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梯形知識要點：1梯形的定義： 一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形說明：（1）梯形是一種特殊的四邊形； （2）證明梯形時除了證明一組對邊平行外，特別注意還要證明另一組對邊不平行； 有時證明不平行比較困難，還可以證明平行的這一組對邊不相等2梯形常用的輔助線做法： (1) 過一頂點作一腰的平行線，分解成一個平行四邊形和一個三角形；(2) 過一頂點作一條對角線的平行線，構(gòu)造出平行四邊形和一個面積與梯形相等的三角形； (3) 過一腰中點作另一腰的平行線，構(gòu)造出平行四邊形和一對全等的三角形；(4) 過一底邊的端點作另一底邊的垂線, 構(gòu)造出一個矩形和兩個直角三角形；特別對于等腰梯形，兩個直角三角形全等;(5) 延長梯形的兩腰使其交于一點, 構(gòu)成兩個形狀相同的三角形；(6) 連接一頂點和一腰的中點并延長與底邊相交，構(gòu)造一對全等的三角形， 將梯形作等積變換； 3特殊的梯形1）等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形 性質(zhì)：（1）等腰梯形的同一底邊上的兩個角相等；等腰梯形的兩條對角線相等 （2）同一底邊上的兩個角相等的梯形是等腰梯形 （3）等腰梯形是軸對稱圖形，它的對稱軸是經(jīng)過兩底中點的一條直線2）直角梯形：有一個角是直角的梯形叫做直角梯形例題分析例1已知：如圖，四邊形ABCD為矩形，四邊形ABDE為等腰梯形，。求證：證明：四邊形ABCD為矩形，四邊形ABDE為等腰梯形，且為其對角線，。在和中，又，例2已知，如圖，梯形ABCD中，延長AB到E，使，求證：證法一：由四邊形ABCD是等腰梯形， 又， ADC=CBE 在與中， 于是，故。證法二：如圖，連結(jié)BD，由可知四邊形DCEB為平行四邊形，所以 又四邊形ABCD為等腰梯形，于是，故證法三：如圖，作于于M。 在與中， ， 所以 又，故 又由，可得MF=BE 所以 所以F為AE的中點，CF為AE的垂直平分線，所以證法四：如圖，連結(jié)BD。 由知四邊形BECD為平行四邊形，所以。 又四邊形ABCD是等腰梯形，所以 又由，可知。 所以1=2 所以1=3 所以AC=CE 說明：本題采用了幾種常用的作輔助線的方法證得結(jié)論，目的是說明解與梯形有關(guān)的問題經(jīng)常用這些作輔助線的方法。例3如圖，把邊長為2cm的正方形剪成四個全等的直角三角形請用這四個直角三角形拼成符合下列要求的圖形（全部用上，互不重疊且不留空隙），并把你的拼法畫出來： （1）不是正方形的菱形一個；（2）不是正方形的矩形一個；（3）梯形兩個；（4）不是矩形、菱形的平行四邊形一個；（5）不是梯形和平行四邊形的凸四邊形一個。解：例4如圖，已知：四邊形ABCD是等腰梯形，其中，若，. 求：梯形ABCD的面積. 解答：過點D、C作于E，于F. 則根據(jù)等腰梯形的軸對稱性可知：. ， 四邊形CDEF是矩形. . 在中，根據(jù)勾股定理有， .例5如圖，已知：在梯形ABCD中，AC、BD相交于點O. 求證：. 證明：，A、D兩點到BC的距離相等. 即中BC邊上的高與中BC邊上的高相等. （等底等高）. 例6已知梯形ABCD中，ADBC，AD=5cmBC=7cm，AB=6cm求另一腰CD的取值范圍解：如圖，過D點作DEAB，交BC于點E ADBC，DEAB，四邊形ABED是平行四邊形，DE=AB=6，在DEC中，4（cm） DC 8（cm）例7如圖，已知：在等腰梯形ABCD中， （1）若，梯形的高是4，求梯形的周長；（2）若，梯形的高是，求梯形的周長；（3）若，求證：解：（1）如圖，過點A作于點， 則在等腰梯形ABCD中， 在中， 所以，等腰梯形ABCD的周長是（2）類似（1）， 在中， 所以，等腰梯形ABCD的周長是（3）如圖，過點D作，交BC的延長線于點F， 即得平行四邊形ACFD， 則， 在等腰梯形ABCD中， 而 在中， 所以BDF=90，即BDDF 又因為 所以例8如圖，在梯形ABCD中，對角線于點P求證：證明：由，可知，且所以，解答問題：（1）上述證明得到的性質(zhì)可以敘述為：_（2）已知：如圖，等腰梯形ABCD中，對角線于點P，利用上述的性質(zhì)求梯形的面積解析：（1）對角線互相垂直的四邊形的面積等于對角線乘積的一半（2）先利用例7（3）的方法，求出； 