多變量控制系統(tǒng)分析與設(shè)計PPT課件

第4章系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 4 1穩(wěn)定性的基本概念 多變量系統(tǒng)可以分別從它的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和外部特性考察其動態(tài)行為 從而建立起它的內(nèi)部描述 如狀態(tài)空間描述 或外部描述 傳遞函數(shù)矩陣描述 系統(tǒng)的穩(wěn)定性相應(yīng)從內(nèi)部和外部兩個方面來考察 1 內(nèi)部穩(wěn)定性 系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定性反映系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)變化內(nèi)在性質(zhì) 與輸入輸出無關(guān) 它是在外部輸入為零 又稱為零輸入 情況下 當(dāng)狀態(tài)向量偏離了某個平衡點(diǎn)時 系統(tǒng)能否自己回復(fù)到這個平衡點(diǎn)上來的性質(zhì) 定義4 1 滿足f x 0的狀態(tài)x 稱為系統(tǒng)的平衡狀態(tài) 又稱為平衡點(diǎn) 系統(tǒng)的平衡狀態(tài) 平衡點(diǎn) 非線性系統(tǒng) 線性系統(tǒng) 4 1 4 3 4 2 定義4 2 對于系統(tǒng) 設(shè)為它的某個平衡狀態(tài) 如果對于任意一個 0 總存在一個 0 使得當(dāng)系統(tǒng)在t0時刻初始狀態(tài)滿足 系統(tǒng)穩(wěn)定 系統(tǒng)的狀態(tài)軌線x t 恒有 則稱系統(tǒng)在平衡點(diǎn)x 處穩(wěn)定 或簡稱平衡點(diǎn)x x 穩(wěn)定 系統(tǒng)穩(wěn)定性示意 系統(tǒng)漸近穩(wěn)定 定義4 3 若系統(tǒng)在平衡點(diǎn)x x 處穩(wěn)定 且 則稱系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處漸近穩(wěn)定 或簡稱平衡點(diǎn)x x 漸近穩(wěn)定 系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定 定義4 4 如果對于任意初始狀態(tài)x0 系統(tǒng) 4 2 在平衡點(diǎn)x 處都漸近穩(wěn)定 則稱系統(tǒng)在平衡點(diǎn)x 處大范圍漸近穩(wěn)定 或簡稱平衡點(diǎn)x 大范圍漸近穩(wěn)定 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性 定理4 1 如果線性系統(tǒng) 4 3 在平衡點(diǎn)x 0處漸近穩(wěn)定 則它在此平衡點(diǎn)處也大范圍漸近穩(wěn)定 并且x 0是此系統(tǒng)唯一的平衡點(diǎn) 定理4 2 當(dāng)且僅當(dāng)A的所有特征值 i i 1 n 均具有非正 負(fù)或零 實(shí)部 且具有零實(shí)部的特征值是A的最小多項(xiàng)式的單根時 系統(tǒng) 4 3 在它的每一個平衡點(diǎn)處穩(wěn)定 證明 系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為 根據(jù)李亞普諾夫定義 系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定時 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性 續(xù) 定理4 3 系統(tǒng) 4 3 在平衡點(diǎn)X 0處 大范圍 漸近穩(wěn)定的充分必要條件是 A的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部 考慮作矩陣線性變換 變換矩陣為狀態(tài)空間模型之系數(shù)矩陣特征向量構(gòu)成 為對角線矩陣或者為若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型矩陣形式 1 2 n 為A的特征值 為A的m重特征值 1 2 l對應(yīng)的約當(dāng)塊 為對角矩陣時 自動控制原理 李友善 第三版 P332 為約當(dāng)陣時 自動控制原理 李友善 第三版 P340 上式為 線性組合 A的特征值具有負(fù)的實(shí)部時 連續(xù)線性定常系統(tǒng) 漸近穩(wěn)定的充分必要條件是 它的系數(shù)矩陣A的特征值全部都具有負(fù)實(shí)部 系數(shù)矩陣A的特征值存在實(shí)部為零的單重特征值 臨界穩(wěn)定 關(guān)于系統(tǒng)穩(wěn)定性的結(jié)論 系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是 系統(tǒng)的特征方程的所有根都具有負(fù)實(shí)部 或者說都位于S平面的虛軸之左 2 系統(tǒng)的外部穩(wěn)定性 系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念 二 BIBO穩(wěn)定性 有界輸入 有界輸出 定義4 5 如果對于任一有界的輸入向量u t 4 5 系統(tǒng) 4 5 的輸出向量y t 也有界 即滿足 則稱系統(tǒng) 4 5 BIBO穩(wěn)定 定理4 4 