出。（戴政吉，民90）2. 實(shí)際畫出單位方格，再行點(diǎn)數(shù)。（戴政吉，民90）3. 先估測(cè)相鄰兩邊的單位格子數(shù)，再相乘。（戴政吉，民90）4. Hildreth(1983)發(fā)現(xiàn)五、七年級(jí)學(xué)生估測(cè)長(zhǎng)度與面積的策略有：(利用問題中有用的訊息將長(zhǎng)度或面積分割；以單位進(jìn)行累計(jì)；以先前的經(jīng)驗(yàn)來檢視問題中相關(guān)有用的訊息；將長(zhǎng)度等分成小段，再以單位比較該小段；給定一個(gè)最小的可能區(qū)間；使用長(zhǎng)度估測(cè)策略，再以面積公式長(zhǎng)，寬算出面積；將圖形重整以便獲得更容易估測(cè)的區(qū)域，如將等腰三角形，分割重組為長(zhǎng)方形。5. 面積保留概念。（戴政吉，民90；譚寧君，民87）6. 單位量的點(diǎn)數(shù)。（戴政吉，民90；譚寧君，民87）7. 單位量的轉(zhuǎn)換。（戴政吉，民90；譚寧君，民87）綜而言之，學(xué)童解決面積概念問題常用的基本能力，可歸納為以下幾點(diǎn)：點(diǎn)數(shù)；乘法計(jì)算；將文字題化為算式列出；單位換算關(guān)系。了解面積公式。參、貝氏網(wǎng)絡(luò)一、基本概念貝氏網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)應(yīng)用十分廣泛的工具，特別是人工智能系統(tǒng)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、決策學(xué)、工程學(xué)。因?yàn)樨愂暇W(wǎng)絡(luò)是以DAG(Direct acycle graph)為基礎(chǔ)，應(yīng)用其變量之間的因果關(guān)系與其相互影響的機(jī)率，所以貝氏網(wǎng)絡(luò)也叫做貝氏信念網(wǎng)絡(luò)(Bayesian belief networks)、信念網(wǎng)絡(luò)(belief networks)、因果關(guān)系網(wǎng)絡(luò)(casual networks)、機(jī)率網(wǎng)絡(luò)(probabilistic networks)或者為知識(shí)地圖(knowledge map)。此模型一開始使用在遺傳理論上，后來則經(jīng)轉(zhuǎn)變出現(xiàn)在許多領(lǐng)域中，例如認(rèn)知科學(xué)和人工智能等領(lǐng)域中，應(yīng)用十分廣泛。一個(gè)完整的貝氏網(wǎng)絡(luò)包含二個(gè)部分，分別是節(jié)點(diǎn)(node)及連結(jié)(link)。在貝氏網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于在有限范圍中的任意的變量(例如：裝置的溫度，病人的性別)，而連結(jié)的有無即代表其節(jié)點(diǎn)之間的關(guān)系是否為條件相依或條件獨(dú)立的情形。取得研究資料后，先建立一個(gè)完整的模型、再根據(jù)數(shù)據(jù)來進(jìn)行推論。根據(jù)數(shù)據(jù)及學(xué)科專業(yè)知識(shí)的分析建立貝氏網(wǎng)絡(luò)模型，建立模型的過程分成以下三個(gè)步驟：1. 設(shè)定全部的機(jī)率模型：對(duì)問題中所有可觀測(cè)和未觀測(cè)對(duì)象的聯(lián)合機(jī)率分布，這模型應(yīng)該符合數(shù)據(jù)群體特性及專業(yè)知識(shí)。2. 以觀測(cè)的資料為條件：計(jì)算和解釋后驗(yàn)機(jī)率分布再以觀測(cè)的數(shù)據(jù)為條件，計(jì)算感興趣的未觀測(cè)對(duì)象的條件機(jī)率。3. 