再利用上述性質(zhì)，求出例9已知：梯形ABCD中，ADBC，E為DC中點，EFAB于F點，AB=3cm，EF=5cm，求梯形ABCD的面積解：如圖，過E點作MNAB，分別交AD的延長線于M點，交BC于N點DE=EC，ADBC，可以證明DEM CNE，四邊形ABNM是平行四邊形EFAB，S梯形ABCD=SABNM=ABEF=3cm5cm=15cm2例10已知：梯形ABCD中， AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面積。解：如圖，作DEAC，交BC的延長線于E點。ADBC四邊形ACED是平行四邊形BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5DE=AC=4在DBE中，BD=3，DE=4，BE=5BDE=90作DHBC于H，則例11已知：梯形ABCD中，ADBC，E是AB的中點，ECD的面積為10，求梯形ABCD的面積。解：如圖12，取DC的中點F，連結(jié)EF，作DHBC于H點。AE=EB，DF=FC，ADBC，EFADBC，DHEFEFDH=20例12有一塊梯形形狀的土地，現(xiàn)要平均分給兩個農(nóng)戶種植（即將梯形的面積兩等分），試設(shè)計兩種方案（平分方案畫在備用圖上），并給予合理的解釋圖（1） 圖（2） 分析：思路（一）連接梯形上、下底的中點思路（二） 在下底上截一邊及另一腰為邊的三角形，使它們面積為原梯形面積的一半思路（三） 取梯形一條對角線的中點，連接另外兩個頂點所得的兩個四邊形解：設(shè)梯形上、下底分別為、，高為方案一：如圖（1），連接梯形的上、下底的中點E、F，則方案二：如圖（2），延長BC至F，使，取的中點E，連接AE，則方案三：如圖（3），連接AC，取AC的中點E，連接BE、ED，則四邊形ABED的面積等于梯形ABCD的面積的一半分析可知，因為，所以，所以，故有四邊形ABED的面積等于梯形ABCD的面積的一半【同步練習(xí)】一、填空題1.梯形的定義是：_ _.2.在梯形中，不是同一底上的兩組角的比值分別為13和37，則四個角的度數(shù)為 .3.如圖,梯形ABCD中，ADBC，AC為對角線，AEBC于E，ABAC，若ACB=30，BE=2.則BC=_ _. 4.直角梯形的定義是：_.5.直角梯形一腰長16 cm,和一個底所成的角為30,那么另一腰長_ cm.6.等腰梯形的兩底差等于腰長，腰與下底邊的夾角為_，與上底的夾角為_.7.滿足 條件的梯形是等腰梯形.8.等腰梯形有下列性質(zhì)：從角看：在同一底上的兩個角_；從邊看：兩腰_ _ _；從對角線看：兩條對角線_ _；從圖形的對稱性看：是_對稱圖形.二、選擇題1.如下左圖，梯形ABCD中，ADBC，設(shè)AC，BD交于O點，則圖中共有對面積相等的三角形.（ ）A.2B.3C.4D.5 2.如上右圖，在直角梯形ABCD中，AB=4 cm,AD=4.5 cm,C=30,則DC= cm，BC= cm（ ）A.8,4B.8 cm,(4.5+4) cmC.4(+1)+,8D.8 cm,(4+4) cm3.等腰直角三角形各邊中點連線圍成的多邊形是（ ）A.平行四邊形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等邊三角形三、請你來完成1.用下面的方法來說明：在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形.(1)如下左圖，分別延長梯形ABCD的腰BA，CD，設(shè)它們相交于點E.通過證明EAD和EBC都是_三角形來證明. （2）如上右圖，作梯形ABCD的高AE，DF，通過證明RtABERtDCF來證明定理.說理過程：（1）（2）2.已知等腰梯形的銳角等于60，它的兩底分別為15 cm,49 cm,求它的腰長.參考答案一、1.略2.45，135，54，126 3.84.有一個角是直角的梯形叫直角梯形 58 6.60 1207.同一底上兩底角相等(或?qū)蔷€相等)8.相等 相等 相等 軸對稱圖形二、1.B 2.B 3.C三、1.(1)等腰(1)證明：延長BA、CD交于EB=C,BE=CE又ADBCEAD=B,EDA=CEAD=EDA,AE=D