高考數(shù)學(xué)化歸與轉(zhuǎn)化思想及方法講解.doc

高考數(shù)學(xué)化歸與轉(zhuǎn)化思想及方法講解化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要思想方法之一，也是高考數(shù)學(xué)中重點考查的思想方法.化歸與轉(zhuǎn)化的思想就是將復(fù)雜或陌生、新穎的數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)信息和數(shù)學(xué)情景轉(zhuǎn)化為簡單或已知的數(shù)學(xué)知識和成熟的經(jīng)驗方法，從而解決問題的策略.化歸與轉(zhuǎn)化的思想,遵循以下五項基本原則: (1)化繁為簡的原則. (2)化生為熟的的原則. (3)等價性原則. (4)正難反則易即逆向思維原則.當(dāng)問題從正面解決困難時,可以轉(zhuǎn)化為問題的逆否命題或考慮反證法.(5)形象具體化原則.將抽象的數(shù)學(xué)信息轉(zhuǎn)化為可以觀察,或者能夠定性研究的具體問題.下面通過一些具體例子說明化歸與轉(zhuǎn)化思想中主要的一些方法.1.用構(gòu)造法實現(xiàn)化歸與轉(zhuǎn)化例1 已知那么（ ） 分析：已知不等式兩邊都含有兩個變量，而學(xué)生目前只學(xué)習(xí)一元函數(shù)，為此先把不等式化為，使它的兩邊都只含有一個變量，于是可以構(gòu)造輔助函數(shù)，通過構(gòu)造函數(shù),把不等式問題化歸為函數(shù)單調(diào)性問題.解：把原不等式化為，即.設(shè)因為函數(shù)均為上的增函數(shù),所以是上的增函數(shù). 不等式即,故選.2.轉(zhuǎn)換變量實現(xiàn)化歸與轉(zhuǎn)化例2設(shè),若在上變化時,恒取正值,求的取值范圍.分析:本題中,如果把看作的函數(shù),則該題就是一個有限制條件的定義域問題,解法較為復(fù)雜.由于在上變化,所以如果轉(zhuǎn)換思維角度,把看作的函數(shù),則就是關(guān)于的一次函數(shù)或常數(shù)函數(shù).原命題的陳述方式變?yōu)?關(guān)于的函數(shù)，當(dāng)自變量在上變化時，恒大于零，求字母的取值范圍.從而有以下簡捷解法.解:設(shè)則為一次函數(shù)或常數(shù)函數(shù).當(dāng)時,恒成立,則即,解得或或,所以的取值范圍是3.用換元法實現(xiàn)化歸與轉(zhuǎn)化例3已知求函數(shù)最小值.分析:把函數(shù)展開后,可以觀察到該函數(shù)是關(guān)于的三角函數(shù)式,因此可以把看作一個量,把該函數(shù)式轉(zhuǎn)化為一個二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題.解:設(shè),則而 所以（1）若時，當(dāng)（2）若時，在上單調(diào)遞減，（3）若，在上單調(diào)遞增，.4用數(shù)形結(jié)合實現(xiàn)化歸與轉(zhuǎn)化例4 已知不等式的解集中只有三個整數(shù)解,求實數(shù)的取值范圍.分析:如果本題從不等式的角度去考慮,將比較繁瑣.如果畫出函數(shù) 的大致圖1 圖像（如圖1所示）,從圖像上可以看到,要使不等式成立,必須 ,而且滿足的圖像在軸的右邊,由此看到，解集中三個整數(shù)解分別為，而不再是不等式的解，從而由函數(shù)值的大小關(guān)系，解得實數(shù)的取值范圍. 通過數(shù)形結(jié)合,把求不等式中字母的問題,化歸為兩個二次函數(shù)在幾個關(guān)鍵值的大小問題. 解:在同一坐標(biāo)系中畫出（）的大致圖像圖像,如圖所示.從圖中看到,要使不等式的解集中只有三個整數(shù)解,那么這三個解只能是.所以即解得這就是實數(shù)的取值范圍.5.用分離變量法實現(xiàn)化歸與轉(zhuǎn)化例5 若不等式對一切成立,則的最小值為 .分析:要求的最小值,需要求出的取值范圍.