估計(jì)這模型的特性和產(chǎn)生后驗(yàn)機(jī)率的執(zhí)行情況：將數(shù)據(jù)填入模型適合嗎？最后的結(jié)果合理嗎？這結(jié)論對(duì)建立模型的第一步驟的前提是否正確？根據(jù)以上三個(gè)步驟的檢視后，建立一個(gè)完整的貝氏網(wǎng)絡(luò)模型，我們將根據(jù)此貝氏網(wǎng)絡(luò)模型來進(jìn)行推論，希望能藉由此模型來了解，學(xué)童在學(xué)習(xí)面積上可能具有的錯(cuò)誤概念（又稱迷思概念），并進(jìn)一步進(jìn)行分類，以提供未來進(jìn)行補(bǔ)救教學(xué)的依據(jù)。二、數(shù)學(xué)模型當(dāng)變量A確定有影響變量B的因果關(guān)系時(shí)，從A到B將產(chǎn)生一個(gè)相依的連結(jié)邊。此時(shí)，節(jié)點(diǎn)A稱為節(jié)點(diǎn)B的父節(jié)點(diǎn)，而節(jié)點(diǎn)B稱為節(jié)點(diǎn)A的子節(jié)點(diǎn)。當(dāng)有多種關(guān)系存在，B的父集合被稱為pa(B)。在一個(gè)因果關(guān)系的網(wǎng)絡(luò)中，變量A表示的狀態(tài)集合，P(A)是這些狀態(tài)集合的機(jī)率分布，這種情形以數(shù)學(xué)算式來表示為：是A在狀態(tài)時(shí)的機(jī)率,令B為另一個(gè)變量，并有狀態(tài)，有連結(jié)到A節(jié)點(diǎn)的因果關(guān)系。產(chǎn)生對(duì)應(yīng)P(A|B)的機(jī)率表。例如變量A和變量B的狀態(tài)符合ai及bj，其機(jī)率為P(A=ai|B=bj)。貝氏推論是在機(jī)率模型放入一群數(shù)據(jù)，藉由模型上的參數(shù)和不可觀測(cè)的變量的機(jī)率分布，推論出結(jié)果的過程，如此再對(duì)最新的觀測(cè)的變量做預(yù)測(cè)。在貝氏網(wǎng)絡(luò)中，令，為所有變量的范圍，其聯(lián)合機(jī)率為，可以從貝氏網(wǎng)絡(luò)的條件機(jī)率中，明確的求出，只要在U中條件獨(dú)立依然成立，聯(lián)合機(jī)率分布即為所有條件機(jī)率的乘積，其數(shù)學(xué)式子如下(引自)：因?yàn)樵诖藶榈母腹?jié)點(diǎn)。我們必須先建立一個(gè)有效的貝氏網(wǎng)絡(luò)，并進(jìn)而利用它來計(jì)算多個(gè)變量的聯(lián)合機(jī)率分布，此集合的變量為貝氏網(wǎng)絡(luò)中，主要欲了解之能力。 AB C D E F G雖然貝氏網(wǎng)絡(luò)有許多優(yōu)點(diǎn)，但也有其限制。每個(gè)變量的局部邊際及條件機(jī)率分布是兩兩結(jié)合在一起的。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)有一些變量具有兩個(gè)或三個(gè)以上的狀態(tài)，計(jì)算聯(lián)合機(jī)率也是可行的。然而，當(dāng)變量逐漸增加，條件機(jī)率的計(jì)算幾乎是不可行的。因此，我們可以將Huangs1999的研究應(yīng)用在貝氏網(wǎng)絡(luò)上，以另一種修改過的形式來建構(gòu)貝氏網(wǎng)絡(luò)。例如，我們?cè)谪愂暇W(wǎng)絡(luò)中定義七個(gè)二元變項(xiàng)A,B,C,D,E,F,G及八種條件相依的情形（如圖一），并就此例來解釋這個(gè)集合變量的聯(lián)合機(jī)率的意義。