當(dāng)且僅當(dāng)G s 的所有極點(diǎn)均位于左半開平面上時 系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定 系統(tǒng)的外部穩(wěn)定性 系統(tǒng)穩(wěn)定性考察 解 由于存在右半平面上的特征值s2 1 故此系統(tǒng)不穩(wěn)定 或者更嚴(yán)格地說 此系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)在平衡點(diǎn)X 0處不穩(wěn)定 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定 系統(tǒng)穩(wěn)定性考察 續(xù) 系統(tǒng) 4 9 的Rosenbrock系統(tǒng)矩陣為 系統(tǒng)有一個輸入解耦零點(diǎn)s 1 系統(tǒng)內(nèi)部不穩(wěn)定 由于它不反映到G s 中 系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系是穩(wěn)定的 只有當(dāng)P s 為最小階系統(tǒng)時 其所有極點(diǎn)才能完全反映到G s 中 因此 當(dāng)且僅當(dāng)G s 來自最小階系統(tǒng)時BIBO穩(wěn)定性才具有實(shí)際的意義 系統(tǒng)的外部穩(wěn)定性 定理4 5 當(dāng)G s 來自最小階系統(tǒng)時 下述命題等價 1 系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)BIBO穩(wěn)定 2 系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)漸近穩(wěn)定 3 G s 的所有極點(diǎn)均具有負(fù)實(shí)部 4 狀態(tài)方程中矩陣A的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部 系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念 三 3 系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定性 當(dāng)且僅當(dāng)矩陣Ac A BK 的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部時 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定 如果采用定常輸出反饋 當(dāng)且僅當(dāng)AC所有特征值均具有負(fù)實(shí)部時 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定 系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定性 續(xù) 系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定性 續(xù) TH s 0的根就是閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn) 系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定性 續(xù) 定理4 6 當(dāng)且僅當(dāng)多項(xiàng)式所有零點(diǎn)均處于左半開平面上時 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定 系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定性 續(xù) 系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念 四 4 Routh Hurwitz判據(jù) 為使 s 的n個根均具有負(fù)實(shí)部 其必要條件是 s 的各次項(xiàng)系數(shù)ai全為正 若有零或負(fù)系數(shù) 則 s 必有虛軸上或右半平面上的根 4 46 Routh Hurwitz判據(jù) 定理4 7 s 的n個根均具有負(fù)實(shí)部的充分必要條件是式 4 46 中的n個數(shù) i i 1 n 全為正 Routh Hurwitz判據(jù) Routh Hurwitz判據(jù) Routh陣列中前兩行的系數(shù)即為 1 s 和 2 s 的系數(shù) 其余各行的系數(shù)可按如下遞推公式求得 定理4 8Routh Hurwitz判據(jù) s 的n個根均具有負(fù)實(shí)部的充分必要條件是Routh陣列中第一列的所有系數(shù) 0 i i 1 n 全為正 4 2Lyapunov穩(wěn)定性定理 定理4 9 Lyapunov穩(wěn)定性定理 當(dāng)且僅當(dāng)對于任意給定的對稱正定矩陣Q 矩陣方程 存在唯一的對稱正定解P 0時 系統(tǒng)穩(wěn)定 定理4 10 當(dāng)且僅當(dāng)對于任意的對稱正定矩陣Q 矩陣方程 存在唯一解P 0時 系統(tǒng)穩(wěn)定 且Re A 0 4 3奈氏陣列穩(wěn)定性判據(jù) 應(yīng)用Routh Hurwitz判據(jù)確定閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性 在工程應(yīng)用上具有局限性 用Routh