若通過討論一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立，可能較繁瑣.若把字母單獨(dú)分離出來,放于不等式的一邊,則另一邊是關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式.通過求函數(shù)式的值域或范圍,可以求得字母的取值范圍.解:因為,所以可以把不等式化為:.設(shè), .因為在時單調(diào)遞減,所以.要使不等式對一切成立,則,所以的最小值為.6.用特殊化法實現(xiàn)化歸與轉(zhuǎn)化例6 已知|點在內(nèi),且.設(shè),則( ) 解析：本題若按通常解法，需要根據(jù)向量所給出的平面幾何關(guān)系，把兩邊平方后，得到關(guān)系式，從中求出,比較繁瑣.現(xiàn)在如果把特殊化,如取則.由得,所以,則,由此判斷選擇支錯誤,故正確.7.用導(dǎo)數(shù)實現(xiàn)化歸與轉(zhuǎn)化例7 已知函數(shù)， （I）令，求函數(shù)在處的切線方程； （）若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍.分析:本題是一個非基本初等函數(shù)在某點處切線和單調(diào)性的問題.在（I）中,把代入函數(shù)的解析式后,再求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),得在處的切線斜率,最后寫出方程.在（）中,先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),再令在上恒成立,求得的取值范圍. 通過導(dǎo)數(shù)的幾何意義,把非基本初等函數(shù)的切線和單調(diào)性問題,化歸為求導(dǎo)函數(shù)值和不等式恒成立問題,這是導(dǎo)數(shù)的重要貢獻(xiàn)之一.解:（I）由 切線的斜率切點坐標(biāo)（2，5+）， 所求切線方程為,即 （）若函數(shù)為上單調(diào)增函數(shù)， 則在上恒成立，即不等式在上恒成立 也即在上恒成立.令上述問題等價于 而為在上的減函數(shù)， 則于是為所求.8.用定義、公式、定理、圖形和已知結(jié)論等實現(xiàn)化歸與轉(zhuǎn)化例8已知數(shù)列的前項和,求數(shù)列的通項.分析:數(shù)列的前項和已知,根據(jù)前項和定義得,當(dāng)時,把數(shù)列的前項和問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列的通項問題. 這是最常見和應(yīng)用最廣泛的解題方法,它蘊(yùn)含著最直接的化歸與轉(zhuǎn)化的思想.解:因為,所以當(dāng)時, ,又當(dāng)時,所以.9.利用命題的否定或反證法實現(xiàn)化歸與轉(zhuǎn)化例9 已知下列三個方程: , ,至少有一個方程有實數(shù)根,求實數(shù)的取值范圍.分析:若從題設(shè)入手,三個方程至少有一個有實數(shù)根,則需要分為三類,即有一個方程有實根,有兩個方程有實根, 有三個方程有實根.而且前兩類中又各有三種情況,比較復(fù)雜.因此考慮該問題的相反情況即:三個方程都沒有實根.求得的范圍后,再在上求補(bǔ)集.該轉(zhuǎn)化較好的體現(xiàn)了正難反則易的思想.解:假設(shè)三個方程均無實根，則有，解（1）得：解（2）得：解（3）得：所以三個方程均無實數(shù)解時因此三個方程至少有一個實數(shù)解時的取值范圍是.10.利用歸納類比實現(xiàn)化歸與轉(zhuǎn)化例10 在球面上有四個點,如果兩兩互相垂直，如圖2所示,且那么這個球面的面積是( ) PCBAD圖3 PABC圖2解析:本題若只從題設(shè)條件入手,不易確定與球心及球的半徑的關(guān)系，因此不易找到等量關(guān)系進(jìn)行計算.若類比我們熟悉的球與多面體的組合體,則可以聯(lián)想到球的內(nèi)接正方體. 看作正方體頂點處的三條棱（如圖3）,正方體的體對角線就是球的直徑. 通過類比, 確定了球心及半徑與已