圖一：有七個(gè)節(jié)點(diǎn)的貝氏網(wǎng)絡(luò)例子（摘自DIAGNOSIS OF BUGS MULTI-COLUMN SUBTRACTION USING BAYESIAN NETWORKS ,p25）以上圖為例，我們根據(jù)網(wǎng)絡(luò)中條件獨(dú)立的主張，來估測(cè)其聯(lián)合機(jī)率，如下：假若變數(shù)G被加入證據(jù)g;給定G=g的機(jī)率，我們要去計(jì)算A;也就是P(A|G=g),以較為簡(jiǎn)潔的方式;表示其聯(lián)合機(jī)率分布的計(jì)算為： x - (1)貝氏網(wǎng)絡(luò)的模式使得聯(lián)合機(jī)率分布的計(jì)算是根據(jù)變量集合為條件獨(dú)立假設(shè)，藉由分解聯(lián)合機(jī)率分布至數(shù)種條件機(jī)率分布(Huang,1999)。另一方面，假如我們沒有關(guān)于網(wǎng)絡(luò)其它變量的任何信息，其算式將變?yōu)椋?(2)像上述的情形式(2)我們必須明確定義出個(gè)變量，也就是64個(gè)局部條件機(jī)率，與式(1)中16個(gè)局部條件機(jī)率相較之下，使用圖一的貝氏網(wǎng)絡(luò)表示法顯得較為簡(jiǎn)單。一般來說，我們需要大約個(gè)條件機(jī)率做明確的網(wǎng)絡(luò)推論，在此變量有二個(gè)條件，n代表節(jié)點(diǎn)數(shù)，k是網(wǎng)絡(luò)中父節(jié)點(diǎn)的最大數(shù)（Russell & Norvig,1995）。相對(duì)的，聯(lián)合機(jī)率分布的計(jì)算其總和超過個(gè)。變量的個(gè)數(shù)以指數(shù)的形式增加，因此在大部分的情況下使用2n個(gè)參數(shù)的聯(lián)合機(jī)率分布是較不可行的。因此，以貝氏網(wǎng)絡(luò)的架構(gòu)來計(jì)算變量集的聯(lián)合機(jī)率分布是最為可行的方式。三、貝氏網(wǎng)絡(luò)在教育測(cè)驗(yàn)上的應(yīng)用一個(gè)測(cè)驗(yàn)的設(shè)計(jì)者必須先明確定義一套欲測(cè)出的技能、能力、迷失概念等等，以及試題庫。令代表受測(cè)的技能、能力、及迷思概念的集合。代表試題的集合。設(shè)計(jì)者要能明確的定義技能，使其能直接與每個(gè)問題有關(guān)聯(lián)。這些關(guān)系常常是機(jī)率，特別使用于選擇題的測(cè)驗(yàn)。Almond和Mislevy(1999)提出CAT的圖形模式。每個(gè)技能及每個(gè)問題是代表任意變量有限集合值和。我們將使用來表示多維任意變量。代表多維任意變量。Almond和Mislevy的模式符合學(xué)生模式P(S)，證據(jù)模式對(duì)于每個(gè)問題。j代表可能的多維變量，在此?；炯僭O(shè)是從的技能只有直接關(guān)聯(lián)到問題。在機(jī)率模式的語言下，在已知多維變量j的狀態(tài)，問題是獨(dú)立于技能。學(xué)生模式描述在學(xué)生模式變量的定義以及聯(lián)合機(jī)率分布P(S)與技能之間的關(guān)系。使用Almond和Mislevy的方法，我們定義所有的問題機(jī)率模式為一個(gè)貝氏網(wǎng)絡(luò)。我們使用一個(gè)機(jī)率模式P(S，X)并藉貝氏網(wǎng)絡(luò)來模式化問題。假設(shè)有一些收集的資料，對(duì)于從數(shù)據(jù)中建立貝氏網(wǎng)絡(luò)模式的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)的不同方法是有用的。因?yàn)槲覀円灶A(yù)測(cè)是否缺乏或呈現(xiàn)技能為主要目的，可能是用不同模式所測(cè)出的分?jǐn)?shù)，可以用模型P在已知D的條件下對(duì)數(shù)概似機(jī)率來呈現(xiàn)： 圖二描述長(zhǎng)度二所有可能測(cè)驗(yàn)的狀態(tài)空間，在選擇下一個(gè)問題時(shí)矩形節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于狀態(tài)中的一個(gè)決定，橢圓形對(duì)應(yīng)于受試者的答案狀態(tài)來給定被觀察的問題，邊對(duì)應(yīng)于答案。