Hurwitz判據(jù)只能判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性 不能直接給出關(guān)于系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度的全面信息 理想的穩(wěn)定性判據(jù)必須能與系統(tǒng)的設(shè)計過程完美地相結(jié)合 可以有效地指導(dǎo)設(shè)計 揭示系統(tǒng)參數(shù)的變化對穩(wěn)定性及穩(wěn)定裕度的影響 而采用Routh Huwitz判據(jù)無法實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn) 尤其是當(dāng)綜合考慮多個系統(tǒng)參數(shù)的變化時將更加困難 奈氏陣列穩(wěn)定性判據(jù) 續(xù) 1969年英國學(xué)者Rosenbrok將經(jīng)典的Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)成功推廣到多變量系統(tǒng) 開創(chuàng)了多變量系統(tǒng)的一種頻域設(shè)計方法 INA方法 多變量系統(tǒng)的頻域設(shè)計方法在整個1970年代得到了很大的發(fā)展 成為現(xiàn)代控制理論的一個主流分支 MacFarlane等人又將單變量系統(tǒng)頻率響應(yīng)法的全部概念和方法推廣到了多變量系統(tǒng) 統(tǒng)一了Nyquist圖和根軌跡圖 得到了一套完整的多變量控制系統(tǒng)分析與設(shè)計方法 復(fù)變量方法 奈氏陣列穩(wěn)定性判據(jù) 續(xù) 1 奈氏陣列穩(wěn)定性判據(jù) 定理4 11 幅角原理 考慮某個有理函數(shù)f s 及復(fù)平面上的一條初等閉合圖線C 設(shè)f s 在C內(nèi)和C上解析 f s 除了在C內(nèi)有有限個數(shù)的極點(diǎn)外 在C上沒有零點(diǎn) 當(dāng)s沿圍線C順時針轉(zhuǎn)一周時 設(shè)f s 的軌線為 則 順時針包圍原點(diǎn)N次 其中Z為f s 在C內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù) P為f s 在C內(nèi)的極點(diǎn)個數(shù) 奈氏陣列穩(wěn)定性判據(jù) 續(xù) 奈氏陣列穩(wěn)定性判據(jù) 續(xù) 定理4 12 DirectNyquistArray DNA穩(wěn)定性判據(jù) 系統(tǒng) 圖5 6 閉環(huán)穩(wěn)定的充分必要條件是 的Nyquist軌線逆時針包圍原點(diǎn)p0次 p0為開環(huán)不穩(wěn)定的極點(diǎn)數(shù) 當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定時 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是Nyquist軌線不包圍原點(diǎn) 定理4 12 InverseNyquistArray INA穩(wěn)定性判據(jù) 系統(tǒng) 圖5 6 閉環(huán)穩(wěn)定的充分必要條件是 奈氏陣列穩(wěn)定性判據(jù) 續(xù) 2 有理函數(shù)矩陣的對角優(yōu)勢 奈氏陣列穩(wěn)定性判據(jù) 續(xù) 設(shè)z s 為m m有理函數(shù)矩陣 其元素為zij s i j 1 m 定義4 6 若z s 在Nyquist圍線上滿足 則稱z s 在D圍線上 行對角優(yōu)勢 若滿足 則稱z s 在D圖圍線上 列對角優(yōu)勢 當(dāng)z s 為行對角優(yōu)勢或列對角優(yōu)勢時 統(tǒng)稱它為對角優(yōu)勢陣 奈氏陣列穩(wěn)定性判據(jù) 續(xù) Gershgorin定理 特征值估計定理 定理 如果A aij 是 行或列 對角優(yōu)勢矩陣 則A為非奇異矩陣 推論 行 列 對角優(yōu)勢矩陣的所有行 列 的Gershgorin圓不包含原點(diǎn) 反之 如果所有行 列 Gershgorin圓都不包含原點(diǎn) 則矩陣必有行 列 對角優(yōu)勢 推論 對角優(yōu)勢矩陣沒有零特征值 奈氏陣列穩(wěn)定性判據(jù) 續(xù) 根據(jù)Gershgorin定理 當(dāng)s取D圍線上的某一點(diǎn) z s 的特征值處在以zii s 為圓心 以為半徑的m個圓組成的并集內(nèi) 我們把這m個圓稱為z s 的行Gershgorin圓 當(dāng)s沿NyquistD圍線變化一周時 z s 的m個行Gershgorin圓形成的m條帶稱為Gershgorin帶 奈氏陣列穩(wěn)定性判據(jù) 續(xù) 定理4 14 設(shè)Z s 在NyquistD圍線上為對角優(yōu)勢陣 且在D上其對角線元素zii s i 1 m 無極點(diǎn) 則的Nyquist軌線順時針包圍原點(diǎn)的次數(shù)等于Z s 的各對角線元素Zii s 的Nyquist軌線順時針包圍原點(diǎn)的次數(shù)之和 即 證明 定義新的矩陣Z s 奈氏陣列穩(wěn)定性判據(jù) 續(xù) 考慮標(biāo)量函數(shù) 奈氏陣列穩(wěn)定性判據(jù) 續(xù) 假設(shè) 包圍原點(diǎn) 則必然存在某個 0 1 以及D圍線上的某點(diǎn)s 是對角優(yōu)勢陣 它的各個特征值處在m條不包含原點(diǎn)的gershgorin帶之中 z s 不可能有零特征值 z