假設(shè)問題是被選擇為第一個(gè)問題，在圖二中第二個(gè)問題被選的情形如下圖所示： 圖二（出自于Jirl, V.().Bayesian Networks in Educational Testing第八頁）對(duì)學(xué)生 s ，設(shè) 是變數(shù)的采集(collection)，測(cè)量學(xué)生在感興趣領(lǐng)域的知識(shí)，技能或能力。在任何時(shí)間點(diǎn)上，我們有關(guān)學(xué)生熟練度的知識(shí)，我們用機(jī)率分布表示。事先機(jī)率分布Pr(Ss)，經(jīng)常是基于這些技能在所感興趣的母體的分布。我們感興趣的是從畫出推論， =是觀測(cè)的采集，從學(xué)生在M個(gè)工作的反應(yīng)，學(xué)生模式變量純粹是潛在的；這觀測(cè)和事先假定，關(guān)于觀測(cè)和學(xué)生模式變量的關(guān)系，是需要推論。Almond 和 Mislevy (1999) 描述這大體的架構(gòu)。根據(jù)上述，本研究將嘗試采用此種教育估計(jì)的圖形模型來進(jìn)行學(xué)生具有某種面積錯(cuò)誤類型的機(jī)率之推估，并進(jìn)而了解將此種方法應(yīng)用于診斷學(xué)生錯(cuò)誤概念的精準(zhǔn)度。 第三節(jié) 研究方法壹、研究樣本測(cè)驗(yàn)編制完成后即進(jìn)行預(yù)試，受試樣本男生18名、女生16名，總計(jì)34名。樣本遍及臺(tái)灣北中南地區(qū)的國(guó)民小學(xué)各數(shù)個(gè)班。每次施測(cè)時(shí)間約40分鐘。正式施測(cè)對(duì)象為國(guó)民小學(xué)四年級(jí)的學(xué)生，有效樣本總計(jì)653名，其中男生341名、女生312名。貳、研究工具測(cè)驗(yàn)工作在預(yù)試前后，邀請(qǐng)十六位現(xiàn)任的國(guó)小教師及相關(guān)的教育專家，針對(duì)本測(cè)驗(yàn)的試題進(jìn)行討論、出題、審題、編卷。先進(jìn)行預(yù)試，以了解學(xué)生反應(yīng)及作答情形，再以口頭訪問的方式來了解學(xué)生可能看不懂的地方，將之改為學(xué)生能理解測(cè)驗(yàn)的用字遣詞。1. 面積測(cè)驗(yàn)本研究自編的面積單元測(cè)驗(yàn)，試題形式皆為選擇題，每個(gè)試題只測(cè)單一個(gè)概念，其選項(xiàng)各代表一種錯(cuò)誤類型。根據(jù)學(xué)童答題情形，即可判定他學(xué)習(xí)成果的良劣及迷思概念的所在。表一 面積測(cè)驗(yàn)題型編制架構(gòu)面積內(nèi)容題號(hào)面積內(nèi)容題號(hào)文字計(jì)算題4、5、9、10、1312點(diǎn)數(shù)1、8、15單位換算6、7、14、16、18圖形題2、3、11、17表二 面積單元測(cè)驗(yàn)試題涉及主要技能成分面積單元試題主要技能成分計(jì)數(shù)錯(cuò)誤乘法計(jì)算錯(cuò)誤文字題不懂題意使用錯(cuò)誤計(jì)算單位換算公式應(yīng)用錯(cuò)誤Item1Item2Item3Item4Item5Item6Item7Item8Item9Item10Item11Item12Item13Item14Item15Item16Item17Item182.Bayes Net Toolbox for Matlab本研究使用Kevin Murphy（2004）所撰寫的Bayes Net工具箱作為撰寫貝氏網(wǎng)絡(luò)程序所需的函數(shù)，此工具箱的優(yōu)點(diǎn)為免費(fèi)提供原始程序代碼，并可供修改及擴(kuò)充，并附有詳細(xì)使用說明容易上手；其缺點(diǎn)是尚未建立完整的使用者接口，使用者必須具有專業(yè)的撰寫程序能力才能嫻熟使用。3.Matlab軟件本研究使用Matlab6.5版進(jìn)行先驗(yàn)分配的計(jì)算與主程序撰寫，并與Bayes Net Toolbox for Matlab結(jié)合成一完整的程序，在撰寫程序時(shí)互相搭配使用，呈現(xiàn)因果關(guān)系圖形與機(jī)率值的完美結(jié)合。4.Bilog-MG軟件使用Bilog-MG軟件計(jì)算本研究紙本測(cè)驗(yàn)的信度與試題的特性，包含試題在IRT中所謂的能力值、鑒別度、難度及猜測(cè)度等等，使研究者更能了解所編制測(cè)驗(yàn)的優(yōu)劣及適用程度。參、研究步驟與實(shí)施本研究的進(jìn)行費(fèi)時(shí)費(fèi)力，尤其以人工閱卷及分類錯(cuò)誤類型來建立效標(biāo)之工作最為耗費(fèi)人力。經(jīng)過多次討論與訪問，以求得最精準(zhǔn)的訊息。完整的研究步驟如下所列：1. 搜集國(guó)內(nèi)外面積迷思概念之相關(guān)文獻(xiàn)，并嘗試建立面積單元的錯(cuò)誤類型數(shù)據(jù)。2. 研究小組透過討論協(xié)商，建立面積單元貝氏網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)。3. 設(shè)計(jì)以選擇題為主的試卷（未來希望能以計(jì)算機(jī)化測(cè)驗(yàn)呈現(xiàn)方式為目的）并根據(jù)已訂定的錯(cuò)誤概念設(shè)計(jì)各題之選項(xiàng)，以期該選項(xiàng)能代表其錯(cuò)誤類型。4. 設(shè)計(jì)施測(cè)試卷，并以前測(cè)的結(jié)果來決定題目（選項(xiàng)）的增減與數(shù)字或字句的修正。5. 正式于各校施測(cè)，經(jīng)回收后逐一批閱建檔。6. 根據(jù)施測(cè)結(jié)果，錯(cuò)誤類型出現(xiàn)次數(shù)的多寡，進(jìn)而簡(jiǎn)化及修正面積貝氏網(wǎng)絡(luò)，其架構(gòu)如圖三。7. 研究小組根據(jù)每一位學(xué)生的答案（試題之選項(xiàng)），進(jìn)行錯(cuò)誤類型的歸類，以作為診斷精確度之效標(biāo)。8. 利用Bayes Net Toolbox與Matlab軟件撰寫面積單元貝氏網(wǎng)絡(luò)程序。9. 將后驗(yàn)分配設(shè)定各種決斷值，判定受試者是否犯了某項(xiàng)錯(cuò)誤類型（bug）及是否具有某項(xiàng)技能(skill)。10. 將診斷結(jié)果與效標(biāo)比較，計(jì)算各種貝氏網(wǎng)絡(luò)模式的診斷精確度。試題 錯(cuò)誤類型 子技能題目 2345678910171615141312111計(jì)數(shù)錯(cuò)誤 B1乘法計(jì)算乘法計(jì)算錯(cuò)誤 B2文字題列式文字題不懂題意使用錯(cuò)誤計(jì)算 B3單位關(guān)系單位換算 B4了解公式公式應(yīng)用錯(cuò)誤 B5點(diǎn)算1818圖三 面積錯(cuò)誤類型貝氏網(wǎng)絡(luò) 第四節(jié) 研究結(jié)果壹、貝氏網(wǎng)絡(luò)模式應(yīng)用于診斷國(guó)小四年級(jí)學(xué)童面積錯(cuò)誤類型之可行性表三 