s 不可能為零 假設(shè)不存在 奈氏陣列穩(wěn)定性判據(jù) 續(xù) 設(shè)反饋矩陣F為對角陣 則 定理4 15 DNA穩(wěn)定性判據(jù) 若在D圍線上對角優(yōu)勢 則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是 Q s 的各個對角線元素qii s i 1 m 的Nyquist軌線順時針包圍點(diǎn)的次數(shù)之和等于 p0 即 p0為開環(huán)不穩(wěn)定的極點(diǎn)數(shù) 奈氏陣列穩(wěn)定性判據(jù) 續(xù) 奈氏陣列穩(wěn)定性判據(jù) 續(xù) 定理4 16 INA穩(wěn)定性判據(jù) 若和在NyquistD圍線上均對角優(yōu)勢 則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是 其中為的對角線元素 p0為開環(huán)不穩(wěn)定的極點(diǎn)數(shù) 證明 奈氏陣列穩(wěn)定性判據(jù) 續(xù) 奈氏陣列穩(wěn)定性判據(jù)應(yīng)用舉例 4 4多變量系統(tǒng)的復(fù)變量分析與設(shè)計方法 1 開環(huán)增益與閉環(huán)頻率間的對偶性 開環(huán)增益矩陣 則此系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣為 開環(huán)增益與閉環(huán)頻率間的對偶性 系統(tǒng)的回差矩陣為 閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程 開環(huán)增益與閉環(huán)頻率間的對偶性 續(xù) 開環(huán)增益與閉環(huán)頻率間的對偶性 續(xù) g稱為增益變量 S g 為閉環(huán)頻率矩陣 其特征值即為系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn) 是增益變量g的函數(shù) 開環(huán)增益與閉環(huán)頻率間的對偶性 續(xù) 上式表明在頻率變量s和增益變量g之間通過開環(huán)增益矩陣G s 和閉環(huán)頻率矩陣S s 表現(xiàn)嚴(yán)格的對偶性 閉環(huán)頻率矩陣S g 的特征值稱為閉環(huán)特征頻率s 亦即閉環(huán)極點(diǎn) 它是g的函數(shù) 同樣 開環(huán)增益矩陣G s 的特征值稱為開環(huán)特征增益g 它是s的函數(shù) 開環(huán)增益與閉環(huán)頻率間的對偶性 續(xù) S g 的特征值與G s 的特征值是相互蘊(yùn)含的 當(dāng)s為閉環(huán)頻率矩陣S g 的特征值時 對應(yīng)的g便是開環(huán)增益矩陣G s 的特征值 反之亦然 這種嚴(yán)格對偶與相互蘊(yùn)合關(guān)系 構(gòu)成了將經(jīng)典的單回路頻率響應(yīng)法推廣到多變量系統(tǒng)的理論基礎(chǔ) 開環(huán)增益與閉環(huán)頻率間的對偶性 續(xù) 2 特征增益函數(shù)與廣義根軌跡圖 開環(huán)增益矩陣G s 的特征方程 確定的變量g稱為開環(huán)特征增益 它是頻率變量s的函數(shù) 記為g s g s 稱為特征增益函數(shù) g s 是關(guān)于g的m次多項(xiàng)式 其各次項(xiàng)系數(shù)為s的有理函數(shù) 若各個系數(shù)的首一最小公分母為b0 s 特征增益函數(shù)與廣義根軌跡圖 續(xù) 特征增益函數(shù)與廣義根軌跡圖 續(xù) 3 g s 的分支點(diǎn) 特征增益函數(shù)與廣義根軌跡圖 續(xù) 4 g s 的零極點(diǎn)與G s 的零極點(diǎn)的關(guān)系 b0 s 實(shí)際上即為G s 所有各階非零主子式的首一最小公分母 d s 表示G s 的所有各階非零的非主子式的首一最小公分母 特征增益函數(shù)與廣義根軌跡圖 續(xù) 若以eG s 表示從d s 中消去了d s 與b0 s 的全部公因子后得到的多項(xiàng)式 極點(diǎn)多項(xiàng)式 特征增益函數(shù)與廣義根軌跡圖 續(xù) 而根據(jù)G s 的Mcmillan標(biāo)準(zhǔn)形 在G s 與g s 的極點(diǎn)和零點(diǎn)多項(xiàng)式之間 均相差一個共同的因子eG s 零點(diǎn)多項(xiàng)式 特征增益函數(shù)與廣義根軌跡圖 續(xù) 若 g s 在有理函數(shù)域上可以簡約 多變量根軌跡圖 廣義根軌跡圖 多變量根軌跡圖應(yīng)用舉例 解 多變量根軌跡圖應(yīng)用舉例 續(xù) g s 的分支點(diǎn) 多變量根軌跡圖應(yīng)用舉例 續(xù) 多變量根軌跡圖應(yīng)用舉例 續(xù) 3 特征頻率函數(shù)與廣義Nyquist圖 考慮閉環(huán)頻率矩陣S g 的特征方程 它定義了一個依賴于增益變量g的代數(shù)函數(shù)s g 稱為特征頻率函數(shù) 從物理意義上來看 s g 就是在一定的控制增益g下系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn) s g 的定義域的Riemann曲面稱為增益曲面 增益曲面上 90 的等相位線 稱為特征增益軌線 特征增益軌線對應(yīng)了NyquistD圍線上的虛軸部分 是系統(tǒng)穩(wěn)定與不穩(wěn)定的邊界 特征增益軌線是經(jīng)典的Nyquist圖的自然推廣 故