面積貝氏網(wǎng)絡(luò)之分類正確率分類決斷值正確分類率b193.08%93.08%93.08%94.62%94.62%95.38%95.38%83.08%72.31%b289.23%89.23%89.23%93.85%89.23%90.00%92.31%92.31%56.92%b372.31%72.31%72.31%72.31%74.62%83.08%82.31%86.15%58.46%b492.31%92.31%92.31%90.77%89.23%88.46%90.00%64.62%40.00%b553.85%53.85%53.85%56.92%68.46%60.77%63.85%56.92%63.08%平均80.16%80.16%80.16%81.69%83.23%83.54%84.77%*76.62%58.15%Sk167.69%66.92%68.46%60.00%71.54%81.54%71.54%78.46%86.92%Sk261.54%63.85%72.31%71.54%60.77%64.62%77.69%69.23%62.31%Sk356.15%73.08%71.54%67.69%65.38%66.15%63.08%67.69%62.31%Sk462.31%64.62%68.46%70.77%75.38%72.31%75.38%70.00%54.62%Sk586.15%93.08%90.00%88.46%81.54%90.77%82.31%75.38%59.23%平均66.77%72.31%74.15%71.69%70.92%75.08%*74.00%72.15%65.08%*表示最高的平均正確分類率表的意義由表三可發(fā)現(xiàn)：1. 關(guān)于子技能有無之分類，分類決斷值在0.10.7時(shí)，面積貝氏網(wǎng)絡(luò)之分類正確率皆大于80%，在分類決斷值為0.8時(shí)為76%，在0.9時(shí)分類率僅為58%，因此本研究發(fā)現(xiàn)貝氏網(wǎng)絡(luò)在錯(cuò)誤類型的診斷上其決斷值在0.10.7時(shí)有不錯(cuò)的表現(xiàn)。2. 關(guān)于錯(cuò)誤類型有無之分類，其結(jié)果雖不如錯(cuò)誤類型的診斷精確，決斷值為0.20.8之間正確診斷率為七成左右，在0.1及0.9時(shí)診斷率僅為六成五左右，表現(xiàn)較不理想。3. 由表可知決斷值在0.60.7左右無論是錯(cuò)誤診斷率或技能的分類正確率有較佳的表現(xiàn)，但其結(jié)果仍不如之前的開放性問題研究分類率。貳、不同的分類決斷值對(duì)貝氏網(wǎng)絡(luò)診斷精準(zhǔn)度的影響本研究共測(cè)試了9種不同的決斷值，由表四可發(fā)現(xiàn)：1. 貝氏網(wǎng)絡(luò)之子技能分類，以決斷值為0.7時(shí)表現(xiàn)較佳。2. 貝氏網(wǎng)絡(luò)之錯(cuò)誤類型分類，以決斷值為0.6時(shí)表現(xiàn)較佳。第五節(jié) 結(jié)論與建議綜合以上之研究發(fā)現(xiàn)在面積的教學(xué)的部分，必須注意到以下的概念：1. 面積保留概念。2. 面積測(cè)量概念的建立。3. 面積估測(cè)能力的培養(yǎng)。測(cè)量概念需在具有保留概念后再進(jìn)行教學(xué)才有意義。周長(zhǎng)與面積的混淆是研究面積概念時(shí)最常被提出的迷思概念。(譚寧君，民84a)在本研究中，我們?cè)囍栽囶}中所設(shè)計(jì)的選項(xiàng)去探討學(xué)童學(xué)習(xí)面積概念時(shí)所產(chǎn)生的錯(cuò)誤概念，并可從學(xué)生的作答反應(yīng)中看出牽涉到周長(zhǎng)與面積這兩個(gè)概念的題目較容易答錯(cuò)。因此May(1999)建議教師在教學(xué)時(shí)，盡量不要同時(shí)教面積與周長(zhǎng)這兩個(gè)概念，因此這樣容易使學(xué)生混淆而導(dǎo)致迷思的產(chǎn)生。最好能先教面積再將周長(zhǎng)的概念導(dǎo)入教學(xué)中。另一個(gè)在研究中可以發(fā)現(xiàn)的是學(xué)童對(duì)于單位量的換算易產(chǎn)生錯(cuò)誤的情形。高敬文(民78)研究我國(guó)兒童測(cè)量概念的發(fā)展，指出學(xué)生對(duì)于單位量與測(cè)量總